Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

в том, что рассматриваемый предел существует и не зависит от способа уменьшения объема àV, основана на свойстве жидкой среды заполнять этот объем равномерно и сплошным образом,. Вектором плотности объемной силы называют выражение

Векторы /,„ и /у являются в обшем случае однозначными функ­ циями координат х, у, z и времени t. Если плотности массовой и объемной сил просуммировать по всем точкам рассматриваемого' конечного объема V, имеющего массу т, то получим равные между собой главные векторы массовой и объемной сил:

\jmdm = \Ь dV.

m V

Сделав замену переменной dm = pdV в левой части равенства,, получим связь векторов плотностей массовой и объемной сил:

L p = }ѵ-

Поверхностные силы. Поверхностными силами называют силы, которые приложены к частицам поверхности s, ограничивающей рассматриваемый объем V. Фактически поверхностные силы яв­ ляются результатом попарного взаимодействия всех частиц, вхо­ дящих в объем V. Действительно, в силу равенства действия и про­ тиводействия неуравновешенными остаются только силы от частиц,, лежащих на наружной поверхности объема.

Рассматривая окрестность выделенной точки А на поверх­ ности s (рис. 30), используем понятие вектора плотности поверх­

верхности As. Индекс и указывает, что вектор рп приложен к пло­ щадке As, имеющей по отношению к объему V внешнюю нормаль п. Вектор рп не должен в общем случае совпадать с нормалью п.

Вектор рп является функцией координат" х, у, z и времени t, но.в отличие от вектора fm (или /у) не является однозначной функ­ цией координат. Для разных площадок, проходящих через одну и ту же точку, вектор рп может принимать различные значения, поэтому, кроме координат точки, надо дополнительно указать поло­ жение площадки As в пространстве, т. е. нормаль п.

55-

Величина рп имеет в гидрогазодинамике особое значение: это полное гидродинамическое давление в жидкости в данной точке. Если вектор рп просуммировать по всем точкам замкнутой по­ верхности s, ограничивающей объем V, то получится главный вектор поверхностных сил

ной силы. Если проектируется вектор плотности поверхностной силы рп (рис. 30), то касательную составляющую именуют каса­ тельным напряжением т, а, нормальную составляющую (обратную по знаку — нормальному давлению) напряжением а.

Общая формула для гидродинамического давления рп связывает значение рп, которое действует на произвольную площадку, имею­ щую нормаль п, с такими же гидродинамическими давлениями рх, Ру, рг, которые действуют в той же самой точке, но на площадки, перпендикулярные трем координатным осям х, у, г. Нисколько не ограничивая общности явления, возьмем площадку As в виде тре­

56

Рассмотрим условие динамического равновесия тетраэдра. Со­ гласно принципу Даламбера сумма всех сил, приложенных к телу, включая и силы инерции, должна равняться нулю. Сила инерции равна величине

кости, постоянная в пределах объема Д V. Действующие силы раз­ делим на две группы: массовые с плотностью fm и поверхностные рп, Рху Руг Рг> считая их в пределах тетраэдра постоянными. Главный вектор массовых сил тогда равен величине / т р Д V, главный вектор поверхностных сил по замкнутой поверхности тетраэдра:

рп A ABC + рхАОВС + ~ру АОAB - f ргАОСА.

Между гранями существует геометрическая связь:

АОВС = — ААВС cos (п, х);

АОАВ = — ААВС cos {п, у);

АОСА = — ААВС cos (/7, z).

57

Знак минус в правой части стоит потому, что углы между нор-

.малями тупые. Условие равновесия тетраэдра запишется следую­ щим образом:

Пусть объем тетраэдра стремится к нулю таким образом, чтобы точка О слилась с точкой К- При таком предельном переходе пер­ вый член в равенстве окажется бесконечно малым по сравнению с остальными и в результате получится формула, справедли­

вая для любой жидкости,

векторов (в данном случае рх,

Тру, Pz) прямоугольной прямо­

моугольный координатный трехгранник x', у', z' и трижды

Совокупность трех векторов поверхностных сил рх, ру, рг прямолинейной прямоугольной системы координат х,_у, z, которые могут быть преобразованы в три вектора рх>, р,у, рг> другой си­ стемы координат х', у', г', при использовании формулы (39) опре­ деляет тензор гидродинамического давления в данной точке. Если для каких-либо трех векторов нельзя получить правило преобра­ зования, аналогичное формуле (39), то это будет просто совокуп­ ность векторов, а не тензор.

Векторы рх, ру, р2 называются составляющими тензора в коор­ динатных осях x, у, г. Через проекции на оси координат эти век­ торы записываются так:

Рх = °л-.ѵ-і + ЪуІ + "^xzk;

(40)

38

В двойном подстрочном индексе первая буква обозначает коор­ динатную ось, к которой перпендикулярна рассматриваемая пло­ щадка, а вторая буква — ось, которой данное напряжение парал­ лельно, так как величина хху действует по площадке, перпендику­ лярной оси X, и направлена параллельно оси у. Далее будем обо­ значать сокращенно

Таблица из девяти величин, являющихся коэффициентами при единичных ортах

"^уг — ^zy

Следовательно, для вычисления полного гидродинамического давления рп в данной точке вязкой жидкости необходимо знать шесть величин: три касательных и три нормальных составляющих напряжения.

Назовем давлением р в данной точке вязкой жидкости среднее значение нормальных напряжений сжатия на поверхности сферы с центром в рассматриваемой точке при стремлении радиуса е сферы к нулю, т. е. (рис. 33)

4п

где da — элементарный телесный угол с вершиной в центре сферы; /г — внешняя нормаль к сфере (совпадает с направлением радиуса);

ds

ds = еа sin ф dq> dû и da = —^- — sin ф <іср dû.

59