Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

т. е. величина гидродинамического давления рп для идеальной жидкости не зависит от ориентации площадки, к которой оно при­

не всех) жидкостей и газов в виде формулы Ньютона (см. § 2). Как отмечалось выше, напряжение т можно рассматривать как силу трения (отнесенную к единице площади) между движущимися слоями жидкости.

Определим касательные напряжения на гранях прямого «жид­ кого» угла, параллельных координатным плоскостям. Сначала рас-

5)

Рис. 34. Механизм появления парных касательных напряжений

смотрим случай, когда одна его грань остается неподвижной. Вы­

При движении плоскости А относительно плоскости В вправо сечение m за время At становится на место сечения т' и сечение п — на место сечения п'\ очевидно, что эти два сечения как бы проскаль­

когда сечения расположены нормально к движению жидкости, причем сечение m вращается вокруг точки О, сечение п — вокруг точки О'), а Д-у — угол, на который повернутся сечения m и п.

Относительная скорость скольжения сечения п по отношению к сечению m найдется по правилу механики. Остановим сечение m, для чего всей системе сообщаем движение, обратное движению сечения m, т. е. создадим вращение вокруг точки О в направлении против часовой стрелки. Тогда сечение m станет неподвижным, а сечение п (во всех своих точках) получит скорость, параллельную сечению т, равную ыЬ, т. е. сечение п скользит при этом вверх

61

по отношению к сечению m со скоростью ab. По формуле Ньютона касательное напряжение

ab

Угловую скорость со подсчитываем по скорости ѵм в точке М:

Подставляя это значение в формулу для т х , получим

Таким образом, т = xlt т. е. касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях равны.

Следовательно, когда имеется относительное скольжение гори­ зонтальных слоев, одновременно возникает относительное сколь­ жение вертикальных слоев, причем величина касательного напря­ жения на них одинакова и пропорциональна производной от ско-

62

Аналогично возникают напряжения в других координатных плоскостях:

т _ т _ „ ( д ѵ х I Д Ѵ * \ •

Рассмотрим связь нормальных напряжений а с производными от скорости по/пока. Сначала рассмотрим движение в плоскости ху и свяжем нормальные напряжения ох и ау с выбранным касатель-

Рис. 35. Связь нормальных напряжений с полем скоростей

ным напряжением т, действующим на площадке, наклоненной под 45° к оси X. Выделим для этого призму с высотой h и основа­ нием ABC (рис. 35) и запишем условие ее динамического равно­ весия в проекции на направление AB.

Проекция силы инерции бѵдет равна

63

Пусть размер а стремится к нулю, тогда первый член в сравне­ нии с остальными становится бесконечно малым и получается нуж­ ная для дальнейшего искомая связь напряжений:

64