Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 127
Скачиваний: 0
Сложив оба равенства и умножив их на \і, получим
Т = (.1 |
|
дѵх |
|
дх |
|
ду |
|
|
г, |
I дѵх |
дѵ„ |
""у |
Иначе
Если аналогичные выкладки сделать относительно пло скости хог, то получим
, = * ( • & - £ ) .
Запишем тождество
и сложим три последних равенства, тогда
За, - К + ои + аг) = 6ц |
|
|
дѵ„ |
дѵ. |
- |
2 ^ |
1( ^^f + ~ ô ^ + dz |
Отсюда нормальное напряжение
дѵ
Аналогичный вид имеют остальные составляющие. Следова тельно, нормальные напряжения в координатных плоскостях имеют вид:
<*х = — Р + |
2 |
|
|
- О - |
р. divü, |
|
|
öüj, |
2 |
ndivu; |
(47) |
-P + 2 ( . i - ^ - - - g - |
|||
ду |
|
|
|
vz = —Р + 2|-1 |
- 4 " |
d i v |
|
Для идеальной жидкости, лишенной сил трения, коэффициент р, = 0; тогда, естественно, получаем, что
Р = —сх = —Oy = —ог.
Это же условие сохраняется и для вязкой покоящейся или равномерно и прямолинейно движущейся жидкости, когда по рознь равны нулю все производные.
Полученные формулы для т и с позволяют определять напря жения в жидкости, если известна кинематическая картина ее движения.
5 B . C . Бекпсв |
6S |
Выражение объемных сил, действующих в жидкости, через по верхностные силы очень важно при исследовании динамики жид кой среды. Рассмотрим случай, когда задана система поверхност ных напряжений, и найдем формулу для соответствующей плот ности объемных сил. Не ограничивая общности конечных резуль татов, рассмотрим выделенный в жидкости бесконечно малый объем в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 36) и спроек тируем действующий на него главный вектор поверхностных сил
pnds на ось X. На рис. 36 показаны напряжения, дающие проек-
S
ции только на ось х.
Рис. 36. Поверхностные напряжения, действующие по оси х
На гранях, проходящих через начало координат, это будут напряжения ох, тух, xzx. Полагаем, что на других гранях напря жения могут быть выражены через эти составляющие исходные путем разложения их в ряд Тейлора (до второго члена) в окрест ности начала координат. Например, для грани A BCD имеем на пряжение
|
|
|
|
°Ч-ѵ |
+1 |
- H - |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
дх |
' |
|
|
|
|
члены |
более малых |
порядков |
отбрасываем. |
|
|
|||||||
|
Составляющая вдоль |
оси |
х |
главного |
вектора |
поверхностных |
||||||
сил |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-ах |
+ ах + Щ%- dx) |
dy dz + |
( ~тух |
+ |
xyx + ^f-dy) |
dx dz + |
||||||
+ |
|
+ T M + |
dz)dxdy |
|
= |
( - f |
+ |
*gL + |
*e)dxdydz. |
66
Предположим, что действие главного вектора поверхностных
сил можно заменить |
главным |
вектором |
объемных |
сил ^ fv dV |
|||||||
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
V |
|
|
с объемной плотностью силы fv |
(fVx, |
/уу , /ѵг ). Составляющая |
|||||||||
вдоль оси X главного вектора объемной силы |
равна fyx |
dx dy |
dz. |
||||||||
Приравнивая силы, получаем формулу для |
составляющей |
|
fyx |
||||||||
(другие составляющие |
получаются |
аналогично): |
|
|
|
|
|||||
|
дах |
I |
|
1 |
dtzx |
\ |
|
|
|
|
|
!ѵх- |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дх |
~~> |
ду |
1 . |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
да у |
|
дх2у |
|
|
|
|
|
|
|
у-ху |
|
»»у |
+ v-zydz |
. I |
|
|
|
4 Ö |
|
|
|
|
|
~W |
|
|
Ï |
|
|
( |
|
) |
ІѴу — -я7дх--Г-яП-+-яГ' |
|
|
|
|
|
||||||
hz |
= дх |
|
dTyZ |
|
âaz |
|
|
|
|
|
|
^ |
ду |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
||
В векторном виде с учетом формул (40) получим |
|
|
|
|
|||||||
1ѵ = fvJ + |
fvyj+ |
fvzk = |
- | f + |
+ |
• |
(49) |
Однако для эквивалентности объемных сил и поверхностных напряжений, помимо равенства равнодействующей этих сил, не обходимо иметь также равенство моментов, приложенных к рас сматриваемому объему от этих сил. Не проводя такого доказа тельства, отметим, что для этого необходимо выполнение условий
^ху — ^ух] |
Xvz = |
T'zx'i T-yz ~ |
^zyi |
|
что для гидродинамических |
напряжений |
выполнено. |
|
|
В качестве примера рассмотрим как выражаются |
поверхност |
|||
ные силы через объемные |
для |
идеальной жидкости, |
лишенной |
вязкости. |
В этом случае все касательные напряжения равны нулю |
и поэтому |
из выражения (48) для плотности объемной силы получим |
Из равенства |
(43) имеем |
|
|
b = |
--%r~i-^-l--%-k |
= |
-&*àp. |
Реальными силами в гидрогазодинамике вязкой жидкости яв ляются поверхностные силы о и т, а объемные силы, заменяющие их действие, фиктивны, но удобны для расчетов и анализа.
Если реальные объемные силы выразить через поверхностные, то можно определить полную силу, действующую на объем жид кости, зная лишь закон распределения поверхностных напряже ний по поверхности рассматриваемого объема и не учитывая рас пределение объемной силы внутри этого объема.
5* |
67 |
Пондеромоторная сила электромагнитного |
поля, действующая |
на движущуюся со скоростью Vk k-ю частицу |
с зарядом qk, |
Fk = qkË + q k ( ü j X ß ) , |
|
где E—• вектор напряженности электрического поля; В — вектор индукции магнитного поля.
Чтобы получить объемную пондеромоторную силу AFy, дей ствующую на объем А V с массой частиц Am, надо просуммировать силу Fh по всем частицам рассматриваемого объема
А
Согласно определению, вектор плотности объемной пондеромоторной силы электромагнитного поля
AF |
— |
|
+ 1 lim |
|
— |
/„ = lim - ^ - |
= E lim - ^ - |
|
-±—-)XB. |
||
ДѴ^О Л Ѵ |
АѴ->0 |
Л Ѵ |
W - > 0 |
а | |
/ |
В данном случае величина |
ре = |
lim |
является объемной |
||
|
|
|
АѴ->О Й Ѵ |
|
_ |
плотностью электрического заряда, а величина |
у = |
lim — гт; |
|||
вектором плотности электрического тока. Таким образом, |
|||||
|
}у=РеЁ |
+ |
(]хВ). |
|
(50) |
При условиях, характерных для рассматриваемых магнитогидродинамических устройств, член реЕ, зависящий от электри ческого поля, существенно меньше члена (/ х В), зависящего от магнитного поля (отсюда и название магнитная гидрогазодинамика; если учитывать член реЕ, то рассматривается электромагнитная гидрогазодинамика).
Итак, считают, что плотность пондеромоторной силы электро магнитного поля
|
/„ = fx |
В или |
] |
т |
= |
-L(fx |
В), |
(51) |
|
а с учетом соотношения |
Максвелла |
/ |
= |
rot Я |
|
|
|||
] ѵ |
= (rot H) X В= |
— |
(rot В) X В = \xma |
(rot H) X H. |
|||||
|
|
И/на |
|
|
|
|
|
|
|
Возможность отбрасывания члена р е £ |
|
по |
сравнению с членом (/ХБ) в фор |
||||||
муле для пондеромоторной силы fv покажем путем оценки |
порядка величины |
||||||||
этих членов. |
По уравнению |
Максвелла |
заменим ре = |
div |
D, тогда |
||||
|
/і/ = e a |
£ d i v £ |
-I |
— ( r o t S ) X ß . |
|
||||
|
|
|
|
И"іа |
|
|
|
|
68
Каждую размерную величину заменим через произведение безразмерного ее значения и выбранного масштаба. Например, проекцию вектора В на ось х запи шем так: ß v = В0Вх- В данном случае масштаб В0 определяет размерность Вх и ее~абсолютное значение, а безразмерная величина Вх является функцией коор динат x, у, z и времени t и определяет закон изменения величины Вх в простран стве и времени (покажите, что В — В0В при одном и том же масштабе В0 на каж дой координатной оси). Аналогично обозначим:
е а — бо^» В |
— EQE |
, |
и |
т. д. |
Mma = Мо(А. |
х = |
1ох< |
У = ІоУ, 2 = |
V i |
единичные векторы і, j , k, входящие в выражения для векторов, изменений не
претерпевают. При таких |
подстановках |
первый член силы /у примет вид |
|||||
Biß div E = |
e a £ |
dEx |
dEu |
|
_дЕл |
|
|
дх |
1 ду |
|
dz |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
д(Е0Ёх) |
д |
(E0ÉU) |
д (Е0Е2 |
J - и |
еЁ div Е. |
||
д(10х) |
|
д(10у) |
|
d(l0z) |
|
||
|
|
|
|
||||
Итак, при переходе к безразмерным переменным возникает масштабный ком |
|||||||
плекс е 0 EQ/10, который определяет абсолютную |
величину первого члена. Закон |
функционального изменения первого члена по отношению к безразмерным пере
менным останется тем же.
Во втором члене векторное произведение структурно представляет собой
сумму произведений |
величин |
двух |
проекций, |
например |
|
(rot |
В)х |
Ви. |
|||||||
Подстановка |
безразмерных |
переменных |
дает |
|
|
Ита |
|
|
|
||||||
в этом случае |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
(rot |
В)х Ву |
|
1 |
дВг |
|
дВу |
Ву |
= |
|
|
|
||
|
Ига |
Игаа |
ду |
|
dz |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
" |
д(В0Вг) |
д (В0Ву) |
|
|
|
Bö |
|
(rolB)xB |
|
|
|
|||
Иои |
L 5 (/„(/) |
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
надо |
сравнить |
между |
собой |
масштабный |
комплекс |
|
Ч |
|||||||
е„ -г— |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'о |
Воспользуемся |
обобщенным |
законом |
Ома / = аЕ -j- a (v X |
В), |
|
пред |
|||||||||
Ио'о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полагая ради простоты, что токи Холла не существенны, и соотношением rot |
|
# = / . |
|||||||||||||
Исключив величину |
/, получим |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Е = |
1 |
|
rotfi — |
(vXB), |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
öUma |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
которое связывает поля Е и В и дает возможность оценить масштабы Еа |
и В0. |
||||||||||||||
По порядку величины поле Е равно или порядку первого члена справа |
_ \ |
X |
|||||||||||||
Вп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О^оИо |
||
|
|
|
члена |
ѵ0В0. |
Это утверждение |
остается верным |
|||||||||
X —j—, или порядку второго |
|||||||||||||||
'о |
рассматриваемых |
порядков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и для квадратов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Bö |
|
VQBQ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
Hcfao'o
69