Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 0
откуда
|
|
Qg—2m|) |
|
|
г = |
e г |
= к е С а , |
где K = ed; à — |
^ г - ; |
С = |
-~. |
Изображение линии тока дано на рис. 101. Определим угол наклона касательной к направлению радиуса-вектора точки касания:
т. е. угол наклона касательной к направлению радиуса-вектора точки касания вдоль линии тока остается постоянным. Такая кривая называется логарифмической спиралью.
Комплексный потенциал потока с двумя источниками
Комплексный потенциал потока с двумя источниками, распо ложенными на оси X (рис. 102) симметрично относительно начала координат, имеет вид
r = - ^ - l n ( z + a) + - | r l n ( z - a ) |
(209) |
Рис. 102. Два источника в плоскости z
202
Обтекание круглого цилиндра внешним источником
|
Воспользуемся |
свойством дробно-линейного преобразования |
||
с, = |
c z _ | _ d . всегда |
переводящего окружность в окружность или |
||
в |
прямую. |
|
|
|
|
Отобразим только что разобранный нами поток в плоскость £ |
|||
так, |
чтобы ось у |
перешла в окружность радиуса R |
с центром |
|
в |
начале координат. |
|
||
|
Для получения функции отображения необходимо найти три |
|||
коэффициента: Ь, |
с и d. Перевод оси у в окружность |
радиуса R |
||
с |
центром в начале координат (рис. 103), а источника |
Q в точку |
©
|
Рис. 103. Обтекание цилиндра внешним источником |
||
(—h, 0) |
дает |
три условия для нахождения этих коэффициентов: |
|
1) если |
г = |
сю, |
то £ = R\ 2) если 2 = 0, то £ = — R ; 3) если |
z — —а, |
то |
£ = |
—h. |
Подставляя каждое из этих условий в формулу дробно-линей
ного преобразования, получим: |
из |
первого |
R = |
||
1 |
n |
b |
из |
третьего |
t |
= - 5 - ; |
из второго — R |
— —r\ |
—h = |
R
откуда с =
—a+b
•
а |
i л |
- - R + d
Из двух последних равенств определим значения b и d:
, |
h + R |
, |
a h + R |
203 |
|
|
|
|
Найдя из формулы дробно-линейного преобразования
_ t,d — b
построим выражение для комплексного потенциала потока в пло скости £, для чего выразим члены, входящие в выражение (209) через £. После несложных алгебраических преобразований полу чим, что
7 _1_ л — |
2 1 |
• |
|
Z |
I " — /г _ |
1 _ |
с£ ' |
|
|
|
|
|
2а/г |
|
/г |
г — а = • |
|
|
Подставляя значения (z + а) и (г — а) в выражение (209), получим выражение комплексного потенциала для плоскости £ в следующем виде:
^ ( £ ) = |
- ^ - [ l n ( Ç + |
A) + l n ( ç |
+ - Ç ) - 2 1 n ( Ç - / ? ) ] . |
(210) |
||
В этом выражении опущены слагаемые, представляющие |
собой |
|||||
постоянные |
величины. |
|
|
4 |
|
|
Определим положение |
точки |
(рис. 103) в плоскости |
£: |
|||
|
«. |
_ |
а + |
Ь |
_ |
|
|
t 4 |
|
са -f- |
d |
Л |
|
Сравнивая координаты точек 3 и 4, замечаем, что произведение их равно квадрату радиуса полученной нами окружности в пло скости £:
Такое расположение двух точек относительно окружности называется инверсией или симметрией.
Рассмотрим выражение комплексного потенциала потока в пло
скости £. Оно состоит из трех слагаемых: |
первое представляет |
|||
собой источник, |
расположенный в |
точке |
3; |
второе — источник |
в точке 4; третье — двойной сток в точке |
1. |
|
||
Следовательно, |
для того чтобы |
получить |
обтекание круга |
точечным источником, надо источник симметрично отобразить внутрь круга и на противоположном конце диаметра круга рас положить двойной сток.
Начнем отодвигать источник Q в бесконечность. При этом симметричный относительно окружности источник будет переме
щаться к центру |
окружности. В пределе получится обтекание, |
|
показанное на |
рис. |
104, а. |
Аналогичное |
обтекание круга будет давать сток, отнесенный |
|
в бесконечность |
(рис. |
104, б). |
204
Определим комплексный потенциал обтекания круглого ци линдра источником, расположенным в бесконечности (Ii —> оо):
Br = 4ln(Z + Ä) = 4-lnA + - £ l n ( £ + 1 ) ,
где -у— In /г — постоянная величина, нас не интересующая, а
0
Рис. 104. Обтекание цилиндра внешним источником или стоком, отнесенным в бесконечность:
а — источником; б — стоком
205
т. е. источник, расположенный в бесконечности, никакого влия ния на рассматриваемый поток в окрестности цилиндра не ока зывает.
Расщепляя двойной сток (рис. 104, а) на два симметричных относительно окружности стока, получим обтекание окружности, изображенное на рис. 105, б.
Сложив первоначальный поток (рис. 103) с потоком, изоб раженным на рис. 104, б, получим новый поток — обтекание ци линдра внешним источником (рис. 105, а).
Складывая последние два потока, получим обтекание цилиндра источником и стоком равных обильностей (рис. 106).
Рис. 105. Обтекание цилиндра внешним источником и стоком, располо женными на расстоянии ft:
а — источником; б — стоком
206
Комплексный потенциал этого потока
^ ( 0 = 4 - [1п - |± Г + 1 п - § ± ^ ] . |
(211) |
Рассмотрим предельный переход от выражения (211) к ком плексному потенциалу обтекания цилиндра равномерным потоком. Для этого рассмотрим отдельно внешний и внутренний потоки.
Для внутреннего потока
Рис. 106. Обтекание цилиндра стоком и источником равных обильностей
Если сближать источник и сток |
при условии |
сохранения |
|||
величины |
2QR2/h |
= m при #2 //і—> 0, |
то получим |
Q = mh!2R-. |
|
Вычисляя |
Wx, |
найдем раскрывая неопределенность при R2/h-^ 0 |
|||
«7 — |
mh |
m |
— 1 |
m |
|
1 |
4яЯ а |
~4лГ |
£ J |
|
т.е. получим комплексный потенциал диполя. Для внешнего потока
|
W - JUlL [In (g.+ A ) _ l n ( Ç — A ) ] . |
||
Подсчитаем скорость, |
соответствующую |
W2 (0 при h —>оо: |
|
dw2 |
mh |
|
|
d£ |
|
|
— 1 |
При |
h —>oo dWjdt, |
—> т / 2 л і ? 2 = const, |
следовательно, по |
лучим равномерный поток вдоль оси £. Обозначая скорость этого потока через ѵ0 = 2 я ^ 2 > получим W2 S.
207
Следовательно, комплексный |
потенциал для |
этого предель |
|||
ного случая имеет |
вид W = ѵ0 |
(£ + R'lt), |
что |
совпадает с вы |
|
ражением |
(208). |
|
|
|
|
Обтекание |
цилиндра |
плоскопараллельным |
потоком |
с циркуляцией
Расположим в центре цилиндра вихрь с интенсивностью Г, тогда его комплексный потенциал
Предположим, что плоскопараллельный поток направлен вдоль оси x (рис. 107); тогда комплексный потенциал потока с учетом обтекания цилиндра, расположенного в начале координат, запи шется так:
Рис. 107. Обтекание цилиндра потоком с циркуляцией
Комплексный потенциал суммарного потока
W = W, + Wb = va[z + ^ ) + ^ - 1 п г = ф + пр.
Определим выражение потенциала скорости в полярных координатах.
В этом случае комплексное число z удобнее написать так: г = ге' а = г (cos а + i sin а).
Тогда, выделяя действительную часть комплексного потен циала, получим
cp(r, a) = v0rcosa ( l + - ^ - ) - - ^ Г а -
208
Найдем величину скорости, направленной вдоль радиусавектора точки:
V r = ^ = v0cosa[\-—).
Для поверхности цилиндра г = R и ѵг = 0, так как цилиндр является линией тока и, следовательно, векторы скорости обя зательно касаются ее.
Определим величину скорости, направленной перпендику лярно радиусу-вектору точки:
На поверхности цилиндра /• = R, следовательно:
ѵа = — 2-u0sina— 2 ^ - .
Положителное значение ѵа соответствует увеличению угла а, отсчет которого ведется против часовой стрелки.
Найдем точки на поверхности цилиндра, в которых скорости потока равны нулю. Такие точки называются критическими. Приравнивая ѵа = 0, получим
|
Г |
sin а,.п = |
-.—я— . |
Это уравнение имеет два корня ссх и а 2 = 180° — ах. Следова тельно, расположение критических точек на контуре цилиндра
определяется |
величиной |
циркуляции скорости Г. Заметим, что |
|
при положительной циркуляции |
[по часовой стрелке в соответ |
||
ствии с формулой (206)] |
обе критические точки смещаются вниз |
||
от диаметра, |
параллельного скорости набегающего потока на |
||
тот же угол сск р . |
потока |
на верхней и нижней частях |
|
Суммарные |
скорости |
цилиндра будут различными, вверху скорости больше, чем внизу, а давления вверху меньше, чем внизу. Появляется разность давлений и возникает подъемная сила цилиндра, обтекаемого с циркуляцией. Циркуляция вносит несимметрию в поток, который
был |
бы симметричным |
без |
нее. |
§ 27. |
ОСНОВЫ ТЕОРИИ |
КРЫЛА |
|
В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ |
ПОТОКЕ |
Мы рассмотрели различные элементарные потоки жидкости. Перейдем теперь к изучению более сложных потоков, представ ляющих собой обтекание различных тел. Изучение таких потоков в значительной мере упрощается применением метода конформных
14 |
В . С. Бекнев |
209 |