Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 182

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

отображений, позволяющего перейти от известных элементарных потоков к составлению комплексных потенциалов потоков, обте­ кающих тела более сложных форм.

Преобразование окружности в отрезок прямой

Найдем такую функцию z = z (£), которая преобразовывала бы окружность из плоскости £ в отрезок прямой (пластинку) в плос­ кости 2 (рис. 108).

Если

положить z = £ + £.

где

£ — точка,

сопряженная

с точкой

£, т. е. t, = \ — Щ, т 0

Д л я

любой точки

окружности

радиусом R величина z будет действительным числом, а все точки этой окружности отобразятся в точки, лежащие на отрезке пря­ мой, длиной AR.

У, ѳ

2R

X

Рис. 108. Отображение окружности в отрезок прямой

Найдем функцию отображения z:

z :

£ + £ = £ + f = *, +

Ц ^

 

Следовательно, при

£2 -f- т]2 =

R2

получим

 

 

 

R2

 

 

(212)

 

 

 

 

 

Выразим координаты хну

через

І\ и г\:

 

 

2 =

(6 + *1)+

+

=Х

+ ІУ,

 

откуда

 

 

 

 

 

л ; =К1 +і4Ѵ);

У= Т І 0 — ¥ T W ) -

( 2 1 3 )

D2

Очевидно, преобразование z — % -\- —^- не изменяет поло­ жение координатных осей. Оси остаются на месте, а масштабы изменяются.

210

Найдем, во что преобразуется произвольная окружность, расположенная в плоскости £, радиусом Rx с центром в начале ко­ ординат при переходе в плоскость г, причем

*2 I 2

г)2

Из уравнений (213) получим, что

следовательно,

і_

и

_ р 2

2 \ 2 "Г

/

Р 2 \ 2

Это есть уравнение эллипса в плоскости г. Большая полуось

эллипса (по оси х) равна

Rx I 1 -1

^-\; малая полуось (вдоль

оси у) равна

Rx (l

^

 

 

 

 

Ri

 

 

Фокусное

расстояние

эллипса

равно

« ( i + - £ ) " - * ! ( i - - § - Y - « .

Следовательно, фокусное расстояние не зависит от выбора

радиуса произвольной окружности Rx

с центром в начале коорди­

нат, т. е. при отображении окружностей

с Rx

== R

получаем

семейство

софокусных

эллипсов.

 

 

 

 

 

 

Аналогичные вычисления можно выполнить и для окруж­

ностей с радиусами R2

<CR, которые

также переходят

в

то же

семейство

софокусных

эллипсов,

причем

всегда

можно

найти

такие окружности с радиусами Rx

и

R2,

что их

отображением

в плоскости будет один и тот же эллипс, а точки 5 и 7 или 6 и 8 плоскости £ (рис. 109) отобразятся соответственно в одну точку плоскости z. Это произойдет в том случае, когда полуоси этих эллипсов будут равны, т. е.

Из последнего равенства после раскрытия скобок получим

откуда

RiRi = R" •

14*

211

Подводя итог полученным результатам, приходим к выводу,

что функция

г = £ + -£- преобразует окружность радиусом

R в

отрезок прямой, а все остальные окружности

с центром в

на­

чале координат — в софокусные эллипсы;

при этом

получается

однозначность

решения. При обратном

же

переходе

получаем

©

5;7

/3

Рис. 109. Отображение окружности в эллипс

двойственность решения,

т.

е.

каждой

точке плоскости

R,

г

со­

ответствуют две точки

плоскости £: одна

вне

окружности

дру­

гая — внутри

нее.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассматривая

область

или внутри, или вне окружности

радиу­

сом R,

получаем

также

однозначность

решения.

 

 

 

 

 

Симметричный профиль крыла H. Е. Жуковского

 

 

 

 

 

Воспользуемся формулой (212)

и посмотрим, во что отобразится

окружность

радиусом R3,

проведенная касательно

к

окружности

радиусом R

с

центром,

расположенным на оси £ влево от

начала

координат (рис. ПО, а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это

преобразование

переводит окружность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î]2 +

(Ê +

ô)2 =

$

 

 

 

 

 

 

в симметричный профиль в плоскости г (рис. ПО, б).

 

 

Аг

Определим,

как ведет

себя

полученная

кривая

в точке

плоскости z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В точке

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt,

 

JA

 

\

 

 

'

 

 

 

 

 

т. е. в

точке

А

нарушается

конформность.

 

 

 

 

 

Можно

показать,

что

точка

Аг—-это

 

точка

возврата,

т.

е.

касательная в точке Аг

 

при подходе к ней как со стороны нижней,

так и со стороны верхней полуплоскости направлена вдоль оси х. Следовательно, в точке Ах мы имеем нулевой угол заострения,

что конструктивно невыполнимо.

212

Определим толщину полученного профиля. Наибольшая тол­ щина его будет там, где dyldx = 0. Наибольшую толщину про­ филя можно найти приближенно. Так, если b^OAR, т. е. b мало по сравнению с радиусом основной окружности, то приблн-

Рис. ПО. Отображение окружности в симметричный профиль крыла Н. Е. Жуковского

женно можно принять, что наибольшая толщина профиля будет

при

І

= —b

0

и т)

R3.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

Л12

 

Rj~R'

=

(R3-R)(R3

+ R)

 

 

 

 

Ri

 

R3

 

 

 

R3

т.

е.

наибольшая

толщина

профиля

h

4b. Длина профиля

l =

2R + |*|£=_{R,+b)

=

2R-{- (R3

- j -

b) 11

 

R2

 

4R.

 

 

 

11=0

 

 

 

 

L

 

 

Преобразование окружности в дугу окружности.

Профиль крыла Жуковского

с нулевым углом

заострения

Для получения профиля Жуковского для крыльев необходимосначала в плоскости отображения получить дугу окружности.. Это получается по той же формуле отображения:

Покажем, что эта формула переводит окружность, проходящую' через точки А и В с центром на оси ц плоскости Ç, в дугу окруж­ ности в плоскости z (рис. 111, а).

Проведем через точки А и В окружность £Ц с центром, лежа-, щим на оси г).

213

Так как прямая AB является

хордой

выбранной окружности,

то по свойству точек окружности

угол

между лучами, соединя­

ющими точку окружности с концами хорды:

= const,

т. е. величина постоянная для всех точек этой окружности. Ее

радиус # 4 =

Vu2 + /г3 .

 

Определим,

во что превращается

окружность /?4 плоскости £

в плоскости

z.

Для этого несколько

преобразуем функцию ото-

"

S)

Рис. 111. Отображение окружности в

дугу окружности

бражения: сначала прибавим, а затем

отнимем от нее вели­

чину 2R:

 

2 + 2J? = £ + ^ - f - 2 f l =

( £ + * ) 2 ;

2 - 2R = I + - Ç — 2R = {Z-R)* .

Беря отношение этих выражений, получим функцию отобра­

жения

в виде

 

 

Z — 2R

(214)

 

Z + 2R \ Z + R У

 

 

Но нами установлено, что условием нахождения точек пло­

скости

£ на окружности радиусом # 4 является

 

const.

Тогда, принимая во внимание уравнение (214) преобразования,

получим условие расположения точек окружности 7?4

плоскости І

в плоскости

z:

 

 

Ѳ = а, -

а2 = arg

= arg ( - § = £ - ) ' = 2# =

const,

т. е. в плоскости z мы получили дугу окружности.

214

Смотрите также файлы