Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 183
Скачиваний: 0
Тогда
|
|
2п |
1 п 7 Г + * ( а і — « а ) |
|
|
||||
|
|
ЛЬ: 2лQ |
К |
— а2 ). |
|
|
|
|
|
Положив |
\р — const, |
получим |
линию тока. |
Следовательно, |
|||||
для линии |
тока |
а г — а х = |
— const. |
выполняется, |
является |
||||
Линией, |
для |
которой |
это |
условие |
|||||
окружность, проходящая |
через точки / |
и |
/7. В |
таких точках |
|||||
f |
|
|
|
комплексный |
потенциал |
обраща |
|||
|
|
|
ется |
в ±оо . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Линии равного потенциала ср =
\ Ж=const
\ / |
* ѵ |
J |
Vf |
t Yt f |
|
r \ / \ |
|
|
Рис. 98. Сток и источник в плос кости z
= -ß- |
In — |
= const также |
пред |
|||
ал |
|
г2 |
|
окружности, так |
||
ставляют |
собой |
|||||
как |
условие |
г х /г 2 |
= const |
соот |
||
ветствует |
условию |
|
|
|||
(x |
+ Ь)2 Л-у2 |
= |
1{х—Ь)* |
+ |
||
|
|
-f- |
у2] |
const, |
|
|
а это есть уравнение семейства аполлониевых окружностей.
Комплексный потенциал диполя Рассмотрим комплексный потенциал предыдущего потока
W = 4- |
inl±f . |
2я |
г — ù |
и предположим, что b —» О так, что произведение Q26 = m остается постоянным. Такой поток, в котором источник и сток помещаются в одной точке и сохраняется произведение Q2b, называется диполем. Тогда
4я6 In z + b
При b — i ность вида Раскроем
О это выражение представляет собой неопределен-
О "
эту неопределенность по правилу Лопиталя:
|
in z + b |
1 |
—1 |
tim |
+' |
lim- z + b |
z— b |
ь+о |
° |
й->0 |
I |
|
198
следовательно, |
2т |
1 |
|
(207) |
W = |
2 Я2 |
|||
|
4л |
z |
|
Величина m называется моментом диполя, а линия, вдоль которой b —> 0, называется осью диполя. Построим линии тока и эквипотенциальные линии (линии равного потенциала) диполя:
I V 7
m |
m 1 |
x — iy ni |
, ., |
таким образом
Ф = |
ni |
x |
2л |
х2Л-у2 |
|
|
III |
у |
|
2л |
х2 -f- у" |
Полагая \\> = const, по лучим
|
|
|
у |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ у2 |
C i |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это |
уравнение предста |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вляет |
собой |
окружность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с |
центром, лежащим на |
|
Рис. |
99. |
Диполь |
в плоскости |
z |
|||||
оси |
у (рис. 99). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Аналогично |
рассматривая |
линии |
ср = |
const, |
придем |
к |
урав |
||||
нению |
окружности с центром |
на оси х: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ |
У = - |
|
|
|
|
|
|
|
Определим |
направление |
течения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
m |
у2 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
2я |
(х2 |
+ у2)* |
' |
|
|
|
|
ѵх |
При |
I у I >• I x I составляющая |
скорости |
вдоль оси |
х |
будет |
||||||
>• 0, т. е. жидкость течет с правой стороны на левую. Направ |
||||||||||||
ление течения жидкости показано на рисунке стрелками. |
|
|||||||||||
|
В том случае, если ось диполя не совпадает с осью х и состав |
|||||||||||
ляет |
с ней угол ß, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2Л2, |
|
|
|
|
|
|
|
где |
zt |
= ге'а <. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
199
|
Переходя к координатам (х, у), получим г = |
г е ' а , следова |
||||
тельно, |
|
|
|
|
|
|
и |
окончательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
2 |
|
Комплексный потенциал потока, |
|
|
||||
образованного диполем и равномерным потоком, |
|
|||||
параллельным оси |
диполя |
|
|
|
|
|
|
Комплексный |
потенциал |
|
диполя |
|
|
|
|
|
1 |
2л |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексный |
потенциал |
|
плоскопараллельного |
потока при |
|
а 0 |
= О |
IF о = |
v0z. |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
r ° |
Ѳ |
Рис. 100. Схема обтекания цилиндра в плоскости г
Комплексный потенциал суммарного потока
или
W = v0(x + iy) |
+ |
m |
X — уi |
- |
||
|
|
|
2я |
д:3 |
+ iß |
|
Тогда функция тока |
примет |
вид |
|
|
|
|
т |
у |
|
( |
|
m |
1 \ |
Придавая і|; различные значения, получим семейство линий тока. Положим яр = 0, тогда нулевая линия тока распадается
200
на две ветви: первая — уравнение оси х, а вторая — уравнение
окружности х~ - f iß = = R'2 с центром в начале координат
2яі'п
(рис. 100).
Радиус этой окружности
R==V~%k-
Введем в комплексный потенциал суммарного потока радиус
окружности R, тогда |
|
W = v0z + 2л z = l'n 2 |
(208) |
Поток, имеющий такой комплексный потенциал, соответствует обтеканию круга радиусом R плоскопараллельным потоком ѵ0.
Если центр круга радиусом R смещен по оси абсцисс на рас стояние — о , то комплексный потенциал потока, обтекающего этот круг, будет иметь вид (с точностью до постоянной):
( JD2
W Z + T+F
Комплексный потенциал источника и вихря, расположенных в одной и той же точке (вихревой источник)
Комплексные потенциалы точечного источника и вихревой точки запишутся соответственно:
|
W1 = |
-^\nz |
2лГі In z. |
Комплексный |
потенциал суммарного потока |
||
1 (Q — |
г'Г) In z = ср -f д|) |
|
|
2л |
|
|
|
но z = ге' а , |
следовательно, |
|
|
- W ( Q a - r i n / - ) ] , |
|
||
тогда |
|
|
Рис. 101. Вихреисточник в пло |
|
|
|
скости z |
Найдем линии тока |
суммарного |
течения жидкости: |
|
|
•ф = |
"2^- (Qa — Г In г) = const, |
|
201
