Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл (13,72Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 184

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

следует, что

f ! L -Çï_ o dx2 + 1 ду" = 'f

а из условия потенциальности

« . - - И £ —

следует, что

дх2 1 д</2

т. е. функции ср и ф удовлетворяют одному и тому же уравнению Лапласа.

Функция W (z), дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется аналитической для этой области.

Рассмотрим	физический			смысл		производной dWIdz. Поль
зуясь независимостью			значения			производной	от направления
Аг —> 0, вычислим		ее при у = const и при х — const:
dW		dW	~ "Ж"			дф
dz	~	dx				дх	(203)
dW		dW	_	оф	I	оф

dz	~	idy		idy	+	-öT = V * - l	V r

Производная dWIdz функции комплексного переменного пред ставляет собой комплексную сопряженную скорость, действи тельная часть которой равна проекции скорости потока в данной точке на оси х, т. е. ѵх, а «мнимая» — проекции на ось у с обрат

ным знаком т. е. —ѵу.	линий ср = const	и л\|з =
Рассмотрим взаимное расположение	линий ср = const	и л\|з =
= const. Для этого найдем направления	касательных к	линиям

в точке их пересечения. Из выражений для полных дифферен циалов функций ср и \\> получим

откуда

				dy>
(*L\				dx
\	dx	/ ф = с		Дф
				ду
(_*и_\				дф
(_*и_\			:	дх
\	dx	Уі\|)=е		dip
				ду
13 В. С. Бекііев				193

Таким образом, произведение угловых коэффициентов каса тельных для линий равно минус единице, т. е. линии тока г|з = = const и линии равного потенциала ср = const образуют в пло скости течения ортогональную криволинейную сетку (рис. 94).

Разберем различные простые потоки жидкости, к которым могут быть сведены более сложные течения.

(р-const

с и

Рис. 94. Ортогональная сетка линий ср = const и і|> = const

§ 26. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПОТОКОВ И ИХ КОМБИНАЦИИ

Плоскопараллельный поток

Для получения комплексного потенциала плоскопараллель ного потока воспользуемся выражением (203):

	dW	•не
		•не
заменим ѵх	и ѵу через ѵ0 и а 0	(рис. 95) и перейдем к показа
тельной форме	комплексного числа:
		d\V	cos a0	.	,	sin a0	=
		—-j— = v0	cos a0	—	iv0	sin a0	=
	f=const	= v0&~ia"		= const.

Проинтегрировав данное вы ражение, получим комплексный потенциал плоскопараллельно го потока:

Рис. 95. Прямолинейный плоскопарал				W (z) = u0 e-'a °z -f- const.			(204)
лельный	поток в плоскости г
Линии	равного	потенциала		и линии тока определяются			урав
нениями	прямых:
Ф (х, у) =		v0	(х cos a 0	-f- у sin a0 )	-f- Cx	— const.
x\> (x, У) —vo			ІУ cos a o — x sin a0 )		-f- C2	= const.

194

Комплексный потенциал точечного источника

Предположим, что в начало координат помещен источник интенсивностью Q (рис. 96). При этом значения скорости ѵг будут изменяться обратно пропорционально радиусу, так как Q =

=2ягѵг.

Разложим ѵг по направлениям координатных осей:

		ѵх		= ѵг cos a; vy = ѵг	sin а,
тогда
dW	. iüy =			Vf (cos a — i sin a) =	- ^ - (cos a — i sin a).
dz	. iüy =			Vf (cos a — i sin a) =	- ^ - (cos a — i sin a).
dz
Умножив числитель и знаменатель на (cos a + i sin a), получим
dW	Q		X
dz		2я	X
1
X г (cos a +	i sin a)			2nz
Проинтегрировав				это выра
жение, получим		комплексный
потенциал точечного				источника
с точностью	до	произвольной
постоянной:

W = ф + й|5 = - ^ - In z - j - const. (205)

Линии равного потенциала

определяются уравнением

Рис. 96. Источник в плоскости г

Ф = - A - In г - j - С± — const,

т, е. представляют собой' окружности, г = const. Линии тока определяются уравнением

•ф = ~ - a + С2 = const,

т. е. представляют собой лучи, a = const.
Если	интенсивность Q отрицательна, то будем иметь								точечный
сток.
Если	источник		или	сток	помещен не	в	начале	координат,
а в точке z0 =		х0 + іу0,		то комплексный		потенциал
		r ( z ) = A _ l n ( z O = - \| r l n ( z - z 0 ) ) _						.
так как	z' =	z—z„,	где z0		— координата		источника1		(стока).

13*

195

Комплексный потенциал вихревой точки

Предположим, что в начале координат помещен вихрь с вра щением против часовой стрелки и интенсивностью Г (рис. 97). Это такой поток, циркуляция вектора скорости в котором по любому замкнутому контуру, окружающему вихрь, есть величина постоянная, Г = 2лгѵи.

Разложим ѵи =	2 л г п о	координатным				осям:
	Г .				Г
ѵк = — -=—sin a;				v.. = -=—cos а,
Л	2яг	'	и		2лг	'
тогда сопряженная	скорость	примет			вид

В этом потоке линии равного потенциала представляют собой

лучи, а =	const,	а линии	тока	являются окружностями, г =
= const.				z0 — ,v0 - f iyQ,
Если вихрь помещен в точке				z0 — ,v0 - f iyQ,	то комплексный
потенциал	будет	иметь вид
При вращении жидкости			по часовой стрелке		получим
		W = ^L\n(z-z0).			(206)

Метод наложения потенциальных потоков

Поскольку уравнение Лапласа линейно, т. е. обладает тем свойством, что сумма его частных решений является также реше нием, то сумма потенциалов скоростей всегда представляет собой потенциал скоростей нового потока; соответственно сумма функ ций тока представляет функцию тока этого потока.

Это свойство дает возможность из простых потоков сложением получать сложные потоки. Потенциалы скоростей и функции

196

тока складываются алгебраически, а скорость в любой точке сложного потока равна геометрической сумме скоростей склады ваемых потоков.

Предположим, что имеется		два	потенциальных потока:
Ф і (х,	у)	и- Ф а	(х, у).
Сложим их:
Фз	=	Ф і +	ф 2 -

Покажем, что сумма потенциалов скоростей двух потоков представляет потенциал скоростей нового потока, т. е. что спра ведливо равенство

	д2Фз	, д2Фз _	п
	дх* ~г ду2 ~		и-
После дифференцирования		суммарного		потока	получим
4 3 г +	= А с Р з =	д (Фі +	Фв) =	д Ф і +	Д Ф 2 -

Но так как каждое слагаемое правой части равно нулю, сле довательно, уравнение Лапласа для ср3 справедливо, т. е. сумма потенциалов скоростей двух потоков представляет собой потен

циал	скоростей	суммарного	потока.
Аналогичный результат может быть получен и для функции
тока	\\>3 =	+ Ф-2-
Комплексный потенциал точечного					источника
и точечного стока равной обильности
Расположим		источник и сток		на	оси х на равном расстоянии
от начала координат в точках l u				l l	(рис. 98). Тогда их комплекс
ные	потенциалы	запишутся	так: