Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Действительная часть полученного выражения представляет собой циркуляцию вектора скорости по контуру обтекаемого тела:

который равен нулю, так как внутри контура источников и стоков по условию нет.

Следовательно, рассмотренный интеграл равен циркуляции вектора скорости по контуру с крыла или по теореме Стокса по любому другому контуру, охватывающему крыло в потенциальном потоке

$>-3Td 2 = r -

с

На произвольный элемент контура крыла действует сила нормального давления pdl-ï, жидкость считается идеальной, несжимаемой, трение не учитывается.

Принимая положительным направление обхода контура про­ тив часовой стрелки, составим проекции этой силы давления на оси координат:

dPx = —p dy; dPy = p dx.

Давление/j из уравнения Бернулли для несжимаемой жидкости:

Тогда проекция полной силы, действующей на крыло по оси х, получит вид

поскольку интеграл по замкнутому контуру от постоянной вели­ чины р* = const всегда равен нулю.

Проекция этой силы на ось у

сс

Составим выражение для комплексной сопряженной силы по аналогии с выражением для комплексной сопряженной скорости:

•220

или

Из формулы для производной комплексного потенциала dW

получим

dz J

Выразив комплексное сопряженное число dx—idy через dz = die'a, получим

найдем элементарный момент этой силы, причем за положитель­ ное принимаем вращение против часовой стрелки.

Момент силы относительно начала координат равен вектор­ ному произведению радиуса-вектора точки приложения силы

ивектора самой силы.

Представляя комплексные числа как векторы, можем записать

Запишем произведение

Следовательно,

221

Итак, dM равен действительной части (д. ч.) полученного' комплексного выражения, т. е.

причем интегрирование ведется по контуру обтекаемого тела. Формулу (220) называют второй формулой Чаплыгина—Бла- зиуса. Она служит для вычисления момента, действующего на помещенное в поток тело. Этот момент дает направление линии

действия силы, найденной по формуле (219).

Формула Hi Е. Жуковского 1

для подъемной силы крыла в равномерном потоке

Формула для подъемной силы крыла в равномерном потоке была получена Н. Е. Жуковским задолго до появления формул Чаплыгина—Блазиуса. Однако ее можно получить как частный случай формулы (219), применяя ее к обтеканию крыла равномер­ ным на бесконечности потоком со скоростью ѵ0.

Представим комплексный потенциал потока в виде суммы двух потенциалов:

W (z) = vaz + W0 (z),

где v0z — комплексный потенциал равномерного «невозмущен­ ного» потока; W0 (z) — комплексный потенциал дополнительного потока, который отражает «возмущение» потока внесенным в него крылом.

Производная dW/dz также складывается из^двух слагаемых:

причем второе слагаемое характерно тем, что может быть пред­ ставлено в виде ряда Лорана по отрицательным степеням z, так как оно по физическому смыслу задачи должно стремиться к нулю при удалении от крыла, расположенного в окрестности начала координат.

222

Итак, подставив в формулу (219) выражение (221), получим

Р , - и > , - Ц [ 4 + ъ . & + № ) г ] а , =

• • ф ^ + Ъ ф ^ л + ф Ч ^ ) ' * " -

с с с

Первый интеграл равен нулю, так как берется от постоянной величины, третий интеграл также равен нулю, так как в резуль­ тате возведения в квадрат разложения в ряд Лорана подынте­ гральное выражение будет содержать только степени ниже минус лервой, а второй интеграл можно представить в виде

ф ^ * = ф > + ^ - ) * - $ £ * - г .

Формула (222) называется формулой H . Е. Жуковского. Сило­ вое воздействие равномерного установившегося потока идеальной несжимаемой жидкости на крыло сводится к силе, направленной перпендикулярно к скорости потока в бесконечности. Эта сила называется подъемной силой. Сила сопротивления Рх равна нулю, так как рассматривается идеальная жидкость.

По правилу Жуковского направление подъемной силы опреде­ ляется поворотом вектора скорости ѵ0 на прямой угол против направления циркуляции (на что указывает знак минус в формуле Жуковского).

В формуле Жуковского наибольший интерес представляет определение величины и направления циркуляции Г.

Подход к определению Г был разработан совместно С. А. Ча­ плыгиным и H . Е. Жуковским и носит название постулата Чаплыгина—Жуковского об обтекании задней острой кромки лрофиля.

Постулат Чаплыгина—Жуковского об обтекании задней кромки профиля

В § 27 были рассмотрены способы получения различных про­ филей путем отображения окружностей из плоскости с, в пло­ скость z при помощи функции

223

Эта функция отображает не только контур окружности в кон­

При этом линии тока остаются линиями тока, а линии равного потенциала остаются линиями равного потенциала. Это следует из

ИЛИ

v0x = W0t И V0y = ü o t ) .

Итак, функция отображения z = £ -+- -^- сохраняет скорости

потока в бесконечно удаленных точках обеих плоскостей и пере­ водит поле линий тока из плоскости окружности в плоскость профиля.

Рассмотрим подробнее обтекание симметричного профиля Жу­ ковского потоком со скоростью ѵ0 под углом атаки а0. Пусть этому профилю соответствует окружность R3 в плоскости £ (рис. 117). Критические точки 1 и 2 располагаются на концах диаметра, проведенного под углом а0 к оси | . Поле линий тока

224

получается симметричным. Также симметрично распределяются скорости и давления по контуру окружности R3. Следовательно, сила воздействия потока на контур окружности равна нулю. Циркуляция скорости по контуру окружности также равна нулю вследствие симметрии обтекания. Это все находится в полном соответствии с формулой Жуковского

Р = - р и 0 Г .

Отображение из плоскости £ поля линии тока в плоскость z показано на рис. 117. Критические точки займут положения 1г

и2Ѵ

Рис. 117. Линии тока при бесциркуляционном обтекании симметричного профиля и исходной окружности

Обращает на себя внимание характер обтекания задней кромки профиля. Поток здесь поворачивается на 180°, огибая острие. Такой поворот потока в действительных условиях осуществить невозможно из-за инерционности жидкости. Только при очень малых скоростях течения (ѵ0 < 1 см/с) возможен крутой поворот потока.

Если проанализировать обтекание острия с математической точки зрения, то получим, что комплексная сопряженная скорость в точке Ах профиля

что дает

В данном случае использован очевидный факт, что в точке окружности, которая не совпадает с критической точкой 2, ско­ рость потока не равна нулю.

Обтеканию профиля будут отвечать такие линии тока, при

Замыкая линию MN в контур, получим вместо течения век­ тора скорости по линии MN циркуляцию вектора скорости по контуру, т. е.

Г, = ГС .

Итак, мы можем найти циркуляцию Г при обтекании теорети­ ческого профиля, полученного отображением окружности из плоскости £ в плоскость z, при условии схода потока с острия

226