Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Знак «—» указывает, что углы отсчитывают по часовой стрелке

от вектора

ѵх.

при обтекании выпуклого тупого угла назы­

Течение

газа

вают течением

Прандтля—Майера.

Аналогично решается задача расширения газа в косом срезе соплового аппарата турбины при сверхзвуковой выходной ско­ рости (рис. 156).

Если давления в окружающей среде меньше, чем на срезе сопла, то поток повернется на некоторый угол вокруг точки А. Этот угол будет зависеть от скорости ѵ.г, которая, в свою очередь, определяется из уравнения Бернулли по известному давлению р.2. В этой задаче точка В также будет давать слабые волны и форма

струи

несколько изменится. Решение сводится к задаче 4, где А

и В

лежат на свободной поверхности.

Г Л А В А VI

ОСЕСИММЁТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОЙ СРЕДЫ

§ 32. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При анализе потока в турбомашинах большое внимание уде­ ляют осесимметричному движению газа в осевых зазорах осевых турбомашин, в щелевых диффузорах радиальных компрессоров, в кольцевых каналах входных и выходных патрубков и т. п.

Все

указанные

течения предполагаются осесимметричными,

при их

анализе

не рассматриваются аэродинамические

следы

за стойками и лопатками предыдущих венцов. Фактически

рассма­

тривается установившееся осредненное осесимметричное течение без учета внешних массовых сил. Для анализа осесимметричного течения удобно воспользоваться цилиндрической системой коор­ динат.

Рассмотрим основные уравнения газодинамики в этих коорди­ натах.

Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах

Выведем уравнение неразрывности в цилиндрических коорди­ натах, так как в дальнейшем нам придется его применять при анализе течения в ступени турбомашины. Положение точки M (рис. 157) в пространстве в цилиндрических координатах опреде­ ляется углом Ѳ между координатной плоскостью и плоскостью, проведенной через точку M и координатную ось z, и декартовыми координатами z и г точки во второй из упомянутых плоскостей.

Для вывода уравнения неразрывности опять мысленно выделим

элементарный

произвольный

объем. Проекции вектора

скорости

в точке M будут ѵг, ѵѳ, vr,

а плотность р.

единицу

Рассмотрим

изменение массы выделенного элемента за

времени. Количество жидкости, заключенное в выделенном объеме, уменьшается (или увеличивается) на величину вытекающей (или втекающей) через поверхность жидкости:

1) разность между массами жидкости, втекающей через перед­ нюю грань и вытекающей через заднюю грань выделенного

287

элемента, в единицу времени:

pvzr dQ dr

dz

 

r dQ dr = ^h-dQdrdz- dz

2) разность между массами жидкости, втекающей через левую грань и вытекающей через правую грань, в единицу времени-

pvedrdz-[pve

г

+

d-^rdQ drdz =

-^prdedrdz-

3) разность между массами жидкости, втекающей через ниж­ нюю грань и вытекающей через верхнюю грань, в единицу времени:

 

 

 

 

 

,

â(pvrr)

j

 

 

 

 

pvrr dQ dz — PV + y

d r

X

 

 

 

X dQ dz = — dJ£Erll dr dQ dz.

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

Разность между

массами втекаю­

 

 

 

щей и вытекающей

в единицу

време­

 

 

 

ни жидкости равна сумме рассмот­

 

 

 

ренных

величин:

 

 

 

 

 

 

 

 

д(РѴг)

d

(PVQ)

r +

 

 

 

 

 

dz

râB

 

 

Рис. 157. Элементарный

объем

 

н- d (pvrr)

dr dQ dz

 

в цилиндрической системе

коор­

 

dr

 

 

 

 

динат

 

 

Но по закону сохранения

массы

 

 

 

разность втекающей и вытекающей масс жидкости

равняется

изменению массы в объеме

элемента

за единицу

времени, т. е.

d (рѴг)

d (pvö) I 1

d(prvr)

rdQ dr dz = ^dt

r dQ dr dz.

dz

гаѲ

r

dr

Откуда, сократив на r dQ dr dz, получим уравнение неразрыв­ ности в цилиндрических координатах:

 

d[prvz)

. d(prvB)

д (ргѵг)

= 0.

(278)

ât ~> r

dz

rdQ

dr

 

 

Уравнения движения идеальной жидкости в цилиндрических координатах

Как было сказано, в лопаточных машинах нам приходится иметь дело с осесимметричным движением жидкости (газа). По­ этому для анализа течения в лопаточных машинах удобно восполь­ зоваться уравнениями движения в цилиндрических координатах.

Воспользовавшись обозначениями, введенными при выводе уравнения неразрывности в цилиндрических координатах, запи­ шем проекции скорости в произвольной точке потока:

_ dr

 

rdQ

_

dz

V r ~ dt

'

u o - -ÖT ;

v* -

dt •

288

 

В векторной форме

записи

 

 

 

 

 

 

V = ѵгі + vQj

Vzk

 

или

 

 

dr

г dB т

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

dt

dt

 

где

орты i,

j , k — единичные

векторы, причем

направления i

и /

зависят

от выбора

точки

в пространстве, а

направление ~k

остается постоянным (параллельным оси г) для всех точек потока. Уравнение движения идеальной жид­

кости в цилиндрических координатах по­ лучим при помощи уравнения движения Эйлера в векторной форме, которая не зависит от выбора системы координат:

-

dv

=

-,

f -

I

,

s r

 

T

& a u p .

Из рис. 158 следует, что производные по времени от і и / будут равны соответ­ ственно:

- т т - = l i m -гт = l i m — r - 7 — d t Ai->0 A t Ai->0 M

dQ -

Рис.

158.

Смещение век­

 

торов

inj

на угол АѲ

и аналогично

 

=

u m

 

d9

dt

At

dt

 

д*->о

Подставляя эти значения в выражение для dvldt члены при i, /, /г, получим:

dv_

 

dr

dQ

, d

( ..

dQ_

dt

df- ~ ' \ dt )

dt

dt

"r" dt

V

dt

и объединяя

T

,

d-z -r

l

+

— k.

 

 

dt2

Ho

dr_

dQ

 

 

 

dr"- dQ

 

Q\

_ J_

d_

d9

dt

dt

1

dt У

dt )

dt

dt

 

2

~

r

dt

dt

 

 

' dt*)

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv_

Ol

~°— \ i

1

d ,

\"| ~ ,

dvz~r

 

 

 

 

dt

dt

r

 

 

 

 

 

 

 

Проекции уравнения движения на оси координат примут вид:

 

dvr

9

 

 

1

dp .

 

 

 

 

=

t r ­

 

 

 

~Ж

Г

p

dr '

 

 

 

= /е

1

ap .

 

dvz

J_

dp

r dt '

Р

rdQ

'

 

~dl —

p

âz

19 В . С. Бекнев

289

или, заменяя полные производные частными, получим уравнения Эйлера в виде

оЧ'е

i

Ѵг д(гѵѳ) ,

дщ_ i

ОУѲ

с

1

dp .

[ (279)

dt

т

т

дг

° г <ЭѲ

dz

'0

р г о Ѳ '

 

Ô U Z

_ | _ Л

д Ѵ г _1_ 7,

Ô " Z _1_ 7,

Ö Ü Z — f

 

1 д

Р

 

Выражения для вихря скорости в цилиндрических координатах

Воспользовавшись обозначениями рис. 157, составим цирку­ ляции по контурам граней элементарного объема:

для грани MADE

|(t;erde)dr-7|e(orrfr)rde

или

откуда по теореме

Стокса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

'

д

(™ѳ)

дѵг

(280)

 

 

 

 

.гаг

räQ

 

 

 

 

 

Для

грани

МСВА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d-ГмсвА

д

 

 

 

 

д

dz) dr,

 

 

--j

(vrdr) dz — --у (v2

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(281)

Для

грани

MEFC

 

 

 

 

 

 

 

 

dTMEFC

=

7Ід- (vz

dz)

rdQ

—

-0-- (ѵѳг

dQ) dz.

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

1

(

àvj_

_

дщ\

(282)

 

 

 

 

г~~~Т\гдѲ

 

 

dz ) *

 

290

Смотрите также файлы