Осесимметричное установившееся движение невязкого газа
В этом частном случае выражения (278)—(282) дают
0: (283)
dur |
дѵг |
|
дг |
•~dz ' r |
f r |
|
|
|
|
dz |
dvz . |
dvz |
. |
j |
_ |
dp_. |
° ' зГ + " » Ж = /* — p dz ' |
î а ( г о ѳ ) . |
|
Cùo ~ |
|
|
dvz |
|
2 \ |
dz |
dr У- |
rdr |
|
(285)
д (rve) r dz
В случае потенциального движения, учитывая выражения для IÙZ и юг [формулы (285)], получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ги0 = |
const. |
|
|
Из |
второй |
строки |
выражений |
(284) следует, что |
|
|
|
|
|
v grad {гѵѳ) = r/ѳ, |
|
|
т. е. |
условие |
гѵѳ = const |
тождественно |
отсутствию |
проекции |
массовых |
сил на окружное |
направление. |
|
|
Если |
же |
задано |
/ ѳ = 0, |
то течение может быть и непотен |
циальным, этому случаю |
соответствует |
течение, при |
котором |
v±gvaà{rve),
причем линии rv0 = const расположены в плоскости, перпенди кулярной оси симметрии потока.
Уравнение (283) позволяет ввести функцию яЬ (г, г), которая удовлетворяет условиям
дф |
р |
Эф |
р |
гѵг, |
(286) |
дг |
Po z' |
dz |
— |
|
|
|
Po |
" |
|
обращающим уравнение (283) в тождество. В выражениях (286)
через р 0 обозначена |
плотность в какой-то условной точке. |
Из условий (286) следует, что поле скоростей в осесимметрич- |
ном потоке связано |
с функцией \р (r, z) формулами |
а = ü°--L UÎ • |
|
у — _ A JL <?î |
z |
p г дг ' |
г |
p |
r dz |
|
|
|
19* |
|
|
|
291 |
Уравнение (283) указывает, что дифференциальный двучлен
|
|
|
|
|
|
|
— гѵ, dr |
|
|
|
|
— rvr |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Po |
|
|
Po |
|
|
|
|
|
|
является |
полным дифференциалом |
|
функции |
яр (г, |
z). |
|
|
На |
поверхности |
тока |
в |
несжимаемой и в сжимаемой жидко |
стях |
яр (г, |
г) = |
const, |
следовательно, |
уравнение |
линии |
тока |
в плоскости |
(г, г) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr_ _ |
dz_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vr |
~~ ѵг |
' |
|
|
|
|
|
|
Как и в плоском потоке, расход газа в канале, |
ограниченном |
двумя |
поверхностями |
тока яр! и яр2 , выражается через |
эти значе |
ния |
функции тока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расход газа между двумя бесконечно близкими |
поверхностями |
тока |
|
|
|
|
dQ = 2л. г p (vzdr |
— vrd2) |
= |
2лр0 Л|>. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для канала конечной ширины, ограниченной поверхностями |
тока |
ярх и яр,, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
J dQ = |
2яр 0 (яр2 |
— яр^, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
и требовалось |
показать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если поток |
потенциальный, |
то из выражения (285) для с о ѳ = 0 |
следует, что существует функция |
ср (/-, г), производные от которой |
по координатам |
дают проекции |
скорости на эти оси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ô £ . |
|
|
|
|
_3ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
z ~ |
dz ' |
V r |
— |
дг - |
|
|
|
|
Линии |
ср = |
const |
и |
яр = |
const |
|
|
образуют |
в плоскости |
(Г, г) |
сетку |
ортогональных |
кривых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записав |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dm - |
ЁѴ dz |
|
-L |
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ф |
— |
dz |
a z |
|
1 |
|
dr |
' ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = ^ d z - r ^ d r , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
dz |
|
|
1 |
dr |
' |
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dcp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
- ) |
|
= • |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оф_ |
— |
vr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
dz / ф = с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
— ) |
= |
|
|
оф/дг |
_ ѵГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d^fldr |
vz ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
dz / і р = с |
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
следует, что линии |
ср = |
const |
и яр = |
const перпендику |
лярны |
как для сжимаемой, |
так и для несжимаемой |
жидкостей. |
При |
этом |
поле |
линий ср = const |
и яр = |
const зависит |
от сжимае- |
мости среды. |
Следует |
подчеркнуть, |
что плотность жидкости |
в данной точке |
зависит |
от всех трех |
проекций скорости іу, ѵѳ |
иѵг, причем ѵв не входит явно в выражения для ср и і)). Определенный интерес представляют случаи осесимметричного
течения газа в канале между двумя цилиндрическими поверх ностями и между двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии.
Первый случай схематически соответствует течению в осевом зазоре между венцами осевой турбомашины, второй — течению в радиальном зазоре между венцами радиальной турбомашины.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если для осевой турбомашины |
принять ѵГ — 0, то при сог = |
= |
со0 = м г |
= 0, т. е. для потенциального |
потока, |
получим |
|
|
|
гѵѳ |
= const и vz = const |
по /'. |
|
(287) |
|
Выражения |
(287) позволяют |
найти |
треугольники |
скоростей |
на |
любом |
радиусе |
осевого зазора. |
|
|
|
|
|
Из уравнения (283) и третьей строки |
выражения |
(284) при |
/г = /ѳ = /г |
= 0 |
с |
учетом уравнения |
изоэнтропы |
имеем |
Следовательно, при ѵг ф a dp/dz = 0, а значит и dpldz = О и dvjdz = 0, т. е. параметры газа не меняются по длине цилин
дрического зазора. |
При vz = a, ^=г0, |
что |
соответствует тече |
нию в горле |
сопла |
Лаваля. |
|
|
|
Из первой |
строки выражений (284) при |
= |
получим |
т. е. при любой «закрутке» потока в осевом зазоре цилиндрической ступени имеется положительный градиент давления, а следова тельно, и плотности.
Уравнение (288) называют уравнением радиального равнове сия; оно нашло широкое применение в теории осевых турбомашин.
Для |
радиальной |
турбомашины |
можно |
считать, что ѵг = О, |
тогда из |
условий потенциальности |
со, = |
ц>ѳ = mz = 0 |
получим |
|
|
л7 = |
0; гиѳ = |
const. |
|
Пренебрегая массовыми |
силами |
(/ = |
0) и рассматривая урав |
нение (283) и первую строку выражений |
(284) с учетом |
изоэнтро- |
пийностн |
течения, |
получим |
|
|
|
|
где v2 = |
vi + v\ — квадрат |
модуля |
скорости. |
|
При движении газа в плоском радиальном канале, если ѵг <^ а, параметры газа можно подсчитать по соотношениям:
гѵѳ = const; rpvr = const; |
^ p -~. |
(289) |
Соотношения (289) связывают параметры газа в плоском осесимметричном канале при установившемся осеснмметричном те чении.
Система дифференциальных уравнений неразрывности п дви жения вместе с уравнением изоэнтропы при заданных граничных условиях позволяет решить задачу. Решение в общем случае по лучается численным методом. Применение ЭЦВМ существенно сокращает время получения решения.
В отдельных случаях целесообразно иметь возможность полу чать решение задачи «ручным» способом. Такое решение обычно дают обратные задачи, при которых контур канала строится в виде линий тока некоторой системы особенностей (вихревых колец, стоков, источников, диполей и т. п.). Прямую задачу иногда удобно решить вручную графо-аналитически, хотя решение в этом случае получается приемлемым лишь для средней части канала. Для входных и выходных участков канала решение прямой задачи получить очень трудно.
§ 33. |
ПРОФИЛИРОВАНИЕ КАНАЛА |
МЕТОДОМ |
|
|
|
|
|
ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ |
|
|
|
|
|
|
|
Вихревое кольцо представляет собой замкнутую |
вихревую |
нить |
заданной интенсивности (рис. 159). |
|
|
|
|
|
Пользуясь формулой Био — Савара, можно вычислить скорости |
в несжимаемой |
жидкости для любой точки M в окрестности |
|
|
вихревого |
кольца. |
Проекции |
скорости |
|
|
ѵг и vz выражаются через полные эллип |
|
|
тические |
интегралы |
первого |
К (k) и |
|
|
второго Е (k) рода. Через эти же инте |
|
|
гралы выражается функция тока я|з. По |
|
|
скольку имеются таблицы полных эллип |
|
|
тических |
интегралов, |
то не |
предста |
|
|
вляет |
большого |
труда |
получить |
таб |
|
|
лицы для |
расчета |
проекций |
скорости |
|
|
и функции |
тока для одного |
вихревого |
|
|
кольца. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так, |
для изолированного |
вихревого |
|
|
кольца |
радиусом |
R с |
циркуляцией Г |
|
|
функция тока я|) определяется |
выраже |
|
|
нием |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
159. Вихревое |
кольцо |
|
|
•шѴ(г, |
г), |
: |
(290) |
где |
(r, z) = Vz°- + Çr + |
l ) |
|
к' |
К |
— безраз- |
3 |
|
мерная |
функция |
тока |
(табл. |
4); |
u |
|
_ |
+ (l + r) 2 — |
k = 2Vr/Yz2 |
модуль эллиптического интеграла; r |
= rlR; |
z = z/R |
— безразмер |
ные координаты |
точки. |
|
|
|
|
|
|
Осевая и радиальная |
проекции |
скорости соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
(291) |
Рис. 160. Поверхности тока вихревого кольца
|
|
|
|
(292) |
где |
|
|
|
|
|
/С- |
I + |
2 fr- |
|
У ? + ( 7 + і ) |
г 3 + ( г - l) 2 |
|
"тѴ 2 2 - r - ( r + l ) 2 |
/С — |
l |
|-_ |
а . |
|
|
Г 2 2 + ( Г _ 1 ) |
2 |
безразмерные составляющие скорости (табл. 5 и 6). |
При наличии нескольких вихревых колец в поле течения |
жидкости значения \\>, ѵг и |
ѵГ для |
произвольной |
точки потока |
складываются алгебраически.
