нен, т. е. эллипс не меняет своего положения, значит, его большая ось дает направление характеристики, вдоль которой вектор ско
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рости постоянен. |
Эта |
характеристика |
прямолинейна. |
|
|
Покажем, |
что в этом случае все характеристики |
семейства I I , |
пересекающие |
характеристику |
AB, |
прямолинейны. |
|
|
|
|
Возьмем на АС |
и AB ряд |
точек |
Мъ |
М2, |
. . . и Nlt |
|
N 2, |
• • • |
Все точки М' |
на плоскости годографа попадут в точку А'. |
Теперь |
построим сетку характеристик в плоскости потока. Из |
точки |
Мх |
проведем с помощью эллипса элемент характеристики семейства I I , |
а из точки Nj_-—семейства |
I , в |
результате |
получим |
точку |
Рх. |
Переходя |
в плоскость |
годографа, |
замечаем, |
что точка |
Р[ |
попала |
в точку |
N{, |
так |
как |
она |
лежит |
|
на |
пересечении |
эпициклоиды |
Кг
Рис. 150. Частный случаіі решения задачи 2
семейства I I , выходящей из точки М[ (или А') и эпициклоиды семейства I , выходящей из точки Nx. Если провести те же построе
ния для точки Plt |
то мы увидим, что точка |
Р2 ляжет в N{ и т. д. |
Значит, характеристика N1P1P2—прямая. |
Те |
же рассуждения |
справедливы для |
любой точки характеристики |
AB. Нетрудно |
заметить, что прямолинейные характеристики непараллельны в об
щем случае, так как для точек |
кривой А' vi В' оси эллипса |
направ |
лены различно. И только в |
случае прямолинейности AB |
и АС |
оба семейства характеристик |
в плоскости потока прямолинейны |
и изогональны, т. е. пересекаются под равными углами. В этом случае в плоскости годографа получим одну точку, т. е. весь газ движется прямолинейно и равномерно со сверхзвуковой ско ростью.
Задача 3. В плоскости потока задано распределение скоростей на характеристике AB, причем точка А лежит на твердой стенке (линии тока), и характеристика другого семейства, проходящая через точку А, идет внутрь стенки (штриховая кривая, рис. 151).
Покажем, что можно построить поле скоростей в области, ограниченной твердой стенкой, заданной характеристикой и характеристикой другого семейства, проведенной через точку В до пересечения со стенкой в точке С.
Переносим заданную характеристику AB семейства I I в пло скость годографа и проводим через точки М{ и М? характеристики
семейства I . Затем с помощью эллипса проведем прямолинейный элемент характеристики семейства I через точку Мг плоскости потока до встречи с твердой стенкой в точке N1. Направление ско рости в точке Ni нам известно по условию: оно параллельно касательной к стенке в точке N1.
У
Рис. 151. Решение задачи 3 методом характеристик
Проводим в плоскости годографа луч с этим направлением до пересечения с характеристикой второго семейства в точке N{.
Пользуясь эллипсом, проводим элементы характеристик через точки Ni и М2 до их пересечения в точке Рх. Из Рг и М3 прово дим лучи до встречи в точке Р2 и т. д. Точки N2 и N3 строятся аналогично точке N{.
С
У
Рис. 152. Решение задачи 4 методом характеристик
Проводим биссектрисы, и поле скоростей в плоскости потока построено.
Задача 4. В плоскости потока задано распределение скоростей на характеристике AB, причем точка А лежит на свободной поверхности, форма которой неизвестна (рис. 152).
Покажем, что можно построить поле скоростей в области, ограниченной заданной характеристикой, свободной поверх
ностью |
и |
характеристикой |
ВС |
другого |
семейства, |
проведенной |
из точки В до встречи со свободной поверхностью |
в |
точке |
С. |
Как и раньше, переносим заданный отрезок характеристики |
AB |
в плоскость годографа и проводим через точки М\, |
М'і характери |
стики семейства I I в |
плоскости |
годографа. |
|
|
|
|
|
|
|
Свободная |
|
поверхность |
характеризуется |
тем, |
что |
давление |
(а значит, и скорость) на ней постоянны, и вектор скорости |
каса- |
телен к |
ней |
в |
каждой точке. Постоянство скорости |
при |
изоэн- |
тропнческом |
течении |
газа |
следует |
из уравнения |
|
Бернулли: |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
р* |
( |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
^ |
k—\ |
|
р* |
\ |
р* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, свободная поверхность в плоскости годографа |
примет |
форму |
дуги |
круга |
радиусом |
ѵА. |
В плоскости потока |
из |
вестен |
только |
элемент свободной |
поверхности |
около |
точки |
А. |
С помощью эллипса проводим элементы характеристик |
через |
точки M-у, Mo |
и В. При |
этом |
прямая |
MXNX |
встречает элемент |
свободной поверхности в точке NХ. |
|
Направление |
скорости |
в |
ней |
определяется |
точкой |
N\, |
полученной при встрече эпициклоиды, |
выходящей |
из точки |
М{, |
с дугой |
круга |
А'С. |
Проведем элемент |
свободной поверхности, проходящей через точку Nu |
параллельно |
радиусу-вектору точки N{. |
Из точки |
Nx |
проведем элемент |
харак |
теристики семейства I до встречи |
в |
точке Рх |
с |
характеристикой |
семейства I I , выходящей |
из точки Mo.. Если из точки |
Рх |
провести |
характеристики обоих семейств, то |
найдем точку ІѴ2 и т. д. |
|
Таким |
образом |
строится |
сетка |
характеристик |
в |
плоскости |
потока. Проведя между ними биссектрисы углов, находят поле скоростей.
На основе рассмотренных задач можно спрофилировать пло ское сопло Лаваля с параллельным потоком на выходе и заданным числом М.
Профилирование плоского сопла Лаваля
Предположим, что сопло после горловины имеет прямолиней ный участок ВС, составляющий с осью симметрии сопла угол а =
=4-=-6°.
Вэтом случае на сравнительно небольшом расстоянии от гор ловины установится сверхзвуковое радиальное течение с центром
в точке О (рис. 153). Если сделать сопло с плоскими стенками, то и на выходе поток будет радиальным, а не плоскопараллельным.
Спроектируем стенки сопла так, чтобы на выходе получить сверхзвуковой плоскопараллельный поток с заданной скоростью.
Так как сопло выполняем симметричным, то плоскость симме трии можно считать твердой стенкой и строить половину сопла.
При помощи известных из теории истечения формул найдем площадь выходного сечения сопла для получения заданной ско
рости. Задаваясь углом раствора |
сопла а, определим его длину, |
т. е. находим положение точки А, |
в которой получается заданная |
скорость ѵ2 при радиальном течении.
Пользуясь эллипсом Буземана, проводим через точку А ха рактеристики обоих семейств.
Пусть AM характеристика семейства I — она прямолинейна, так как скорости на ней мы считаем постоянными. Характеристику семейства I I через точку А проводим до пересечения с дугой
О |
|
|
|
Е |
А3 |
Аг |
А/ А |
|
|
|
Рис. 153. |
Профилирование плоского сопла Лаваля |
с |
равномерным |
потоком |
на |
|
|
|
|
выходе |
|
|
|
|
|
|
|
|
окружности Ах в точке Вх. |
Но АВХ—характеристика |
и |
через |
Вх |
пройдет |
прямолинейная |
характеристика |
семейства |
I |
(скорость |
в точке |
Вх |
нам |
известна — она радиальна). |
|
и &з- |
|
|
Аналогичное |
рассуждение проводим для точек 5 2 |
Пусть |
точка D 3 |
есть точка встречи характеристики семейства I , проведен |
ной через |
точку |
В3 с продолжением |
""некой |
стенки. |
|
|
|
Воспользуемся свойством прямолинейной характеристики и |
проведем через точку D3 линию параллельно 0В3, |
так как скорость |
в точке D3 |
равна |
и параллельна скорости в точке В3. |
Через |
полу |
ченную точку D 2 |
проводим линию параллельно 0В.2 |
и т. д. |
Таким |
образом получим очертание профиля сопла. Через последнюю точку D проводим стенку параллельно плоскости симметрии сопла. Поток на выходе — плоскопараллельный. Плавность очертания стенки зависит от густоты расположения точек А, Ах, А.г, • - •
Отметим, что в области ЕСКА поток в сопле радиальный. Поворот потока происходит при переходе через прямолинейные, но непараллельные характеристики семейства I .
Течение вдоль выпуклой стенки
Пусть в точке А плоская стенка переходит в выпуклую (рис. 154). По заданной скорости ѵх с помощью эллипса строим
характеристику |
семейства I в плоскости потока, проходящую |
через точку А. |
Эта характеристика будет прямолинейной, так как |
слева от нее поток газа плоскопараллельный. Очевидно, при этом мы получим условие задачи 3 (характеристика и твердая стенка).
Проведем с помощью эллипса Буземана элемент характери стики семейства I I через точку Мг, расположенную на характе ристике семейства I . Получим точку В на твердой стенке. Имея направление скорости в точке В, находим точку В' в плоскости годографа. Она лежит на эпициклоиде семейства I I , проходящей через точку А (В).
Рис. 154. Обтекание выпуклой стенки
Через точку В проходит прямолинейная характеристика се мейства I , что следует по доказанному из прямолинейности харак теристики А, МкМг. Те же рассуждения справедливы для любой точки твердой стенки, т. е. все характеристики семейства I будут прямолинейными. Имея сетку характеристик около выпуклой стенки, легко построить линии тока.
Рис. 155. Обтекание тупого выпуклого угла
Величины скоростей находим по плоскости годографа. По урав нению Бернулли находим давления в точках потока. В этом случае
поток около стенки ускоряется, т. е. давление падает. |
|
Теперь можно решить задачу |
обтекания |
тупого |
выпуклого |
угла. Для |
этого в предыдущей задаче устремим точки В, |
С, D |
в точку А. |
Тогда получим излом |
стенки в |
точке А |
(рис. |
155). |
При этом вдоль каждого луча вектор скорости постоянен.
Определим предельный угол Ѳп р 'отклонения сверхзвукового потока, при котором отрыва потока нет. Для этого воспользуемся плоскостью годографа скорости. По условию задачи стенка АО должна быть линией тока.
Из построения картины линий тока |
при обтекании |
тупого |
угла следует, что концы векторов ѵх и ѵ.г лежат на одной |
эпици |
клоиде. В этом случае поток остается |
сверхзвуковым. |
|
Очевидно, что угол между векторами |
ѵх и ѵ% (равный Ѳ) зави |
сит от их величин, так как они связаны |
с одной и той же эпи |
циклоидой. |
|
|
При построении сетки характеристик |
в плоскости годографа |
мы получили формулу, связывающую угол Ѳ между вектором ско рости и осью абсцисс с величи
ной скорости |
V на |
характери |
стике. |
|
|
Применим |
ее для нашей за |
дачи. Пусть |
концы |
векторов |
скоростей ѵх |
и ѵ2 |
лежат на |
эпициклоиде, |
тогда |
|
|
|
k+ |
i |
arctg X |
|
|
k — i |
|
X У |
k—l |
Z + |
arctg Z - f Ci. |
k+ 1 |
Рис. 156. Характер течения в косом срезе соплового аппарата турбины
Считая, |
что вектор ѵх |
имеет Ѳх = 0, |
определим |
Сх: |
|
|
|
С |
г |
= |
Ѵт=Т |
a |
r c t g |
ѴтТТ |
Z l |
- |
a |
r C t |
g |
Zl" |
|
|
Направление вектора i>2, лежащего на той же эпициклоиде, |
даст |
угол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
= |
- |
Ут=т |
a r c |
t g Y T T Î |
Z* + a r |
c |
t g Z |
* |
+ C |
i |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о. = У^г |
{«* |
Ут£г*>- |
|
|
|
У |
|
£ ц |
- |
|
|
|
|
|
— (arctg Zx — arctg Z2 ), |
|
|
|
|
|
|
где Zx |
и Z 2 |
— значения Z на первой и последней |
характеристиках |
семейства |
I |
в |
плоскости |
потока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
что угол |
Ѳ2 равен искомому предельному углу Ѳп р , |
который определяется |
начальной |
и конечной |
скоростями |
потока |
газа. |
|
|
|
при Хх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
= 1,1, А,., = |
2,0 |
и А = |
|
1,4 |
получим |
0П „ = |
= —52°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При К 1 |
— 1 и Х2 = |
Ä,m a x , т. е. при истечении в пустоту получим |
|
|
|
|
|
|
ѲП Р |
= |
-129,32°. |
|
|
|
|
|
|
|