Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

В самом деле,

a из аналитической геометрии известно, что это является условием перпендикулярности двух прямых (в нашем случае двух каса­ тельных к элементам характеристик в соответствующих точках плоскостей потока и годографа).

Выберем координатные оси таким образом, чтобы вектор ско­ рости в точке M был направлен по оси х (рис. 145), тогда

т. е. вектор скорости направлен по биссектрисе угла между каса­ тельными к двум характеристикам плоскости потока в точке их пересечения и составляет угол а м Маха с каждой из характери­ стик. Таким образом, характеристики в потоке газа направлены так же, как и волны Маха, составляя угол а м с вектором скорости в данной точке. Имея сетку характеристик и проводя биссектрисы углов между характеристиками, легко можно построить линии тока.

При этом чем меньше будут ячейки между характеристиками, тем точнее будет построение линий тока. Как указывалось выше, вид характеристик в плоскости годографа не зависит от вида

Подставляя полученные выражения в уравнение (274), получим

274

После несложных преобразований получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

имеем"».-f-d/s-'

Уже отсюда можно заключить, что кривая, построенная по уравнению (276) в переменных ѵ и Ѳ, расположена в кольце с вну­

Эти кривые называются эпициклоидами. Эпициклоиду описы­ вает точка окружности, катящейся без скольжения по другой окружности.

Но, как мы уже указывали, задача сводится к построению характеристики в плоскости потока.

Для графического перенесения характеристик из плоскости годографа в плоскость потока применяется эллипс Буземана.

Рис. 147. Эллипс Буземана в плоскости годографа

276

Его построение основано на следующем искусственном приеме. В уравнение Бернулли для сверхзвукового потока введем замену:

ѵ2 = а2 + с2,

тогда

будет отвечать определенной величине скорости потока (рис. 147). Вспоминая, что угол между вектором скорости и элементом характеристики в данной точке потока определяется соотноше­ нием sina = a/u, заметим любопытное свойство эллипса Буземана: угол между большой осью и вектором скорости равен углу между вектором скорости и элементом характеристики в плоскости потока. Таким образом, если эллипс расположен в соответствии с заданным вектором скорости, то большая ось эллипса дает на­

правление элемента характеристики в плоскости потока.

Легко заметить, что заданному вектору скорости отвечают два положения эллипса: одно, только что рассмотренное, и вто­

Основные задачи для плоского потенциального течения газа, решаемые методом характеристик

Рассмотрим ряд задач на построение сверхзвуковых плоских потоков.

К этим задачам, как мы увидим, можно свести любую задачу плоского сверхзвукового течения без скачков уплотнения.

277

Задача 1. В плоскости потока задано распределение скоростей

ходят известные характеристики в плоскости годографа. Точки их пересечения обозначим N{, . . .

Для этого совместим край эллипса с концом вектора скорости ѵ в плоскости годографа, например с точкой М[. Тогда направление большой оси эллипса дает направление элемента характеристики в плоскости потока. Совмещая другой край эллипса с той же точ­ кой М{, получим направление характеристики другого семейства в плоскости потока. Поступая так же с остальными точками, можно построить сетку характеристик в плоскости потока. Эти характе­ ристики будут состоять из отрезков прямых, что и раскрывает приближенность данного метода.

Как мы уже знаем, скорость направлена по биссектрисе угла между характеристиками в данной точке. Значит, имея сетку характеристик, можно построить поле скоростей. Величины

278

скоростей определяют по сетке характеристик в плоскости годо­ графа.

Задача 2. В плоскости потока задано распределение скоростей на двух пересекающихся характеристиках AB и АС (рис. 149).

Покажем, что можно построить поле скоростей в области, ограниченной этими характеристиками и двумя характеристи­ ками, проведенными через точки В и С до их взаимного пересече­ ния, т. е. в криволинейном четырехугольнике ABCD.

Имея величины и направления скоростей в точках характе­ ристик AB и АС плоскости потока, переносим их в плоскость годографа.

Рис. 149. Решение задачи 2 методом характеристик

Так как в плоскости годографа характеристики не зависят от

ния Р{, Pô скорости известны. Затем с помощью эллипса строим последовательно прямолинейные элементы характеристик в пло­ скости потока. Проводя биссектрисы углов между характеристи­ ками в плоскости потока, получаем искомое поле скоростей в пло­ скости потока. Величины скоростей определяют по плоскости годографа.

Частный случай задачи 2. Пусть в плоскости потока заданы две характеристики с известным распределением скоростей на них,

Определим ее форму в плоскости потока (рис. 150). Мы уже видели, что большая ось эллипса Буземана, край которого совме­ щен с концом вектора скорости в плоскости годографа, дает на­

279