Поступая |
аналогично |
сказанному при |
определении о*, |
вве |
дем |
в правую |
часть безразмерные |
величины: |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
или, |
переходя |
к размерным величинам, |
получим |
|
|
|
|
ô * + |
W - ï O - - ï > - |
( 3 2 5 ) |
|
|
|
|
о |
|
|
ѵх<^ѵ0, |
Сравнивая выражения (324) и (325) и помня, что |
заключаем, |
что |
|
Ô** < |
б*, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопоставление данных трех определений толщины погранич ного слоя дает
Ô > ô* > |
ô**, |
но все величины имеют порядок |
'о |
• |
§ 38. ИНТЕГРАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ КАРМАНА
Напряжение трения на обтекаемой поверхности при ламинар ном режиме движения вязкой жидкости в пограничном слое определялось по формуле Ньютона
Выведем теперь уравнение, которое будет справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного режимов течения в по граничном слое.
Для этого рассмотрим установившееся плоское движение вяз кой несжимаемой жидкости в пограничном слое. Выделим эле мент поверхности dx и рассмотрим массу жидкости, ограничен ную отрезком стенки dx, отрезками нормалей к стенке AB = h и CD = h' = h + dli и отрезком линии тока ВС за границей по граничного слоя (рис. 173).
Применим |
к |
массе жидкости |
ABCD |
теорему |
импульсов. Из |
менение количества движения массы |
A BCD за |
время |
dt равно |
импульсу внешних сил за это |
же время |
dt. |
|
|
Поскольку движение установившееся, то изменение количества |
движения |
массы |
ABCD |
равно |
разности |
количеств |
движения |
масс CCD |
и |
В |
В'А. |
|
|
|
|
|
|
Проекция |
количества движения массы ABB' |
на ось |
х |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
КАВВ- |
= |
[ РУ.Ѵ dy |
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Количество движения массы DCC определим, пользуясь непрерывностью функции К {х):
к |
—к |
_і_ ( d к |
л в в - ) |
ADCC — ААВВ' |
- Г • |
|
~ |
|
|
|
|
dx |
или |
|
'h |
|
|
|
|
|
|
KDCC = |
j pvl dy dt - f |
y J |
pvl dy |
Изменение количества движения за |
время |
dt |
|
|
|
d |
l |
h |
KDCC |
~ K A B |
B ' =-^M |
Çvldydtjdx. |
p
—t
h
Рис. 173. Элементарный объем
жидкости, ограниченной стен кой и линией тока ВС
Подсчитаем импульс внешних сил, действующих на массу ABCD при ее движении за время dt: со стороны стен ки действует сила — т0 ^.ѵ; на поверх-
іі
ность AB действует сила[ p dy; на по-
ô
верхность CD в силу непрерывности распределения р (х) будет действовать
С И Л Э
\ p d l J + - ^ \ \ |
P d l j ) d x |
на поверхность ВС |
в |
направлении |
оси |
х |
действует сила |
( Р 4" ~4f~ ) |
dh. |
Сложим |
|
эти силы, |
тогда |
получим |
|
|
h |
h |
/ h |
\ |
|
|
— x0dx |
+ |
J pdy— |
j |
pdy—-^. |
]pdy\dx |
+ |
(p+4*.)dh |
или, пренебрегая бесконечно малой величиной dpdh/2 и пользуясь
тем, что р не зависит от у, получим |
|
— т0 dx — |
(ph) dxArpdh = — т0 |
dx — h -^- dx. |
|
|
dx |
Приравнивая изменение количества движения импульсу внеш
них |
сил, будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
Ii |
|
|
|
|
|
|
|
j" pvl dy dtdx = |
— x0 dx |
dt — h ~ |
dx dt |
|
или, |
сокращая |
на |
dxdt |
|
|
|
|
|
|
|
^^9vldy |
= |
- x Q - h ^ x |
, |
(326) |
где |
h—расстояние |
от стенки до линии тока по нормали |
к стенке. |
Введем в это уравнение толщину пограничного слоя ö < h, причем ѵх = и при у > о.
Тогда можно записать
Л |
6 |
Л |
6 |
f pvx dy = |
J pvldy |
- f - J pvldy |
= J pvldy - f pu2 (h — ô) |
b |
о |
б |
о |
»&=<»-«>£+»£•
Подставляя |
эти-выражения |
в формулу (326), получим |
-fö J f»* dy + |
-^- [pu2 (Л — ô)] = — т0 |
— {h — Ô) |
— ô dpdx (327) |
Запишем выражение для расхода жидкости |
через |
сечения AB |
и DC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h' |
|
|
|
|
|
|
J pvxdy |
= | |
p M « / = J pvxdy |
- f ~ |
|
J pvxdy\ |
dx, |
т. e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
pvxdy=0, |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
.0 |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
выражение |
в квадратных |
скобках |
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J руЛ dy - j - ри (Л — о) = с |
|
|
(328) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
или, умножая |
на и, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
и j" рг^ dy + |
pu2(/z — ô) = |
си. |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
pu2 (h — ô) = си — u J pvx |
dy |
|
|
dx |
[pu2{h^ô)] |
= c dxdu |
dx |
J ?vxdy— |
-£r |
J |
|
или, подставляя |
С из выражения |
(328), |
получим |
U [pu2 |
(h - ô)] = -fg- } pü j e |
^ + |
P« - g - (Л - ô) - |
dx |
|
|
|
и |
и |
|
U |
îj-J PVx-dy~~\ |
|
pvxdy=pu^(h-Ô)-u^\pu.vdy. |
Ô |
0 |
' |
0 |
Подставляя полученное выражение в формулу (327), будем
иметь |
б |
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
-j- \ pvldy + pu -J- |
(/і — ô) — u — j pvx dy = |
|
|
0 |
' |
|
0 |
|
но по |
уравнению |
Бернулли |
для |
y >> ô |
|
|
|
du |
|
dp |
(329) |
|
|
РиЧх- |
= |
~1ПГ' |
|
|
|
тогда |
интегральное |
соотношение принимает вид |
|
|
б |
|
б |
|
(330) |
|
о |
|
о |
|
|
|
|
|
Соотношение (330) называют интегральным соотношением Кармана. В ряде случаев его записывают в преобразованном виде, выразив входящие в него интегралы через условные толщины по
граничного слоя б* и |
о**. |
|
|
|
Второй интеграл выражения (330) при р = |
const можно предста |
вить в виде разности |
|
|
|
|
б |
Г |
6 |
1 |
6 |
и |
|
о |
|
о |
о |
L |
J |
причем первое слагаемое правой части может быть записано в виде
|
d |
|
d |
б |
|
и J vxdy |
чѵх dy, |
|
dx |
=-£г\ |
|
|
|
о |
|
|
|
|
так как скорость и на границе пограничного слоя не зависит от у.
Последнее |
слагаемое |
правой части выражения (330) предста |
вим через и, пользуясь |
формулой |
(329). Тогда |
получим |
о |
dp |
о du |
du P |
f |
dj |
^ |
О |
-f- — — |
1p O U - т — = |
|
ах |
dx |
~dx~ |
J " |
|
