После несложных преобразований получим искомую форму интегрального соотношения Кармана
т |
+ 4 н 2 |
+я )4г = > |
(331> |
где H = ô*/ô** — отношение |
условных толщин |
пограничного |
слоя. Интегральное |
соотношение позволяет вычислить толщину |
пограничного слоя |
при известном распределении |
давления по |
контуру обтекаемого тела, полученном из расчета потенциального обтекания того же контура, и при известном законе изменения ѵх по сечению пограничного слоя. Кроме того, необходимо знать
связь напряжения |
т 0 |
с |
характеристиками |
пограничного слоя. |
Так, |
для ламинарного |
слоя |
|
т. е. т 0 |
определяют законом изменения скорости ѵх по сечению |
пограничного |
слоя. |
|
|
|
|
Для |
турбулентного |
слоя |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
т 0 = 0 , 0 2 2 5 р и 2 ( ^ - ) 4 |
, |
т. е. т 0 |
связывается |
с толщиной пограничного слоя. |
§ 39. РАСЧЕТ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ |
|
для плоской |
ПЛАСТИНКИ |
|
Полученное |
в § 38 |
интегральное соотношение пограничного |
слоя позволяет определить толщину слоя, напряжение т„ трения на контуре тела, силу Q сопротивления от сил трения. Для та кого расчета требуется знать: а) распределение давления р на контуре обтекаемого тела, которое можно найти или расчетным путем для идеальной жидкости, или экспериментально путем за меров его на контуре тела; б) распределение скорости по контуру тела, которое можно определить или расчетным путем для иде альной жидкости, или путем пересчета по распределению давлений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
контуру тела; |
в) |
закон |
распределения |
скоростей |
ѵх = |
/(у) |
в |
пограничном |
слое, |
который |
обычно задают |
в виде |
полинома; |
г) зависимость |
напряжений |
т 0 |
от скорости |
ѵх. |
Такая |
связь |
для |
ламинарного слоя |
устанавливается законом трения |
Ньютона |
Расчет значительно упрощается для пограничного слоя пло ской пластинки обтекаемой без угла атаки стационарным лами нарным потоком несжимаемой жидкости при отсутствии продоль-
ного градиента давления у ѵ0 = const, —^- = 0, p = const j . В этом случае интегральное соотношение Кармана принимает вид
бб
-^ \ v l d y - v 0 ^ \ v x d y = - - f .
оо
Профиль скоростей в пограничном слое для любого тела при ламинарном движении с достаточной степенью точности может быть задан в виде полинома
ѵх = а0 + аху + а2у2 + а3у3 + • • •.
Коэффициенты этого ряда а0, аг, а2, а3, . . ., можно определить из граничных условий. Ограничимся четырьмя членами поли нома и найдем закон изменения скорости в пограничном слое.
При у = 0, ѵх = 0, |
= 0, |
= О |
у =8, |
ѴХ = Ѵ0, |
-gf = 0. |
Последнее следует из равенства нулю касательных напряже ний % на внешней границе пограничного слоя и закона Ньютона для касательных напряжений
|
|
f \ |
ду |
Л = б |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(^Л |
|
|
= о. |
|
|
|
Найдем коэффициенты полинома. Из первого |
условия |
у = 0, |
ѵх = 0 имеем а0 — 0, а из условия |
дгѵх/ду2 |
= 0 |
получим |
2я 2 -4- |
+ 6а3у = 0 н й а = 0. |
у = б, |
|
|
|
дѵх/ду |
= 0. |
|
Из второго |
условия |
иѵ |
= |
ü0 ; |
|
Учитывая, |
что а 0 = |
а 2 = |
0, |
|
+ |
3û 3 ô 2 = 0, |
al = — 3 a 3 ô 2 , |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и0 = a x ô + a 3 ô 3 = — 3 a 3 ô 3 + aß3 |
= — 2 a 3 ô 3 , |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
3 _VQ_ |
|
|
|
аз — — |
' |
0 1 — |
~2~ ô |
' |
|
|
Подставив найденные коэффициенты в исходный полином, получим закон изменения скорости в пограничном слое
Вычислим |
интегралы |
|
|
б |
б |
|
|
\vxdy=\(^-f-y-±-^ry*)dy |
= |
±v0ö; |
о |
о |
|
|
ев
j < 4 * - j ( 4 - ï » - i - » * , ) , * = - » * -
|
о |
о |
|
|
Касательное |
напряжение |
на |
пластинке |
т° ~ |
dy |
)y=o - ^ { 2 |
0 |
2 б 3 У )y=o - 2 V Ô • |
После подстановки вычисленных значений в интегральное соотношение получим
d ( VI r l ? Ä ^ |
|
d ( 5 |
|
3 ^ во |
( ж * ) - * 7 Е - ( 4 ^ > |
2 р6 |
V 35 |
и " У |
"и |
dx V 8 |
w u " ; — |
или |
|
|
|
|
|
|
|
^ o 0 |
ô d ô |
= |
ѵгілг; |
|
интегрируя это выражение |
в пределах от 0 до ô и от 0 до х, по |
лучим, считая, что |
ô = 0 |
при х — |
0,. |
|
|
|
13 |
|
О (> |
|
|
|
-гтѵ°е~ |
= ѵх> |
|
откуда
|
т0 = А |
р , - ^ = |
0,323 |
|
Сила трения, |
действующая |
на |
поверхности пластинки дли |
ной x и шириной |
Ь, может быть найдена из выражения |
|
|
Q = 6 J т0 |
dx, |
|
а коэгрфициент сопротивления |
|
|
|
|
сх — |
— = |
5- f т0 |
dx. |
|
|
bx— |
|
|
|
Для рассмотренного |
случая |
|
|
|
|
cx = 1,292 —4=- = |
1,292 |
1 |
|
r — |
|
|
у м |
|
|
|
Если взять другое количество членов полинома, то оказы вается, что окончательные формулы для о, т 0 , сх будут отличаться от приведенных выше только коэффициентом. Так, при семи чле нах полинома выражение для скорости получается в виде
-Ч 2 Ш - в Ш ' + в Н г ) " - 2 Ш ' ]
авеличины
0 = 6 , 0 4 8 ] / ^ ; |
т0 = 0,331 |
с, = 1,324- |
1 |
V R e |
дают хорошее совпадение с данными, полученными |
Блазиусом |
(разница всего 0,3%). |
|
|
|
Для турбулентного пограничного слоя законы распределения |
скоростей и касательных напряжений на поверхности |
пластинки |
получены в виде |
|
|
|
где В и я — функции |
числа Рейнольдса. |
|
|
Для турбулентного пограничного слоя плоской пластинки и
чисел |
Re =g; 105 закон |
изменения |
скорости в |
пограничном |
слое |
может |
быть |
задан |
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ул > |
|
|
|
|
|
напряжение — в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т0 |
= |
0,0225р - и 2 о( 1 ^ - ) , Л , |
|
|
|
|
|
тогда, |
используя то же интегральное |
соотношение |
Кармана, |
по- |
|
, |
„ |
„ Ь0-2 |
0.8 |
|
п л г 7 0 |
РЩ I V |
\0, 2 |
|
|
0.072 |
лучим о = 0 , 3 7 — к ^ - х ' |
; |
- |
т0 = 0,0578—=-( |
; |
сх |
= —^ |
• |
|
|
' |
|
R e |
0 |
2 |
|
|
2 |
\ |
Ѵ |
/ |
|
Анализируя полученные данные, можно сделать следующие |
выводы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. В результате более интенсивного перемешивания |
частиц |
толщина |
турбулентного |
пограничного слоя |
нарастает |
быстрее, |
чем толщина |
ламинарного |
слоя. |
|
|
|
|
|
|
|
2. По этой же причине напряжение трения при турбулентном |
режиме больше, чем при ламинарном. При обтекании |
различных |
тел при |
сравнительно |
небольших |
числах Рейнольдса |
(для |
пло |
ской пластинки от Re = 10е -=-5 -106) в пограничном слое имеется область перехода ламинарного пограничного слоя в турбулент ный. В том случае, когда длина участка ламинарного слоя у вход
ной кромки становится соизмеримой с длиной турбулентного
336
участка, приходится говорить о смешанном пограничном слое
(рис. 174). Расстояние области перехода от передней кромки за висит от степени начальной турбулентности потока и шерохова тости поверхности обтекаемого тела. Коэффициент сопротивления плоской пластинки в этом случае определяется выражением
|
|
_ |
0,072 |
A |
|
|
|
где |
А — опытный |
коэффициент, |
учитывающий |
шероховатость |
пластинки (его пределы 300 ^ Л ^ |
1700). Для гладких пласти- |
|
I |
|
|
— |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г^, ÇÇ / |
Tt/рБулентное |
|
|
|
V |
|
*І і1- |
С 'течение |
в слое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 174. Смешанный |
пограничный |
слой |
на пластине |
|
нок |
А = 1700, для шероховатых |
А = 300. |
Выражение |
(332) |
не является универсальным для всех чисел Re. Кроме того, |
пока |
затель степени п изменяется |
по длине |
пластинки, так как он за |
висит от Re. Поэтому для анализа |
турбулентного |
пограничного |
слоя |
при больших |
числах Re (Re > |
105) более |
предпочтитель |
ным является способ, основанный на универсальном логарифми ческом законе распределения скоростей. На практике для вы числения коэффициента сопротивления сх трения обычно поль зуются интерполяционной формулой
_ 0,455
^ - ( I g R e ) 2 ' 5 8 '
которая справедлива в диапазоне чисел 106 ^ Re ^ 10°.
§ 40. РАСЧЕТ ПОГРАНИЧНОГО |
СЛОЯ |
С ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ |
ДАВЛЕНИЯ |
При обтекании криволинейной поверхности во внешнем по токе и в пограничном слое возникает продольный градиент дав ления dpldx, который создает более сложное течение в погранич ном слое (рис. 175).
Этот продольный градиент давления распространяется на весь пограничный слой и приводит к изменению профилей скоростей в пограничном, слое. Расчет течения в слое в этом случае значи тельно усложняется.
Рассмотрим плоское установившееся ламинарное движение несжимаемой жидкости в пограничном слое при наличии продоль-
