Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

дачи. В то же время этот последний член должен быть одного порядка со всеми остальными членами первой строки. Иначе можно было бы пренебречь или членами, учитывающими силы инерции (левая часть уравнения движения), по сравнению с чле­ ном, учитывающим вязкость жидкости, или наоборот. Следова­ тельно,

vi

= V

откуда

0 =

V Re

Таким образом, физическое условие ô -С / 0 привело к соотно­ шению ô = /„/у Re, значит это условие справедливо при боль­ ших значениях числа Re.

Анализируя вторую строку с учетом выведенного соотноше­ ния для б, получим, что ее последний член намного больше пред­ последнего и имеет тот же порядок, что и все остальные члены, кроме первого члена правой части уравнения, т. е.

P б » ftô.

Следовательно, второе уравнение системы (317) дает соотношение

ду

которое указывает, что статическое давление в поперечном сече­ нии пограничного слоя при больших числах Re постоянно.

Такой же результат можно получить, если поделить члены правой строки масштабных коэффициентов на комплекс uo//0 v

ачлены второй строки на і^/б.

Вэтом случае дифференциальные уравнения в безразмерных; величинах примут вид

320

Очевидно, что при больших значениях числа Re получим при­ ближенные уравнения для пограничного слоя в виде

Итак, полученные уравнения пограничного слоя представляют собой приближенные уравнения гидродинамики вязкой несжимае­ мой жидкости при больших числах Re.

Нетрудно убедиться в том, что безразмерная форма записи системы (319) полностью сохраняется и в размерных величинах.

Два первых уравнения системы (319) называются уравнениями Прандтля.

Второе уравнение Прандтля говорит о том, что статическое

тела сохраняется таким же, как и на границе пограничного слоя. Толщина пограничного слоя выше оценивалась масштабом б, причем было получено, что масштабы по осям х и у связаны со­ отношением

ô = —

V Re

Следовательно, при Re = 10 000 толщина пограничного слоя имеет порядок одной сотой длины обтекаемого тела. При таких толщинах слоя распределение давлений по контуру тела можно достаточно точно рассчитывать по схеме обтекания этого тела по­ тенциальным потоком несжимаемой жидкости. Это можно делать до тех пор, пока толщина слоя мала, т. е. до появления так назы­ ваемого отрыва пограничного слоя, о чем речь пойдет ниже.

В качестве примера использования уравнений Прандтля рассмотрим, следуя Блазиусу, продольное обтекание тонкой пла­ стинки длиной / 0 установившимся потоком несжимаемой жидкости со скоростью ѵ0 вдали от нее.

Пластинку считаем достаточно тонкой, чтобы не было больших скоростей ѵу, вызванных формой тела, т. е. скорость ѵу возникает только' при наличии пограничного слоя.

Примем передний конец пластинки за начало координат и направим ось х вдоль пластинки, а ось у перпендикулярно к ней.

Задача состоит в том, чтобы отыскать распределение скоростей возле пластинки и определить силу трения. Выше было установ­ лено, что поперек пограничного слоя давление не меняется, так как дріду = 0. В нашем же случае давление постоянно и вдоль

внешней границы слоя, так как в основном потоке продольный градиент давления равен нулю, т. е.

322

решение которого дает

Следовательно,

Vf = c'

Решением уравнения (322) является произвольная функция аргумента у/Ѵх, т. е.

v = — = ?

Таким образом, функция двух аргументов х, у сведена к функ­ ции одного аргумента — их сочетания.

Найдем вид функции f{ylV х). Для этого решим основную

о0