Помня, что |
il = — у - |
, |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= - 4 |
= |
У ^ Ф ' ( л ) і |
= |
ф'(гі); |
|
|
|
|
|
ду |
|
|
r |
|
|
У |
x |
|
|
|
|
ЗА- |
= ф" (г,) 41L |
|
|
_ у ф » ) _ |
1 |
А- |
= |
_ |
-2U ф- (г,); |
|
|
дх |
|
= |
|
|
|
( Л |
|
2л- V |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
дѵх |
__„ |
\ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a?i |
Ф"(ч): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
"У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а<г |
|
Ф'" ( л ) — ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А- |
|
|
|
|
|
й = - ^ = 1 ~ * ф ; 0 і ) - т ^ - ф 0 і ) - |
У л- |
|
|
|
ö-v |
|
|
|
|
|
|
2А- 1' А- |
|
|
2 |
Следовательно, |
первое |
из |
уравнений |
(320) |
примет вид |
|
2х |
" ( r | ) + |
|
|
ф' O l ) — Г 7 = — фОі) |
—ГТ^ Ф" (-л) .-4= = |
- Ф ' ( r , ) - f - 9 |
|
|
|
|
2 ] |
А- |
|
|
2 ] |
|
А" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ф'" (л) |
|
|
|
|
|
|
или после приведения подобных членов получим обыкновенное
дифференциальное |
уравнение |
третьего |
порядка |
|
|
|
|
2ф"(л) |
+ |
ф"(іі)ф(г,) |
= 0. |
(323) |
Напомним, что это уравнение получено в предположении о не |
зависимости |
продольной |
скорости ѵх |
от длины |
пластинки / 0 . |
Решение этого уравнения должно удовлетворять следующим |
граничным |
условиям: |
|
|
|
|
|
при |
г) = |
0 |
ф = |
0 |
и |
ф' |
= 0; |
|
|
при |
Т| = |
ОО |
ф' |
= |
1. |
|
|
|
|
Проще всего это уравнение интегрируется методом конечных разностей.
Сущность метода заключается в том, что производные заме
няют |
отношениями |
конечных |
разностей, |
например вместо |
ф' |
пишут |
Дф/Дг| и т. д. Очевидно, |
что, |
чем |
меньше значение |
Дг), |
тем точнее будет |
результат. |
|
|
|
|
|
Граничные условия |
дают, |
что |
|
|
|
|
|
Ф (0) |
= |
ф' (0) |
= |
0 и |
ф' (оо) |
= 1. |
|
Пусть |
ср" (0) = |
т, |
|
где |
m—любое |
число, |
|
В силу |
самого |
метода |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дф' |
= |
ф" Дг|, |
|
|
Примем |
Ar, = |
0,2, |
тогда |
ср' (0,2) — ср' (0) = |
ср" (0) 0,2 или |
ср' (0,2) = |
m |
0,2. |
|
|
|
|
|
|
|
Далее |
Дер" = ср'"Дг). |
|
|
|
|
|
Но из уравнения (323) следует, |
что ср"' (0) = |
0, |
значит |
пли |
|
ср" (0,2) — ср" (0) = 0 - 0 , 2 = О |
|
|
|
|
ср" (0,2) = |
ср" (0) = т. |
|
|
|
|
|
ср (0,2) — ср (0) = |
Таким |
же образом |
находим |
Дер = |
ср'Дт) или |
= 0-0,2 = |
0, т . е . |
ср (0,2) = ср (0) = |
0. |
|
|
Следовательно, |
мы |
построили |
значения ср, ср', ср" и ср"' при |
г] = 0,2.
Приняв эти значения за исходные, можем вести расчет дальше,
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-л |
|
|
Ф |
Ф' |
|
|
ф" |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
m |
|
|
0 |
0,2 ' |
|
|
0 |
0,2 |
т |
|
|
m |
|
|
0 |
0,4 |
|
|
0,04/д |
0,4/п |
|
|
m |
|
|
—0,02 т 2 |
Если |
при i] —> оо функция cp('œ) |
не |
стремится |
к |
единице, то |
нужно |
взять |
другое |
значение |
m |
и добиться |
требуемого |
условия, |
чтобы при т) —> оо значение |
ср' = ѵх |
—> 1. |
При |
таком |
решении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 а |
ср' (т)) = |
ѵх = 0,99. |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
0,0664 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
0,332. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты |
расчета |
хорошо |
согласу |
|
|
|
|
ются с экспериментом (рис. 171). |
|
|
|
|
|
|
Толщина |
пограничного слоя |
при г] = 6 |
Рис. |
171. |
Продольное об |
может быть |
оценена по формуле |
|
|
|
|
|
|
текание |
пластины с обра |
|
|
|
|
|
|
|
|
зованием |
пограничного |
|
|
|
V Re |
|
|
|
|
|
|
слоя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
Подсчитаем сопротивление трения пластинки. Для этого воспользуемся формулой Ньютона, по которой
/ дѵх \
или, вводя безразмерные величины,
Но |
|
|
ф" (0) _ |
Vk |
m. |
|
л Г - |
Ф"(0). |
|
V X |
|
.„ , .„ |
0,332 |
и зависит только от координаты х.
Заметим, что полученный результат противоречит опыту, так как при .ѵ -> 0 значение т 0 -» оо. Это говорит о том, что в области переднего края пластинки рассматриваемые уравнения неверны, так как полная сила сопротивления всегда конечна.
Полное сопротивление трения единицы ширины пластинки длиной /„, омы
ваемой с двух сторон, |
|
|
|
|
|
/о |
|
|
|
U |
|
<3тр = 2 j" т0 |
dx = |
2-0,332 у upog y=r = |
1,328 ]/~(-Ф'о"о- |
о |
|
|
|
о |
|
В аэродинамические расчеты вводят коэффициент сопротивления трения сх, |
причем |
|
|
|
°ö о |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
чтр = схР ~2~ s> |
|
где s = 2/01 —смоченная |
поверхность |
пластины. |
|
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
2тр |
_ 1.328 V nppg<0 _ |
1,328 |
O |
" |
o |
„ n |
Р"о'о |
|
Эта формула очень хорошо согласуется с экспериментом.
Выше было дано представление о малой толщине пограничного слоя, даже оценен ее порядок, но не было дано определение тол щины слоя. Это определение, конечно, должно быть условным, так как пограничный слой постепенно переходит в основной по
ток и, вообще говоря, |
никакой толщины слоя нет. |
Дадим три таких |
условных |
определения: |
1. Толщиной ô пограничного |
слоя назовем расстояние по |
нормали к поверхности тела в данной ее точке, на котором ско
рость ѵх = 0,99 ѵ0.
2. Толщину пограничного слоя определим через так называе мую толщину вытеснения б*.
Рассмотрим пластинку (рис. 172).
Возьмем два сечения перпендикулярно к пластинке. Первое сечение / — / расположено далеко перед пластинкой, где нет ни каких возмущений. Пусть L — расстояние между двумя линиями
тока |
перед |
пластинкой в сечении / — / . |
Возьмем |
второе сечение / / — / / на расстоянии х от переднего |
края |
пластинки. Пусть ô — такое расстояние, начиная с которого |
Этот интеграл можно найти, полагая ц —> оо, тогда
|
] |
о |
|
|
( І - і ) Л і = 1 ц * = І , 7 3 , |
|
о |
|
|
где г)* — высота |
полосы с |
основанием, равным единице, и пло- |
|
со |
|
|
щадью, равной |
J (1 —• vx) |
dr\. |
Тогда |
о |
|
|
|
ô* = |
1,73VxX-l° . |
|
|
V R e
Величину б* называют толщиной вытеснения и толщину по граничного слоя определяют этой толщиной вытеснения. Заме тим, что толщина вытеснения б* при постоянных числе Рейнольдса и 10 зависит только от Ух и не зависит от выбора ли нии тока при L > б.
3. Толщина пограничного слоя определяется через так назы ваемую толщину потерн импульса б**.
Пограничный слой довольно значительно влияет на размеры проходного сечения канала. Это особенно важно учитывать в длинных узких каналах при сравнительно малых числах Рей-
нольдса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь |
рис. 172, запишем |
разность |
количеств |
движения |
в сечениях |
/ — / и |
/ / — / / , что и даст |
нам величину |
потери |
им |
пульса |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pLvl- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\vlpdy |
+ |
(L + |
ô*-Ô) |
pvl |
|
|
|
|
Приравнивая эту разность величине pt^ô**, |
получим отре |
зок |
б**, |
который |
называют |
толщиной потери |
импульса. |
|
Другими |
словами, |
беря в сечении / / — / / отрезок (L + о** |
+ |
+ б*), мы не получили бы изменения |
количества |
движения, при |
этом |
линии |
тока, ограничивающие |
течение |
жидкости |
в |
сечениях |
/ — / |
и / / — / / , |
будут |
разными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
при р = const |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
б**У5 = àvl - |
б |
|
|
б |
|
|
dy - бЧ |
|
|
ô*vl ~\vldy=\ |
|
|
(vi - |
vi) |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
или, |
деля |
обе части на ѵ~0, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
б |
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
Ô** = |
J (1 -lî)dy-à* |
- |
J (1 - |
v2x) dy-J |
(1 - |
'vx)dy |
= |
|
|
|
0 |
|
б |
|
|
0 |
|
б |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
J ( 1 — vi — 1 + vx) |
dy = |
J vx (1 — vx) dy. |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
