Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

- Л 4 » 0

или

R e « : - | а ( Н а 2 - 4 ) .

(2.56)

_

Н а

1 , 3 Н а 2

12 Н а

Тогда у *

- J "

и

^

+

Т T f e ~ " £ Й Г "

Помимо ограничений,

н а к л а д ы в а е м ы х на величины Re, а,

Н а

условием

(2.56),

при

варьировании

этих величин д о л ж н о

е щ е

выполняться условие

1

6 Н а

п

е 3 =

^ — < 0 ,

т. е. R e < 6 H a .

В предельном случае (е 2 ==е 3 ) решение (2.55)

яв -

Re

ляется точным

решением, а при больших Re оценки д а ю т У~

^2

корень

и = 0 , причем

этим

корнем,

естественно,

д о л ж е н

быть

ко­

рень е 2

= 0 ' .

П о л о ж и м

в (2.52)

ег = 0. Т а к к а к при этом

гЬо=-к, &2

=

>

то (2.52) переходит в

Z

Є\ —

£3

l / R e K p e i

(2.57)

6Є)

где

л/2

л/2

£](£)=

[

^

— •

E2(k)=

[ y i - ^ s

i

n 2 ^ ^ .

J0

y i - ^ s i n 2 ^

JQ

Исключим

из

(2.57)

е\.

а ReKp = 2 4 £ , [ £ 2 - (1 - £ 2 ) £ ,] .

(2.58)

пользуемся

(2.38),

которое

дает

ех — е 3 — 2ех —

— — . Под -

ставляя

разность

Єі — е3

в в ы р а ж е н и е

д л я k2, найдем,

что корень

в\ в ы р а ж а е т с я

через /г2

следующим

образом:

3 ( Н а 2 - 4 ) / г 2

(2.59).

2 R e ( 2 £ 2 - l ) '

Подстановка

(2.59)

в первую

из формул

(2.57)

дает

искомое со­

отношение

ее - і / Н а 2 - 4

(2.60)

Т

г

2k2-\

l _

З а д а в а я с ь

тем

или

иным

значением

/ г 2 < 1 ,

можно

вычислить

эллиптические

интегралы

Ei

и

Е2

и

затем

д л я к а ж д о г о

числа

Н а

по

(2.58)

и

(2.60)

построить

зависимость

критического

числа

Re от угла

диффузор -

ности а. Аналогичным об­

разом,

з а д а в а я с ь

а,

м о ж н о

построить

зависимость

R e ^

от

числа

Н а . Пример

этой

зависимости

приведен

на

рис.

2.8

[24], из

которого

видно, что при всех а

кри­

вые

выходят на одну пря -

мую

Rettp

= 6, т а к

что при

10' На-

Н а

Рис.

2.8. Зависимость критического числа

достаточно

больших

Н а

зна­

Рейнольдса Re„p от числа

На при раз­

чение

ReKp

определяется

личных

углах

диффузорности течения а:

лишь

числом

Н а

вне

зави ­

; _

а -

_ . 2

_

а = - ;

3 _ а = Г ; 4

симости

от угла

диффузор ­

5 — <х=2л.

ности а. Этот результат без

особых усилий можно полу­

чить

непосредственно из рассмотрения

(2.58) и

(2.60). Действи ­

тельно, д л я того чтобы

с ростом Н а значение эллиптического ин­

Re

т. е. в пределе

при

Н а - ^ о о

имеем ^

= 6 .

Этот результат,

впро­

чем,

следует

из анализа,

проведенного

в

п. 2.2.2, если положить

там

е 2

3 ( Н а 2 - 4 )

Re

п

ж

4 Re

— = 0 .

48

2.2.4. Течение в конфузоре при больших числах

Рейнольдса.

Течение в конфузоре

обладает той особенностью, что среди

кор­

ней

полинома

Р{и)

не

может

быть

комплексных

корней

[25].

Действительно,

пусть

в\

—

вещественный

корень,

а е2

И <?з —

комплексно сопряженные. Тогда

д л я всех

вещественных и

имеет

место неравенство

{и — е2 ) {и — е3 ) ^ 0

и,

следовательно,

подко­

ренное

в ы р а ж е н и е

в (2.37)

будет неотрицательным,

если

и

огра­

ничено

сверху

числом

Є\. и^.Є].

Та к ка к

при этом и д о л ж н о

об­

р а щ а т ь с я в нуль

на

стенках,

то

O ^ u ^ e i ,

т. е. мы

имеем

дело

•с диффузорным течением.

Итак, в конфузорном

течении

все корни вещественны. Пусть,

Н а 2 —4

к а к

и

выше,

е і ^ е 2 ^ е 3

,

е 3 ^ — j r - = — .

Тогда

полином

Р(и)^0,

z Ке

если

о)

в2^и^,Єі

либо

если

б)

— о о < и ^ е 3 .

ы=5С0 (если

Так

к а к при конфузорном

течении

всегда

течение

одного

н а п р а в л е н и я ) ,

то в случае

а)

.e2s^us^Q,

еіЗгО,

(2.61)

а случай б) должен быть исключен. Действительно, если

Н а 2

< 4 ,

то в

силу отрицательности

корня е% в область определения

и

не

входят

значения

ы = 0 на стенках. Если ж е

Н а 2 ^ 4 ,

то в

случае

б)

и ничем

не ограничено

снизу. Если и будет ограничено

•снизу,

то это означает, что имеется

точка,

где ы' = 0,

т.

е. и

д о л ж н о

быть ограничено неким вещественным корнем

и^е.

ЭТИМ Корнем

(б)

НЄ МОЖеТ быть Є] ИЛИ Є2

В СИЛу УСЛОВИЯ

^ е 2 ^ е з . Этим

корнем не

может

быть

т а к ж е корень £з, та к

как

одновременное удовлетворение неравенствам и^е3

и и ^ е 3

при­

водит к тривиальному

решению и=0.

•

Итак, нетривиальное, ограниченное конфузорное течение од­

ного

направления

возможно

лишь при условиях (2.61) и

описы­

вается

уравнением

du

6

J ІР(и)

' 6

і

yP(u)

Если ввести и = е2+ (еі — е2) cos2 ib и параметр № = —

и р а с -

е{-ег

то р а с ­

сматривать предельный случай очень больших чисел Re,

суждения, аналогичные приведенным

выше при анализе

течения;

в диффузоре, приводят к следующему

решению:'

•Єї

где

е2ж

1

,

е,

=

2 + 3 ( Н а 2

- 4 ) а

а

— е2

—

2 Re

3 ( H a 2 - 4 )

3

и / Re

Таким

образом,

ка к и в отсутствие поля,

конфузорное

тече­

ние при

больших

Re во всей области, за исключением узкого*

пристеночного

слоя, близко

к однородному

и »

. В

ЭТОМ!

З а к а н ч и в а я

анализ плоского

расходящегося

(сходящегося)

течения,

подчеркнем,

что

з а д а н и е

искомых

функций

в в и д е

(2.9)

не

является

единственно

в о з м о ж н ы м

д л я

исследования

такого

рода

течений.

К а к

мы

видели

выше,

обратно

пропор­

циональная

зависимость

этих

функций

от

радиуса

приводит

к

необходимости

рассматривать

. многоканальные схемы

(см.

рис. 2.6, а).

Д р у г и м в о з м о ж н ы м решением являются

зависи­

мости

вида

(2.138),

однако

при этом

з а д а ч а становится

неавто­

модельной по переменной ф. В о з м о ж н ы

и другие

виды

решения,,

так

что анализ

реального

плоского течения в

д и ф ф у з о р е по од­

н о к а н а л ь н і й

схеме,

пусть

д а ж е

в

отсутствие заметного

п р о ­

странственного

э ф ф е к т а

(см. п. 2.3.6

настоящей

главы

и

п. 4.2-

главы

V I I I ) ,

может выйти за р а м к и рассмотренного здесь

а в т о ­

модельного

решения.

2.3. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ

ТЕЧЕНИЯ

2.3.1. Общие

свойства. П р е ж д е всего

отметим, что

урав ­

нения индукции

(2.20) и (2.21)

имеют общий

интеграл

( l + T 1 2 ) T / / + T 1 T / - 4 r = p ( V 1

F - i | ; T /

) ,

(2.62)

т а к что система

уравнений

(2.17) — (2.22)

является

вполне

опре­

деленной .

П о к а ж е м

далее, что уравнения

(2.17)

и

(2.18) можно

при­

вести к одному

ннтегродифференциальному

уравнению

первого

порядка

относительно

функции -ф. Д л я этого

введем

функцию

Г=г|зф' — S^P1?'. Тогда

(2.17) и (2.18)

запишутся

в

виде

Т'= — 2g — Tig' - З т ] ф " -

(1 -

л 2 ) Ф"' -P

+ SL*;

(2.63)

- и Г + Т = -

g' -

гр + л.г|/ + (1 + 4ті2 )

+ т] (1 + и 2 ) V"

•

(2-64)

У м н о ж а я

(2.63)

на п и с к л а д ы в а я

с (2.64),

получаем

Т = г|л|/ -

5W

=

-

2r\g

- (1 + ті2 ) g' - яр + тдо' +

+ ( 1 + і 1 2 ) г р " - т і / 2

+ 5 і і І 2

)

(2.65)

носительно

функции и = 2гр' — g:

( 1 + T I 2 ) « / / + 3 T 1 W ' = T I ( / 2 ) / - 5 T I ( L 2 ) ,

= M ( T I ) .

(2.66)

Уравнение

(2.66)

легко интегрируется, что дает в ы р а ж е н и е д л я

д а в л е н и я

£ = 2 ^ - -

^

^

-

/ [ ( l + n2 )-3 /=

/ ІЇ+^М{^)йцЩ

+ 2а, (2.67)

где а и b — постоянные интегрирования .

С другой

стороны, уравнение

(2.65) имеет

интеграл

- ^ - * 2 -

4 - ч г

2

=

— ( 1 + Л 2 ) Й Г + (1+л а )Ф' — ттФ — [

+

2

1

J

+

S

j

r\L2dx\ + c.

(2.68)

П о д с т а в л я я

g из (2.67) в (2.68), получаем

искомое уравнение

первого

порядка:

(1 + ті2 ) т|)'+ тіг|з+ — ф 2

-

— V 2 = 26т)У 1 + т)2 -

2а (1 + ті2 ) + с +

+

(1 + ч 2 ) /

[

(i+r\2)~%

Jy^+r\2M(ц)dr]]dц-

-

f r\l2dr\

+ S

J r\L2di).

(2.69)