Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

П о с л е д н ее соотношение м е ж д у

корнями

можно получить из

(2.38), если воспользоваться оценкой е 2

= е3 . Это дает

3 ( Н а 2 - 4 )

2

3 ( Н а 2 - 4 )

2 Re

а

2 Re

Решение

д л я поля

скоростей строится

аналогичным способом.

И з

(2.39)

имеем

л/2

л/2

»

.4

tlo.—o.J

і / І _

Ь2 с і п 2 , і ,

1 / д . _ ^ > „

\ J "

З

У<?і - ез^

y i - * 2

' s i n 2 i | 3

Уеі — е 3

ч . ; y i - * a s i n 2 i p

Г

rf\p

\

2

.„

4cos\|>

y\-k*sin2ip

І

УЄІ-ЄЗ

y i - / 2 2 ( l + s i n t j ) )

Отсюда с учетом (2.41) и (2.45)

получаем

3 ( Н а 2 - 4 ) _ 1

>

0

2 Re

а

Т ак

к а к

решение

получено

при

R e » l ,

то

это требование

озна­

чает,

что и число

Н а 2

д о л ж н о быть много

больше единицы,

точ­

нее,

c t H a 2 > 2 R e .

Таким образом, при а Н а 2

> 2 Re симметричное и

расходящееся

течение

в диффузоре существует.

И з рассмотрения в ы р а ж е н и я

д л я профиля скорости

следует,

что,

за

исключением

пограничного

слоя толщиной

порядка

l / R ^

{еі

— е3)

;

—

l / R e f 3 ( H a

2 - 4 )

3 1

, в

.

А

у —

у

2 ^

— -

— — J

остальной

области те-

или,

после

возведения в к в а д р а т

обеих

частей неравенства,

6

4

п

„

, 3 ( 4 - Н а 2 )

„ _

При

этом,

конечно,

д о л ж н о

оыть

ех-\—

—

^

другой

стороны, та к ка к 0 ^ и ^ е ь

то из (2.48)

следует

У3±<ei

уР(и)

Г-І^=ЄіаУ Re

'

6

/

V

6

т. е. e j a > l . Вследствие последнего

неравенства

из

(2.49)

выте­

кает, что

R (

2

2 j _ 2 Н

а 2 \

6 I л

— ос + ос ——— I

Re<

а

.

(2.50)

Неравенство

(2.50)

показывает,

что при Н а = 0 симметричное и

расходящееся

течение при больших

Re невозможно,

однако пр и

Н а = £ 0 д л я любых

а

и Re (в том числе и д л я больших Re)

т а к о е

3 (4 — Н а 2 )

течение

становится

в о з м о ж н ы м ,

если б[Ч

2. Re

> 0 .

Д л я

более

детального

анализа

этого

случая

произведем

в

(2.48)

замену

ы = е,— (еі — e2 )sin2 T|3 = e 2 +

(е, —e2 )cos2 \p.

(2.51)

П р и

этом

значению

и — в\

будет

соответствовать

яр = 0, а

значе­

нию

ы = 0

—

•'ф^'фо, где гр0 определяется

ф о р м у л а м и

s i n 2 \ u 0 =

Є\

,

cos 2 ib 0 =

— е2

( е 2 = ^ 0 ) .

Єі-Є2

ЄІ-Є2

И т а к ,

Re _

•фо

•j /

2

Г

а

'

6

У е і - е з

J

У1 — A2

sin 2

гр

(2.52)

•фо

1fo

у J ^ e =

2 е з ^

Г

dif

+ , 2

у Є

і - е 3

/* y i - f e 2 s i n 2 i t > c %

'

6

У е , - е 3

0 J

У1 —A:2 S in2 xp

{

шими,

если

k^l

и "Фо~ "2~ -

^ т 0

означает, что е2~е3

и

е2~0

(е2^.0).

Тогда

из

первого

соотношения

(2.52)

можно

получить

У е\-е2

exp ay — 1 _

а у

(2.53)

ехр а у + 1

где у

y R e ( g ! - e 3 ) "

а из

второго

У £ - У -

Re

'

ез).

.(2-54)

Є і - Є 2

е 3 + 2

Та ж е

подстановка

(2.51)

в уравнение (2.47)

дает

решение д л я

поля

скоростей

и = е1—

{еі — е2)

t h 2 (уф)

или,

с учетом (2.53),

и=Є\

t h 2

( у Ф )

1 -

(2.55)

t h 2

Д л я

приближенной

оценки

величины

Є\ воспользуемся

соот­

ношениями

(2.53),

(2.54). В ы р а ж а я с помощью этих соотноше­

ний

величины

еи е2,

е3 через у и подставляя полученное

в ы р а ж е ­

ние в (2.38), будем

иметь

6у2

12

уа

(

з

- ш

- ^ ) .

6у2

3

H a 2 - 4

+

Re

——- у th —— )

Re"

2

Re

аa

Re v1 """ 2

/

\

"

""

2 1

П р и

больших

Re

и,

соответственно,

при

больших

у

имеем

th

Л и последнее соотношение

переходит

в квадратное

урав ­

нение д л я определения

у:

у2

4

у+М

=

0,

а

„

1

Re

H a 2 - 4

где

М=— З

а

4