Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Е с ли в (2.69) двукратные интегралы выразить через

однократ ­

ные,

то

о п р е д е л я ю щ а я

система

уравнений окончательно запи ­

шется

в

виде

(1 + г,2 ) г]/ + т р | > +1— ^ 2

-

у

= 2йг)У 1 + г , 2 - 2 а (1+ц2) +

с+

+ (2т] 2 +1)

j

^Рйц-г^Х+х?

/ - ^ ~ L ~ l 2 d r ]

+

(2.70)

(1 + ї)2 ) I " + 3r\l'+V

= S W / ;

(2.71)

( 1 + ' П 2

) Ч г / /

+ т 1 Т ' - Ч г

= Р ( г | ) , Ч г - г р Ч / / ) ;

.(2.72)

( l + T i 2

) L " + 3T)L,

= p ( 2 1

F / / - 2 ^ / L

+ W - t y L / ) ,

(2.73)

а давление

будет определяться

формулой

2&Л

ті

Г 1 + 2 т і 2

„ .

- 2 / л ^ т , + S f2 /

- ^

/ ^

=

| ^ ] .

(2.74)

Эта

ж е система

в сферических

переменных

запишется

следую­

щим

образом:

*/

1

и

+

п

^ 5

и

2 а - 2 6

cos,0

с +

f - ¥

/

2 - c t

g e f + T ^

2 = — —

+

(1 +

2 ctg 2

Є) Уctg 0/2 ^Є - c t g

, e y i - | - c t g 2 e x

^

y i + ctg 2 0

v J

y i +

ctg 2 6

X L 2

d 8 - ( l + 2 c t g 2 0 ) /

c t g e L 2 c f e ] ;

(2.75)

/ " + c t g 0 / /

- ( l + c t g 2

0 ) / = / ( / , + c t g e / ) - S F ( L /

+ c t g 0 L ) ;

(2.76)

F"

+ ctg QF' -

(1 + ctg 2

9) F = p (fF'

-

Ff) •

(2.77)

L "

+

c t g B L ' -

(1 + ctg 2

9) L = p (2Lf

-

21F'+L'f-l'F

+

+ c t g 0 L f - c t g 9 / F ) ;

(2.78)

„ 2 6 c o s 0 - 2 a

,

-,

— Г l + 2 c t g 2 0 ,„ ,

+

—

a

9

ctg,&yi + ctg 2 0

J

І / Т

— Д Г

А

l2dQ

sin 2

J

y l + c t g

2

0

+ 2 ( l + c t g 2

9 )

J

ctg,9/2 d0 + s [ c t g 9 y i + c t g 2 9 X

X f

1 +

2 d g

2 -

L 2 d 9 - 2 ( l + . c t g 2 , 9 ) f

ctg9L2 dol , (2.79)

J

y i + ctg 2 9

J

J

З а м е т а м ,

что

(2.75)

можно получить

непосредственно из

(2.23)

и

(2.24). Д л я этого

необходимо

исключить

из них

g(Q),

после

чего оба уравнения сводятся к

Г

1

/

Ф /

V Г ^ ( l 2

s i n 2 . 9 ) '

( L 2

sin 2

9 ) '

*-

sin 9

'

sin

0 '

J

sin 2 9

sin 2 0

'

K '

'

З д е с ь

Ф = ^ f'--^

j s i n 2 , 9 - / s i n

9 cos

e-f-^-^2 sin 2

9 .

Т р и ж д ы

проинтегрировав

(2.80), получим

(2.75).

И з

уравнений

(2.75) — (2.79)

и

(2.80) следует, что в отсутст­

вие

магнитного

поля

определяющее

уравнение

д л я

функции

/(0)

имеет один и тот ж е

вид

при

/ = 0

и

/ s i n 9 = c o n s t , т.

е. нало ­

жение на основное течение /(9)

течения, вызванного

вихревой

нитью, расположенной на оси симметрии, не

влияет

на

распре­

деление скоростей в основном течении [21].

В магнитной гидродинамике, однако, далеко не любое тече­

ние обладает таким свойством, и

вызвано это тем,

что

помимо

уравнений д в и ж е н и я скоростное и магнитное

поля

связаны

еще

уравнениями

индукции.

Поставим

несколько

более

широкую

задачу отыскания таких

П р е ж д е

всего

рассмотрим

случай

l = L = 0.

Здесь определяю ­

щей системой уравнений будет служить система

2 1

' + 2

5 І П 2 0

-с:

(2.81>

&

( F +

c t g 0 f ) '

= p ( / £ ' - £ / ' ) •

(2.82)

П р и

L = 0,

/ s i n 6 = c o n s t = / 4 1

и РфО

получаем,

что

возможно*

лишь

одно

решение F=A2,

/ = — - ^ - c t g O + Л з ,

удовлетворяющее

всем

уравнениям

(2.75) — (2.78), причем

постоянные

Л ь Л 2 ,

Л 3

связаны

с постоянными интегрирования а, Ъ и с

соотношениями

2

Л , 2

1

о

А 2

3

2а=—+—І-

2

2Р2

Р

при р = 1 .

_ I

1_

5 Л о2

~

С - _ Р

2Р 2 "

6 = 0,

Л 3

= 0

6 = 0

Если

/ sin 0== const, L s i n O = c o n s t , то

из

системы

(2.75) — (2.78)

м о ж н о получить

(2.81), (2.82) и, кроме того,

f=const/'

из

(2.78). Н е ограничивая общности, м о ж н о

считать

F=f,

тогда

из

последствий

м о ж н о

н а л о ж и т ь течение

/ s i n 9 = c o n s t и которое не

будет

в о з м у щ а т ь

поле

L s i n 9 = const,

определяется функцией

, Л 2 — ЛіСОБ0

л

и

л

и

соотношениями

/ = — — : —

, где Л[

Л 2 связаны

с а, о и с

sin 0

2Аі-(1-5)Л22

= 4 а - 2 с ,

(1 - 5 ) Л , Л г - 2

Л 2 =

-2Ь,

( 1 - 5 ) Л , 2 - 2 Л , = - 2 с .

Случай

/ = 0,

L s i n 0 = c o n s t

приводит

к

решению

/ = const

неза­

висимо

от наличия

остальных составляющих

магнитного

поля.

вует

азимутальное

магнитное

поле

пч———:——,

определяется

выражением

/=const .

A S i n 0

Осесимметричные течения о б л а д а ю т еще тем свойством, что

при

/ = 0 различные

линии тока

подобны м е ж д у собой. Действи­

ем

RdQ

интег-

тельно, линии

тока

определяются уравнением ту- = .

г,

COnst

•

рирование которого дает R=

-г—-—тг

/ s i n 0

ных и постоянных интегрирования уравнений

(2.70) — (2.74).

Общие рекомендации по выбору постоянных а, Ь,

с дать

затруд ­

нительно, именно поэтому в гидродинамике непроводящей

жид ­

кости практиковался подход, при котором

з а д а ч а

конкретизиро­

валась

после

того, к а к

постоянным

были

приданы те или

иные

значения

[11—16]. Однако

д л я осесимметричных

течений

можно

у к а з а т ь

одно

общее свойство,

а именно: течения с зеркально

симметричным относительно

плоскости

z = 0 распределением

ско­

ростей характеризуются

значением Ь =

0.

2.3.2.

Безындукционное

приближение.

Геометрическая

ин­

терпретация

возможных

внешних

магнитных

полей.

Безын ­

дукционное приближение может

быть

получено (как и в п. 2.2)

путем р а з л о ж е н и я функций, связанных с составляющими

напря­

женности

магнитного

поля,

в

р я д

по степеням малого

пара­

метра р:

4' = 4 f o + P M F 1 + . . . ,

L = L 0 + p L , + . . . .

(2.83)

Подставив ряды (2.83) в систему (2.70) — (2.73) и собрав

члены

+ На 2 |~2гП/ї + Г|2 f

L 0 I i r f T | - 2 ( l + V ) X

(2.84)

(1 + ті2 ) I " + З г і Г + ф / ' = H a 2 (WQL,' + WM;

(2.85)