Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

а3

-)-(Fn-FT2)

= [ / ^ ф = — ,

иольдса

и определим

их следующим

образом:

pVVm

Vm

Вновь введенные

величины связаны с п а р а м е т р а м и

S u p

соот-

Re

ношениями

р = - D —

и Н а 2 = 5 р . П о л а г а я д а л е е / = Re и,

F=RemK

а і = — -g-, а 2 = + 2-,

получим формулировку

задачи

в

виде

« " + 4 « + R e u 2 + 4 H a 2 A . ' - 4 R e „ i - H a 2

Л2 + С 3 = 0;

А' + и = 0;

(2.32)

а/2

« = ( ± | ) = 0 ,

-а/2

я . ( - | ) - х ( - - | ) - ± і .

/

И ( Ф ) Л р = ± 1 ,

З д е с ь С 3

с

2

в

двух последних

в ы р а ж е н и я х знак

« + »

соот-

= =р-, а

Re

ветствует

источнику

( д и ф ф у з о р ) ,

знак

« —» — стоку

(конфузор) .

З а д а ч а

(2.32)

существенно

упрощается,

если

ограничиться

случаем

малой проводимости

жидкости

(Rem <g:l). Пренебрегая

в первом

уравнении

(2.32)

членом

с коэффициентом

R e m - H a 2

(малым по сравнению с членом

4 H a 2

V )

и заменяя

в нем К' на

— и, получим

уравнение

u " + ( 4 - H a 3 ) u + R e u 2

+ C 3 = 0,

(2.33)

порядок дифференцирования которого на единицу

меньше ис­

ходной

системы

(2.32). Соответственно

из

граничных

условий

в (2.32)

существенными остаются л и ш ь первые два :

а/2

и ( ± —

) = 0

и

J и ( ф ) г і Ф = ± 1 .

(2.34)

ной на рис. 2.6, то в случае

д и ф ф у з о р а мы имеем значительный

отрицательный

градиент

давления

в отличие от течения в отсут­

ствие поля и при числах

Н а 2 < 4 .

К а к

показано

в работе

А. Б .

Цинобера

Иа--0

[24], приведенное

выше

решение (2.35) дл я

медленного

(стоксова)

течения

имеет

место не только при м а л ы х Re,

но

и при

любых

фиксированных

Re и а, если числа

Н а достаточно

велики,

причем

решение не­

линейной з а д а ч и

(2.33), (2.34)

равномерно

по ф стремится

к линейному

решению

(2.35)

на--ют

при Н а - ^ о о , отличаясь

от него

на

величину

Р а з л о ж и м

подкоренное

в ы р а ж е н и е

в (2.36) на простые множи ­

тели

Р(и)

= (еі — и) (и—е2)

(и—е3).

Тогда

(2.36) запишется ка к

2 Re

du

(2.37)

У(еі~и)

( ы - е ? )

{и-е3)

где

корни

полинома еи

е2,

е3 связаны определенными соотноше­

ниями с коэффициентами

полинома

Р(и),

из которых существен­

ным д л я дальнейшего является соотношение

Єі +

Є2 + Є3

=

3 ( Н а З - 4 )

(2.38)

2 Re

д о л ж н а быть

по крайней

мере одна точка, где и' = 0, т. е. из кор­

ней полинома

по меньшей мере один должен

быть вещественным .

Пусть это будет корень

в\. Остальные корни

е2 и е% могут быть

либо комплексно

сопряженными, либо

вещественными.

О с т а в л я я в стороне

случай

комплексно сопряженных

корней,

рассмотрим в о з м о ж н ы е

решения при больших

Re в

случае

ве­

щественных корней полинома. Пусть

Н а 2 —4

Тогда, учитывая

(2.38),

м о ж н о

показать, что

—

—

. Под -

I

Re

коренное

в ы р а ж е н и е

в

(2.37)

д о л ж н о

быть

неотрицательным,

т. е. Р(и)

> 0 . Это возможно лишь в тех случаях, когда

« < е 3

или

в2<и<.Єі.

Ограничимся

теперь такими течениями, в которых

дви­

везде

имеет один знак . Т а к ка к в диффузор е

скорость и положи ­

тельна, а на стенках

и = 0, то ясно, что д о л ж н о быть либо

а)

0 ^

Н а 2

—4

=С«Ї^<?З,

— ^ 5

— , либ о

б)

0 ^ w ^ e b

е 2

^ 0 , е і > 0 .

Случай

а)

2, І\Є

возможен лишь

при условии

Н а 2 > 4 .

Будем

счи­

тать течение симметричным. Тогда

значение ы = е 3

будет

дости­

гаться в точке к р = 0 ,

а (2.36)

перепишется

в виде

-і/

2 Re

Г

du

а

ф у~—=

/

,

О ^ Ф ^ — .

(2.39)

'

3

{

уР{и)

2

v

'

Значения

корней полинома

определятся

из условия

(2.38)

и ус ­

ловий (2.34), которые приобретут вид

ез

е3

'

6

{

VP (и)

*

6

/

1/P(U)

Введем в интегралы

(2.39)

и (2.40)

вместо

и новую

переменную

положив

M=e 8 - (ei - <?8)ctg*it> .

(2.41)

Значение

« = е 3

будет

Достигаться

при ip = -g-, а значение

и = 0 —

при

і|>=гЬо, где -шо определяется

из c t g 2 ф 0

go

. Соответст-

=

венно условия

(2.40)

перепишутся ка к

Є\ — Єз

,

л/2

a І

/

[

;

(2.42)