Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

= 2itv2 p N 1 + 3 ( £ 2

k-

k + \ \

+

- 1 )

Т І П

/ Г Т /

+ Н а 2 / ( З ф , + 2 ф о ф і - У і + а д 0 - 2 Ф о Ф і о ) X

о

X cos 6 sin.ede] .

(2.100)

Первое слагаемое в квадратных скобках

есть найденное Л а н ­

дау

в ы р а ж е н и е потока импульса через параметр

k.

Обозначим

его

через QoВторое слагаемое

определяет

в первом

приближе ­

поле. Обозначим его через

Qt. Таким

образом,

(2.1Q0) запишется

как

2nv2 p

= Q 0 + H a 2 Q i .

(2.101)

Значения

Q 0

и Qi д л я некоторых

k приведены

в табл . 2.2.

К а к

видно

из

(2.101)

и табл .

2.2,

полный поток импульса в струе умень­

Т а б л и ц а

2.2

шается

с увеличением

Н а 2 ,

что объяс­

няется

т о р м о з я щ и м

влиянием

элек­

k

1,1

1,5

2

тромагнитных

сил.

Следовательно,

если поставить

условие

сохраняемости

іР-о

61,5

10,3

5,52

полного потока импульса при из­

менении

напряженности

магнитного

Qi

-6,55

-3,8

-2,72

поля,

то

необходимо

соответственно

изменить

начальный

поток

импульса

Qo.

Например,

если

в

отсутствие

магнитного

поля

(Н а = 0)

2т2р

=5,52

(6 = 2), то

при

Н а 2 = 1 , 2 6

д л я

сохранения

импульса

необходимо

увеличить

Q

до 10,3

( £ = 1 , 5 ) .

Линии

тока

в

струе,

const

определяемые

выражением

Н=

^ s j n g '

д л

я этого

случая

пока­

заны на рис. 2.10.

Если

ж е з а д а н начальный импульс

Q0 , чем определяется зна­

чение

k,

то

из

(2.101)

следует, что в этом случае полный им­

пульс

струи

будет

уменьшаться .

Линии

тока

дл я

£ = 1 , 1 при

Н а 2

—0 и 0,'5 показаны

на рис. 2.11.

К а к

видно из рис. 2.10

и 2.11, магнитное

поле

деформирует

линии

тока

в струе

таким

образом,

чтобы

жидкость

пересекала

Рис. 2.12. Линии тока в струе Ландау,

Рис. 2.13. Силовые линии электриче-

распространяющейся

в азимутальном

ского поля в струе Ландау,

магнитном

поле:

—

На5 =0;

— На; =0,1;

- • - -

На! =0,5.

Семейство силовых линий

электрического

поля Е

показано

на

рис. 2.13.

В упоминавшейся у ж е

работе [28]

была

рассмотрена

з а д а ч а

о круглой

струе,

вытекающей

из

отверстия

в стенке

(задача

Я ц е е в а — С к в а й р а

[12—15]).

Отличительной

особенностью

этой

з а д а ч и является

условие,

н а к л а д ы в а е м о е

на

постоянные: а = Ь =

= с=т^=0;

кроме того,

стенка

принимается

непроницаемой,

а

ус­

ловие прилипания на ней невыполнимо. Эта

з а д а ч а является

частным

случаем

задачи

К а ш к а р о в а

в

гидродинамике

непрово­

дящей

жидкости

о

течении

в круговом

конусе,

стенки

которого

д о л ж н ы

быть приняты за линию тока [16].

2.3.4.

Струи

Ландау

и

Яцеева—Сквайра

при

больших

р.

В случае очень большой проводимости жидкости

(|3»1)

реше­

ние можно

получить,

р а з л а г а я

функции

в

ряд

по обратным

сте­

пеням

(3:

f=fo +

p - ' / i + - - - ,

F=F0

+ fi^F1

+ . . . .

(2.102)

Тогда

из

(2.81),

(2.82)

имеем

f o - y f o 2 -

c t g 6 f 0 +

4 - 5 j

F ° 2 =

(2.103)

F'ofo — F Qf'о = 0;

(2.104)

f i - ( f o + c t g e ) f i + S F o F ,

=

0 ;

(2.105)

F'oh + F'jo-Fbf'y-F^

( F ' 0 +

ctg

0 F 0 ) ' .

(2.106)

В

отличие от

разложений

(2.83) здесь

/ 0

и F0 — скорость и

магнитное

поле

при

бесконечной

проводимости жидкости, a f,- и

Fi д а ю т

поправки

на конечность проводимости. Будем,

как и

раньше,

искать

решение, д л я которого все составляющие тен­

зора П, за исключением Пдд, равны нулю,

т. е. при а = 6 = с = 0.

Решения

для нулевого

приближения

могут

быть легко

найдены:

п

,

2 sin ft

F0

=

fo=

( 1 - 5 ) (cos

6 - А ) .

(коэффициент пропорциональности между F0

и f0 принят равным

единице,

т а к

как

F0 определяется с точностью до произвольного

постоянного

м н о ж и т е л я ) .

В ы р а ж е н и я д л я F0

и f0 после подстановки

в уравнение

(2.106)

д а ю т следующее

уравнение д л я

определения

функции T =

Fj—fi-.

.

,

1-А: cos

9

_

2 ( 1 - A 2 )

sin 0

sin

QT -\—

ll-

cos

—

Ti­

(k-

cos.9)2

9

решение которого

есть

7 =

s i n '

9

[ ( f e - 1 )

In

( 1 + c o s 9 ) - ( £ + l )

In

( 1 - cos9)

+

k — cos 9

+

21n

( A - c o s 9 ) + C , ] .

Решение для fi, согласно (2.105),

будет теперь д а в а т ь с я

в ы р а ж е ­

нием

ОС cjri

fl

/ ' —

( 1

- S ) ( t

- c o s 8 ) ' t ( * - ,

) " + C

° S e

>

' " < ' + c o s e )

+

+

(k+l)(l

-

cos 9)

In

( 1 - c o s 0 ) -

-2{k-

cos 9) In (k-

cos 9)

- C i

cos

8 + C2 ].

Постоянные

интегрирования

можно

определить из

условий

=

0.

Это

д а е т

6 = я

Ci =

- 2 1 n 2 - ( f e - l )

In

(k-l)

+ (k + l)

In

(k+l)

;

C2 = -2k\n2+(k+\)

In

(k+l)

+

(k-l)

In

(fe-1) .

В

уравнении

(2.103)

постоянные

a, b, с, вообще говоря, зависят

от

параметра 5,

однако

м о ж н о

показать,

что условие

регуляр-

мости решения во всей области приводит к

а = Ь = с = 0. Дейст ­

вительно,

р а з л а г а я f0

и

эти

постоянные

в

ряд

по S

/о=/оо +

+ S/01 +

• • •,

a = a0

+ Sa\

+

. . .

и т.

д.,

можно

получить

следую­

щую систему уравнений для foi:

t,

1

t

9

,

a f

0

/

« о - b o c o s G

-

с0

\

;

f о о -

- 2

foo2 -

ctg

Є/оо =

2 (

s i

n 2 9

у

)

/ W o o +

c t g 0 ) / o l

= 2 ( ^ ± ^ 1 - ^ . ) - ^

и т. д.

В

рассматриваемой

задаче

гидродинамический

случай х а р а к -

теризуется значениями

постоянных

,

= с 0

.

,

2 sin

8

ао = о 0

= 0 и /оо=

COS U

а—v

/2

,

sin Э

Г

.,

, . „ cos

,6(1+

cos

Є)

(cos

8 - Й ) 2 L

sin2

0

+

2al(k+\)

In

( l + c o s 0 )

-

( 2 - f l , ) c o s . 0 + £ > ] .

И з

решения

следует, что

для

регулярности

производной

В ТОЧКе 0 =

lt Следует ПОЛОЖИТЬ

О ] = 0 .

Аналогично

доказывается

ui = bi —

Ci = Q

(i = 2,

3 . . . ) , и, таким

образом, при всех значениях

S а = £ = с = 0.

Чтобы

найти

связь

м е ж д у

п а р а м е т р а м и

k

и

S,

вычислим,

пользуясь

(2.95),

полный

поток

импульса в струе в проекции на

ось симметрии в нулевом

приближении:

/ -

/

/

Г Ь ,

cos

М -

I6*v*p -Л^-

[

I +

-f ln£f] ,

(2.107)

или

/ =

Т

~

- •

(2.108)

/ 0

в

(2.108)

можно

рассматривать

как

начальный

поток им­

пульса

струи, имеющий место при

5 = 0. Если

поставить условие

ражение

(2.107) дает необходимую

связь м е ж д у k и S.

П р и этом

условие

регулярности решения

во всей области

определяет