Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

логичны вышеприведенным дл я струи

Л а н д а у .

2.3.5. Течение

в

воронке,

создаваемое" центробежным

полем

сил. Рассмотрим задачу о трехмерном течении проводящей

жид ­

кости

в круговом

конусе,

в о з б у ж д а е м о м

вихревой

нитью

с

за­

данной интенсивностью Г. распо­

ложенной на оси симметрии в

азимутальном

магнитном

поле

ці =canst

(рис. 2.18). Эта

з а д а ч а

имеет

широкий

круг приложений:

так,

д л я непроводящей жидкости

та ­

кая схема применялась дл я ана­

лиза

процессов

в вихревой

фор­

сунке

[19], t

в

явлениях

типа

смерча у

поверхности

земли

[17].

К а к

показано

в

п. 2.3.2,

азиму­

Рис. 2.18.

Схема

вихревого МГД-

тальное

магнитное

поле

может

течения

в воронке.

создаваться системой

радиально

сходящихся

электрических

то­

ков, поэтому явление возбуждения течения

э т и м и . т о к а м и

имеет

непосредственное

отношение

к объяснению

гидродинамических

процессов

в

приэлектродной

зоне, в

явлениях

неустойчивости

линейного

пинча

и

т. п.,

т. е. в

тех

ситуациях,

когда один из

электродов м о ж н о принять за точечный.

В соответствии с поставленной задачей

на

поверхности

ко­

нуса

t| = a = t g 0 o

д о л ж н ы выполняться

условия прилипания

VR =

= V z = V e = 0 при т) = а, а на оси симметрии

(г = 0)

д о л ж н а

быть

з а д а н а интенсивность

вихревой нити Г. Кроме того, вдали

от по­

ным

относительно

скоростей VR и VZ

во всей области

течения,

в к л ю ч а я ось симметрии:

lim

VR — const,

lim

VZ = const.

1-Ю

r-i-0

В совокупности с четырьмя упомянутыми условиями дв а ус­

ловия регулярности

вполне определяют как постоянные

а, Ь, с,

т а к

и три постоянные интегрирования

уравнений (2.84)

и (2.85).

•Для функции

ар эти условия запишутся ка к

г р ( а ) = я | ) , ( а ) = / ( а ) = 0 ,

/(оо) = - I - = R e ,

,•

/

і

,•

/

/

ч

-

(2.114)

urn г|гр = const,

hm т](т]гр— гр) =const.

Р а с с м а т р и в а я

задачу

в

безындукционном

приближении,

поло­

ж и м , что внешнее азимутальное магнитное

поле з а д а н о

в

самом

общем виде (2.91):

І 0

= Л г | ( 1 + т і 2 )

2

+ В ,

.(2.115)

a X F = 0 . Если

д а л е е принять,

что дл я

индуцированных

токов

от­

сутствует

внешняя

нагрузка,

т. е. они з а м ы к а ю т с я лишь

по

об­

ласти течения, то по закону

полного

тока будем иметь

L 1 ( a ) = 0 ,

L i ( o o ) = 0 .

(2.116)

Последними условиями

и исчерпывается постановка задачи .

Д л я

отыскания

аналитического

решения ограничимся

слу­

ратом

функции г|) в

(2.84) можно пренебречь.

Кроме того, поло­

ж и м

/ = R e ( l + / i ) , а

/] т а к ж е будем считать

достаточно

м а л ы м ,

чтобы в (2.85) пренебречь произведением

яр/V Тогда

дл я 1\

будем иметь уравнение

и

У і + а 2

a - У І + а 2 х

У і + т у

В свою

очередь,

/ =

—

( г у . - у Т Т ^ "

Ц

) .

(2.117)

Так к а к в

рассматриваемом

приближении

p<g:l,

то S » S p \

П о ­

этому дл я вычисления правой части уравнения

(2.84) восполь­

зуемся

решениями

(2.115)

и

(2.117),

тем

самым

влияние

инду­

цированных

токов

в такой

постановке

не учитывается.

П р и указанных ограничениях отыскание решения

уравнения

(2.84)

у ж е

не

представляет труда, а

само решение

имеет сле­

дующий вид [29]:

= И

*•

2 & n 2 - 2 a ( n ' | / l + ^ 2 - A r s h T i ) - 2 ( 2 a - c ) A r s h r | +

2 y l +Т12

Re2

Г

3 + 4a 2

-

3 + 4a 2

я .

+

2аУ1 + а2 т)У1 + т ] 2

Arsh

г, + 2 (1 + а 2 ) г,2 Arsh

r\-

- ( 1 + а 2 ) г ] У і + і і 2 ] п

(ї+г\2)-аУі+а2У]2\п

( 1 + г ) 2 ) -

- а У і + а 2

1 п ( 1 + т і 2 ) + 2 С 1 т і У і + л 2 - ( а У 1 + а 2

+ С2)ті2 +

+ 5 [ А2

[ — т і У і + т ] 2 - y A r s h " n - r r j y i + T ] 2

In ( 1 + r , 2 ) -

— 2г|2 Arsh

т) )+АВ

( 2 T ) y i + T ) 2 A r s h T i - T i 2 l n

( 1 + г ) 2 ) -

- 1 п ( 1 + т і 2

) - т і 2 ] +

—

(-пУі -Ь-п2 —Arsh ті)

+

+ 2 С ' 1 т і У і + т і 2 - С ' 2 т 1 2 ] + 2 С з } 1

(2.118)

где

C 1 = - ^ - - a y i + a 2 A r s h a + l + a * In ( 1 + a 2 ) ;

C2

= 2 ( l + a 2

)

Arsh

a - 2 « y i + а 2 - а У 1

+ a 2

In ( 1 + a 2

) ;

C x

-

- A2

[ *

- JILiH^IL ] —AB

( а У І Т ^ - A r s h

a)

-

;

C'2

=

- Л 2

(rv.yi +ry.2 -t-

—

- 2 Arsh

a )

-

v

Уі + а 2

'

-

А В [2a2 -

In (1 + a2 ) ] -

В 2 а У 1 +

a 2 ,

а постоянная интегрирования С 3

легко определяется

из условия

і);(а) = 0

и поэтому здесь

не приводится.

Д л я

окончательного

решения

задачи остается

определить

постоянные а, Ь, с. П е р в а я связь

между

ними следует

непосред­

ственно

из исходного уравнения

(2.84) при использовании усло­

вий гр(а) = г | / ( а ) = 0 :

2 6 а У 1 + а 2 - 2 а ( 1 + с с 2 ) + с = 0.

Д в е

оставшиеся

связи' можно

найти

из двух последних ус­

ловий (2.114). Д л я этой

цели рассмотрим

асимптотическое пове­

дение решения (2.118). При больших -п имеем

ty = k l i \ + k 2 ^ - + k z

— + o ( - L ) .

(2.119)

Т]

Т)

* Т) '

Тогда первое условие регулярности

дает

kl = b-a+

р е 2

г

3-І-4а2

( а + У і + а 2 ) 2

а У 1 + а 2 1 п 2

+ (1 + а 2 ) In 2 +

1

4

a второе —

1 Г

Re2

S

1

k2=,-[-2a

+ 2c+~---(A+B)2

J=0.