Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

выбор соответствующей ветви

кривой J(k): если S < 1 , то / г > 1 ;

если S > 1 , то /г < — 1 . Уравнение (2.108) показывает, что с

ростом

5 (

0 ^ 5 < 1 ) дл я сохранения /

необходим все меньший началь ­

ный

поток импульса JQ. Более

того, при S > 1 необходимо

зада ­

вать отрицательный начальный импульс, т. е. если в отсутствие поля (5 = 0) жидкость вытекает из трубки, то при 5 > 1 дл я со-.

хранения полного

потока импульса необходимо всасывать ж и д ­

кость из о к р у ж а ю

щ е й среды.

П р и

5->-1 /<г-»-0,

ка к

—^- при /г^-оо. Решение

д л я 5 = 1,

ка к

следует

из (2.103),

есть

fo = Ds'm&, а постоянная

D связана

с J

соотношением

 

 

 

 

/ =» — 8nv2pD .

 

 

(2.109)

Линии тока в струе дл я описанного случая приведены на рис. 2.14.

Ось симметрии

Рис. 2.14. Линии тока в струе Ландау при бесконечной проводимости струи и при условии сохранения полного импульса:

/ — S=0; 2 — S=0,68; 3 — S=1.0; 4 —

S = 2,2.

Ось симметрии

Рис. 2.15. Линии тока в струе

Ландау

при заданном

началь­

ном импульсе:

 

_

_

S=0;

— S = 0,2;

 

 

5=0,4.

М о ж н о т а к ж е

поставить условие сохранения начального по­

тока

импульса

/ 0

при изменении 5. Тогда

из (2.108)

следует, что

с увеличением

S ( 0 s g S < l )

полный

поток

возрастает.

 

Линии

тока

в струе д л я этого случая

приведены

на

рис. 2.15.

Однако

при

5 = 1 решение

не

единственно и зависит

от способа

 

стремления

с

, v

 

ж е

 

•

D

C ( l - S ) ( c o s 6 - f c )

пока-

5 к

1. Уравнение

линии тока

R =

—

п -.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 s i n 2 0

 

 

 

зывает, что при 5 = 1

^ = 0

всюду,

за

исключением,

может

быть,

л и ш ь

0 = 0 (если

это так, то струя

вырождается в л у ч ) .

 

П р и 5 > 1 направление

течения

меняется на прямо

противопо­

ложное, т. е. если при 5 = 0 мы имели

истечение струи

из трубки,

то при 5 > 1

жидкость

будет всасываться трубкой, и наоборот .

Это согласуется с приведенным выше анализом

д л я

случая

со ­

храняемости полного потока импульса в струе.

 

 

 

 

 

 

 

 

Учет

последующих

приближений в р а з л о ж е н и и

 

(2.102),

ве­

роятно, приведет к более сложной

связи

м е ж д у

/ ,

й,

(5 и

S,

 

чем

показывает

 

(2.107). Однако,

ка к следует

из

расчета,

если

реше­

ние

д л я

/і

при

5 = 1

подчинить условиям f'\

е

= 0

= 0 ,

то

ока-

жется, что параметр k

не зависит

от

р и по - прежнему

определя ­

ется

соотношением

(2.109).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем

в качестве

примера

решение д л я

нулевого прибли­

жени я (2.103) в случае,

когда

а = Ь = с. В уравнении

(2.103)

 

сде-

лаем

замену

fo=

 

2

 

 

к'

а

в качестве

переменной

введем

t=

— -ч—о—.

х

 

 

 

 

 

 

1 —о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos2

 

Тогда

(2.103)

 

перейдет

в

уравнение

Эйлера:

 

 

 

2£х" + а ( 1 - 5 ) х = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

общим

решением

которого является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=Be*/*ch

( —

+л)

 

 

 

 

при

l - 2 a ( l - S ) = n 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

ftlX

 

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к = ВехЬ

c o s ^ —

+А J

 

 

 

 

при

l - 2 a ( l - S )

=

- m 2

;

 

 

 

 

x = Be*h(\+Ax)

 

 

 

 

 

.

 

при

l - 2 a ( l - S ) = 0 .

 

 

 

 

 

 

Здесь Х = ІП ( 1 + C O S 0 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соответственно

д л я функции /о получим

в к а ж д о м

из

пере­

численных

случаев

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ 0

( 1 - S )

( 1 +

cos9)

I

 

 

 

 

V

2

 

/ J

*

 

 

 

 

 

V

 

'

Го

 

 

sin 0

 

_ r

 

_ m

 

 

( ^ +

A )

l

;

 

 

 

 

 

(2.111)

 

 

 

 

 

i

t

g

 

 

 

 

 

( 1 - 5 )

( 1 +

cos .Є)

І

 

 

 

&

V

2

 

' J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 0 =

 

 

sin 6

 

 

/

,

 

 

2Л

\

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.112)

( 1 - 5 )

( 1 +

cos9)

1 1 +

l+Axl

) •

 

 

 

 

 

 

 

/ 0

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

'

В отсутствие магнитного

поля

( S = 0 )

решение

(2.110)

т р а к ­

товалось Яцеевым

[12] как решение

задач и

о затопленной

струе,

бьющей

из

полупрямой

 

0 = п.

П р и

этом

д о л ж н о

быть

а < — •

Н е с к о л ь ко позже Сквайр [13] получил решение, аналогичное (2.111), и показал, что оно соответствует задаче о точечном ис-

 

 

 

 

 

 

 

JX

 

 

точнике,

бьющем

в

полупространство

 

В

этом

случае

1

 

 

 

 

 

 

 

 

В

з а д а ч е Сквайра

положим / 0

j

= 0 . Это

условие

озна­

чает

отсутствие

перетекания

жидкости

из полупространства

ТС

ТС

 

 

 

 

 

 

 

0 > — в

8 < у и приводит к соотношению tg/4 = m _ 1 . В то ж е

время

р а д и а л ь н а я

скорость

|~~?г|

0, поэтому

нельзя

выдви­

гать условий прилипания на стенке 9= 4р Ситуация, таким об­

разом, аналогична той, к а к а я имеет место при постановке плос­

ких и осесимметричных струйных задач в приближениях погра­

ничного слоя, когда одна из компонент скорости отлична от

нуля на стенке, имеющей источник (щелевой или точечный). Дополним з а д а ч у интегральным условием сохранения. Д л я этого рассмотрим перенос t-компоненты импульса в единицу времени через поверхность а, ограничивающую некоторый объем:

jUihdok=

fuinnhdo.

В ы б и р а я

поверхность в виде сферы с центром в начале коорди­

нат (соответственно вектор п — по нормали к этой поверхности),

получим,

что полный поток импульса

в проекции на ось симмет­

рии

в ы р а ж а е т с я формулой

 

 

л

 

 

 

 

3

2л

 

J=

J

J

( П л л + Пея )R2 sine cos

md(p=^^X

о0

X [ Q + « ( 1 - ^ - " ) ] ,

^ f Q ( m ) +

« ( * * + * H S - " > ] д л я S < 1 ,

 

 

 

,

, (2.113)

2 " v 2 P r

,

( п 2 - 1 ) ( 5 - л ) 1

c ^ ,

- j - ^ - [ f l

n

j

- \

Для S > 1 .

З н а ч е н ия Q приведены в табл . 2.3.

Т а б л и ц а

2.3

 

 

 

 

 

 

ш = 1

т = 2

т = 3

п=2

Q

|

0,698

2,76

13,8

-0,48

К а к и

в

задаче

о струе Л а н д а у ,

в качестве

интегрального

условия здесь можно выбрать условие сохранения полного по­

тока импульса.

В этом случае

при 5 < 1 будем иметь форму ре­

шения

(2.110),

при

5 > 1

форма решения (2.110) переходит в

(2.111), а п р и & = 1 из

(2.103)

имеем

f

• o / r

S i n ' 9

\

 

fo=—a sin 61 1

-

— I .

 

'

\

1 +

cos 6

/

 

Постоянная

интегрирования

а определяется из интегрального

условия (2.113) и

д л я

/ =

10,16nv2 p <з = 3,74. Линии

тока

д л я

этого

случая

и з о б р а ж е н ы

на

рис. 2.16. Отличительная

особен­

ность

рассмотренной

задачи

состоит в том, что, как

видно

из

Рис. 2.16. Линии тока в струе идеально проводящей жидко­ сти, бьющей из отверстия в стенке при условии сохранения полного потока импульса:

/ — S=0; 2 — S=0,68: 3 — S=l,37;

4 — S=l .

Рис.

2.17.

To же, что на рис.

2.16,

при

заданном

начальном

импульсе:

 

 

 

—

5=0;

— 5=0,2;

 

 

. — S = 0,4.

рис. 2.16, с увеличением S ( 0 ^ S < 1 ) линии тока стягиваются к оси симметрии до некоторого предельного состояния, опреде­

ляемого значением 5 = 1 , а при дальнейшем

росте

S ( S > 1 ) от­

ходят

от оси симметрии. Пр и этом, если 5 > 1 , дл я

сохранения

полного потока импульса в струе необходимо

задать

отрицатель­

ный

начальный

поток импульса. Характер

деформации

линии

тока с изменением S при условии сохранения

начального

потока

импульса показан

на рис. 2.17.

 

 

 

Смотрите также файлы