Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Т о г да система (2.1)

запишется

в

виде:

д2и

д2и

тт

/

dhx

dhx

\

d2h.

д21ц

т т

/

ди

.

ди \

(2.2)

ду2

+ ^ + H

a i c

^ +

n a ^ r ;

= ° ;

o s

a

s

i

d2h2

dzh2

п

т т

п

і /

a

£Л/2

022

'

pv

Пусть

стенки

трубы,

п а р а л л е л ь н ы е

оси г,

электропроводны,

а две

остальные

—

из

непроводящего

м а т е р и а л а . Тогда гранич­

ные условия

в безразмерных

переменных запишутся следующим

о б р а з о м :

и = 0

при

у = ±1

,

z =

±l\

Лі = 0

при

z=±l;

hx = h2

при

y=±l;

h2

= 0

при

y = ± ( l + D ) ;

(2.3)

(З/і!

ai <3/z2 при

г / = ± 1 .

Условия

(2.3),

записанные

в первой

строке,

соответствуют

поверхностных

токов

на

границе р а з д е л а ; условия,

записанные

в третьей строке,

—

непрерывности касательной

составляющей

электрического

поля

Ez

на проводящих стенках,

п а р а л л е л ь н ы х

оси

z.

К р о м е (2.3)

д о л ж н о быть выполнено е щ е одно условие —

з а д а н и е расхода в

трубе:

а\ Ь

J

J

VxdYdZ=Q

= 4abV

(2.4)

—a — Ь

(V — с р е д н е р а с х о д н а я

скорость в т р у б е ) , которое

в

безразмер ­

ной форме примет

вид

I

I

f

Judydz=JL

( 2 . 5 )

если

определить

коэффициент сопротивления X и

число

Re

к а к

/

дР \

2а

п

Va

l=(-lor>W

R e = V -

( 2 ' 6 >

Аналитическое

решение

задач

(2.2), (2.3)

и

(2.5)

известно

пока лишь д л я некоторых частных случаев. Так, д л я

непрово­

дящих стенок

трубы

(02 = 0)

при

произвольном

угле а. решение

было

получено

авторами работ [2, 3], однако их

результаты

м а л о

таты

были получены Хаитом [5] для случая,

когда магнитное

поле

перпендикулярно проводящим стенкам

( а = 0) при допуще ­

нии,

что

эти

стенки,

имея

произвольную

электропроводность,

достаточно тонки, чтобы последнее условие из

(2.3) можно

было

записать

как

dhi

hi

при

у=±\,

ду

о*

т. е.

распределение

поля в

стенке считается

линейным

(здесь

*

Old

—

относительная

проводимость

стенки

ч

а =

— ^

и ж и д к о с т и ) .

Д л я

удовлетворения

граничным условиям

на

стенках

z=±l

СО

ОО

«=

^

ик(у) cosaftZ,

/г= ^

hh(y) cos ahz

,

ft=0 ft=0

oo

, =

т 2 ' - ' ) ' — '

—

W - s h -

После подстановки этих выражений в (2.2)

получаем следующие

уравнения д л я определения

коэффициентов

ряда:

u"k-ak2uk+

Н а

ft'fc=

^ — - ! •

;

h"k

— ah2hh+ Н а ы'Л = 0,

решение

которых

приводит

к

следующему

распределению ско­

ОО

« = —

А -

'—

— (1 -A ch rihy-B

ch r2hy) ,

(2.7)

1

ні

а3"

где

yi

( м

t h r 2 k

) \ ( H a 2 + 4 « f e 2 ) v ' c h ^ f e

|

sh (rlk

+ r2k)

o*r2k

ch r2h

*

(Ha 2

+ 4 a f e 2 ) ' / ° c h r 2 f t

[

s h

+ r2h)

V

і

sh {rlh

a*r„t

ch r l h

J

1

Л ь , r 2fc= - 2" ( ± Н а + у Н а 2 + 4 а ; і 2 ) .

Д л я

того

чтобы

сравнить

теоретический

профиль (2.7)

с экспериментальным

(см. главу

V I I ) , приведем еще

в ы р а ж е н и е

рости в трубе

V. Согласно

(2.4) — (2.6),

и =

lu

/ ( Н а ,

а*)

где и есть решение

(2.7),

а

/ ( Н а

A

sh rlk

В

sh

r2k

(2.8)

В

предельном

случае

бесконечной

проводимости стенки распределение ско­

рости м е ж д у непроводящими

стенками

при

различных

у и

Н а = 1 0 0

показано

на

рис. 2.2 [5]. Наиболее

примечательной

особенностью этого распределения явля ­

ется сосредоточение основной доли рас­

хода в узком пограничном слое с толщи ­

ной порядка Н а ~ ' Ч причем

максималь ­

ное

значение

скорости

в

этом

слое

в

о,і

о,2

о,з 0,1

0,5 о,в г

25

раз

превышает

скорость

в

центре

трубы .

С

ростом

Н а

это

отношение со­

Рис.

2.2.

Распределение

храняется

равным

0,25

На .

скорости

между

стен­

Физическая

сущность

этого

явления

ками

г—±Ь

в

течении

Ханта

( а = 0 ; На=100).

состоит в следующем . У

непроводящих

ц ц —

-скорость в

центре

стенок

трубы

индуцированный

электри­

трубы.

ческий

ток

течет

вдоль

направления

внешнего

магнитного

поля,

а

в

ядре

нок электромагнитные силы т о р м о ж е н и я

существенно слабее,

чем в остальной части поперечного сечения

трубы . О д н а к о

хотя

подобная ситуация имеет место и в случае

трубы со всеми

не-

п р о в о д я щ и ми стенками,

тем не менее

указанного

явления

там

не наблюдается [4]. Д е л о

заключается

в том, что в

непроводящей

трубе интеграл электромагнитных сил по поперечному

сечению

равен нулю, а токи значительно слабее, чем в трубе

с д в у м я

электропроводными стенками. К тому ж е в последнем случае

ин­

теграл объемных сил у ж е отличен от нуля, так что все

поле

те­

•1 -0.8 -0.6

-0.4 -02 0

0.2 0." 0.6 0.8 у -» -0.8 -0.6 -Q4 -0.2

0

0.2 0.4 0.6 0.8 у

Рис. 2.3. Линии

равных скоростей:

о — при а=0; б — а=15°;

в — а=30°; г — а=45°; д — а=60°; е

—

а=90°.