Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf

Поскольку, по условию, А (0)~0, то сдвиг фаз ср между «флуктуационными» и «вынуждающими» колебаниями не играет особой роли и, вообще говоря, может быть выбран произвольным.

Формула (2.166) для ß дает при р = 0,05 и £х = 1,41 и £2 = 2 соответственно ßx (р, £х) = 0,117 и ß2 (р, £,) = 0,005, т. е. в по­

следнем случае вероятность того, что сила F (т), которая раскачала систему до амплитуды В = 2 [А ^П-р, не будет обнаружена, состав­

ляет всего 0,5%.

Отметим, что функция У 21п (1/р) в формуле (2.164) эквивалентна функции их-р в и-критерии значимости (они не слишком сильно различаются при данных значениях р):

В том случае, если амплитуды А0 и А (т) не являются малыми по сравнению с а, выражение для вероятности р (а%\а) может быть

При условии А (0) = Л~сг отклонение амплитуды от среднего

значения будет приближенно нормальным с дисперсией с = 2т/т*. Поэтому для квантили можно написать

Это выражение применимо и в том случае, когда на колебательную систему воздействует однократное возмущение.

Поскольку величины мх_р, т* и т предполагаются заранее из­ вестными, то для применения (2,169) необходимо лишь определить величину дисперсии а 2. Она может быть найдена по формуле Найк­ виста, если флуктуация амплитуды колебаний системы является чисто тепловой.

В тех случаях, когда имеет место неоднократное повторение возмущающего воздействия, то задача нахождения кванили сущест­

венно облегчается, поскольку тогда величина а - /2 т/г’\ и ^ р может

быть заменена на (s/y^) /1_р, причем оценка дисперсии s2 определя­ ется непосредственно по результатам п-го числа измерений. Если

91

п достаточно велико, то вместо 7 - р можно взять квантиль иг- р и тогда формула (2.169) примет вид

Соотношения (2,169) и (2,170) показывают, в частности, что для . колебательных систем с высокой добротностью при выполнении

условия 2т/т*<С1 минимально обнаружимые изменения амплитуды колебания могут быть существенно меньше, чем флуктуационные тепловые колебания, определяемые величиной а или s ,поскольку фактор их_р имеет порядок нескольких единиц. Отсюда следует, в частности, что системы с большой добротностью являются наибо­ лее подходящими для проведения предельных измерений.

§ 3. Минимально регистрируемые мощности сигналов

і При рассмотрении вопросов, связанных с обнаружением пре­ дельно малых мощностей сигналов [30, 31, 32], необходимо учиты­ вать, кроме тепловых, также и квантовые флуктуации, которые всегда имеют место в любом физическом приборе. В общем случае, очевидно, надо учитывать также и фотонные флуктуации излучения (как температурного, так и неравновесного), поскольку при Т > 0 излучение всегда имеет место и при определенных условиях именно его флуктуации могут быть определяющими в тех или иных физи­ ческих измерениях.

Рассмотрение этих эффектов будет проведено в гл. 2 раздела 2, а сейчас разберем несколько специфических случаев действия слабых сигналов на систему с заданными параметрами при наличии только тепловых флуктуаций. Рассмотрим следующие случаи.

а) Случай, когда постоянная времени т* = Q/ma0 системы,

принимающей сигнал, много больше, чем время воздействия т сигнала на данную систему. Будем предполагать при этом, что ин­ формация как о частоте сигнала, так и о его фазе полностью отсут­ ствует.

Для такой системы, согласно формуле (2.170), можно написать [32]:

Цели приемная система является механической, то т = 2т/Н, где Н — коэффициент трения (необратимые потери). Величина ми­ нимально обнаружимой мощности Wmla может быть записана как

отношение изменения энергии системы за время т, т. е.

_ А Е

Wm in — (2.172)

т

92

Введем величину £ (р, ß) = В/{Ах — А ]1- р, равную отношению сигнала к шуму, причем величину ß определим как вероятность того, что при £=^0 выполняется неравенство

Если принять, что в отсутствие сигнала амплитуда шумов была

близка к нулю (точнее говоря, если А0<^]^т/т*), то можно написать

где х — жесткость механической колебательной системы.

зависит от времени т действия сигнала на систему.

частота которого близка к частоте собственных колебаний системы. При этом из сигнала может быть получена максимальная информа­ ция при минимальной величине ß e.

Как нетрудно видеть из формул (2.175) и (2.176), при данной тем­ пературе Т предельная мощность обнаруженного сигнала может быть сколь угодно'малой (без учета квантовых флуктуаций) при уве­ личении времени т*, которое пропорционально механической до­ бротности Q системы.

Сравнивая формулы (2.175) и (2.176) с выражением для мини­ мально обнаружимой мощности при синхронном детектировании

0Для сигнала вида Д(т)= .F0sirK00T длительностью т минимальная обнаружимая сила равна

93

сигнала

где М — шум-фактор системы, можно видеть, что в первых двух

случаях (т<^т*) предельно обнаружимая мощность сигнала может быть значительно меньше, чем при синхронном детектировании.

Область применимости формул (2.175) и (2.176) определяется соотношением [32 ]

которое показывает, что квантовые флуктуации являются принци­ пиальным ограничением чувствительности любых приемных систем.

которое имеет место в рассматриваемом нами случае, величина мощ­ ности tP'min пропорциональна универсальной функции %2 с коэф­ фициентом, равным а2, т. е.

Данная оценка дает несколько завышенное (по сравнению с (2.176)) значение предельно обнаружимой мощности, что является очевид­ ным ввиду почти полного отсутствия информации о характере само­ го сигнала, о котором известно лишь то, что он лежит в пределах полосы пропускания системы, а его частота, фаза неопределенны.

в) Случай, когда спектр сигнала является непрерывным.

Этому соответствует, например, прием теплового излучения на­ гретых тел радиометром.

Вычислим минимально «разрешимую» разность температур 6Т, которую можно обнаружить на фоне излучающей поверхности с температурой Т.

94