Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 104

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2. Обработка непрерывной записи. Предельная чувствительность узкополосных измерительных систем

В отличие от предыдущих случаев применения математической статистики для обработки конечного числа экспериментальных дан­ ных (конечная выборка х г, %2,..., х„), ниже будут рассмотрены спо­ собы обработки экспериментальных данных, результаты которых выражены в виде одной или нескольких кривых у = у (х) (например, записи на ленте самопишущего устройства)4.

При этом, как и ранее, возникает необходимость получить от­ вет на следующий вопрос: различаются ли два (или более) участ­ ка записи значимо по амплитуде с учетом фактических флуктуационных «шумов»?

Иначе говоря, необходимо установить, было ли какое-либо воз­ действие на систему в процессе измерений и с какой степенью до­ стоверности это можно утверждать.

Пусть имеется участок ленты самописца с записанной на ней кривой w (t) для мощности некоторого сигнала. Предполагается, что на некотором участке (а, Ь) на систему воздействовал сигнал мощностью wlt а начиная с момента Т (участок (Ь, с) мощность сигнала изменилась и стала равной w2.

Можно ли различать статистически значимую разницу в мощ­ ностях этих сигналов?

Для ответов на этот вопрос поступим следующим образом. Функция w (і) может быть представлена, согласно теореме

Фурье, в виде суммы гармонических составляющих:

w(t)= 2

a„cos

, 2 п nt

, п

(2.151)

——

+ Ѳ„

п = О

 

 

 

 

или приближенно

 

 

 

 

w ( t ) ~ 2

[a«cos( ^ T ^ + 0n

(2.152)

n=0

L

'

 

 

где число m предполагается достаточно большим.

В этом случае среднее значение величины w2 может быть най­

дено по формуле

 

W2 =

_1_

W ( t ) d t ^ ± - j f 2 [а* cos 2 n n t

dt. (2.153)

 

т

О ( л= ОL

 

 

 

 

Отметим, что величина w2 в данном случае аналогична величине s2 — оценке дисперсии, поскольку для нахождения а2, строго го-

4 В следующих двух параграфах будут изложены результаты, полученные в ра­ боте [32 ].

87

воря, следовало

бы

написать:

 

 

 

 

 

со

( со

,

n М

2j .

 

 

f

, 2 л nt

 

О* Оі

ап cos (- ^ r -

+

Ѳ„ jj

I dt.

(2.154)

2

 

 

 

---СО 1 / 1 = 0

Вформуле (2.153) при достаточно большом интервале интегрирова­

ния < 0 ,Т > все перекрестные члены будут близки к нулю, поэтому

 

,п

2

 

W

V

 

(2.155)

Аі

2 •

 

11=0

 

 

Для рассматриваемого случая двух участков записи можно на­ писать:

т

~ ѵа

 

V

(2.156)

Ал

2 ~~ * ’

 

11 = 0

 

 

причем число степеней свободы для х 2 будет равно ѵ = 2т, по­ скольку функция w (t) была представлена нами выше в виде раз­ ложения по двум функциям sin (2лпИТ + Ѳ„) и cos (2mitIT -|- Ѳп). Очевидно, что для применения х 2_кР и т е Р ия необходимо 'знать величины ап, входящие в (2.155). Их можно определить, например, с помощью амплитудного анализатора, причем число гармоник надо брать по возможности большим, т. е. порядка нескольких десятков.

Доверительный интервал при этом оценивается по формуле

Хо,975—Хо, 025 CÜ 5,9/V i = 5,5 / 2

т .

(2.157)

Для оценки значимости расхождения величин

и w2 можно по­

ступить еще и таким образом. Весь участок

записи

разбивается на

ряд произвольных интервалов, которые предполагаются распре­ деленными нормально и содержат достаточно много «флуктуацион-

ных» амплитуд. Найдя оценки дисперсии w\ и w\ для участков (а, Ь) и (Ь, с) аналогично тому, как это было сделано выше, можно составить отношение

w\

= г = 02 К , ѵа).

(2.158)

ш2

 

Тогда, согласно критерию Фишера, если ѵ2 (ѵх, ѵ2)>Ор, то можно сказать, что мощность сигнала на участке (а, Ь) значимо отличается от мощности сигнала на участке (b, с).

Как правило, однако, изложенные выше способы обработки применяются редко, поскольку это связано с необходимостью проводить довольно большой объем вычислений.

Обычно во всех случаях желательно имитировать эффект, по­ давая на вход измерительной, системы сигнал известной мощности. Если прямая линия f (шиМ) пройдет внутри доверительных интерва­ лов и захватит нуль, то можно считать, что система работает нор­ мально и без каких-либо нелинейных искажений.

88

Рассмотрим случай, когда записывается амплитуда колебаний осциллятора, для которого декремент затухания весьма мал.

Обозначим через Q значение добротности осциллятора, FN — стационарную флуктуационную силу, которая для частного случая тепловых флуктуаций определяется формулой Найквиста

1% = 4 kTH А /.

Здесь k — постоянная Больцмана; Я = пт JQ — коэффициент тре­ ния для колеблющегося осциллятора; т —■его масса;

©о — собственная частота колебаний осциллятора; А/ — ширина полосы пропускания измерительной системы.

Амплитуда колебания осциллятора

X ( t ) = А (т) cos (<й0 t + Ѳ(т)),

(2,159)

где А (т) и 0 (т) — функции времени, периодически изменяется, причем такие изменения х (/) происходят тем медленнее, чем больше значение добротности Q осциллятора.

Будем предполагать, что в некоторый момент времени на осцил­ лятор было наложено малое возмущение, причем время его воздей­

ствия т лежит в пределах т0^ т ^ т * , гдет0= 2я -)/т/и ; т* = 2т/Н— характерное время затухания колебаний; х — жесткость для осцил­ лятора.

Вычислим то минимальное изменение амплитуды, которое мож­ но считать значимым с данной степенью достоверности.

Вероятность того, что амплитуда колебаний в момент времени т равна А х, если в момент времени т = 0 она равнялась А, опре­ деляется следующей формулой [32]:

РІА JA)

где

A T

т

qAAx

\

AT + QA2

(2.160)

 

 

a2(1 —q2)J eXp

[ a2 (1 — Q2)

 

 

 

 

q1«

exp

2 [ T]

 

(2.161)

 

T*

 

Можно считать, что воздействие на систему имело место с досто­

верностью

1 — р,

если

величина

амплитуды превзойдет значение

\АХ — А\,

т. е.

если

А~>[А~

]х_р.

Для определения квантили [А -Д -р, ограничивающей значения А- при принятом выше условии Ах\т=о = 0, необходимо решить интегральное уравнение

1Ат]

^ p l A j A ) d A x = \ - p .

(2.162)

А

 

Допустим сначала, что в момент т = 0 величина

амплитуды

89

Л ~ 0 при т^т* . В этом случае вычисление интеграла дает:

т іі-Р

 

 

 

1 d A

 

 

1

Ä

e x p

 

 

2 с о2

 

 

Ö

 

1

^

 

 

 

 

(2.163)

 

=

1 — exi )

ll-P

 

 

 

 

C

 

поскольку / 0 (0) = 1. (Здесь

с — 2т/т*.)

 

 

' Следовательно,

 

 

 

 

 

/

2 т

/

2 1п

 

(2.164)

[Ат]і -Р = ° у

^ ]

 

т. е. минимально разрешимое значение амплитуды зависит как от величины р = а (ошибки 1-го рода), так и от отношения времени

воздействия т к характерному времени затухания т*. Поскольку величина т* прямо пропорциональна добротности Q системы, то

отсюда вытекает, что при данном времени возмущения т величи­ на [Л -П -р будет тем меньше, чем больше Q.

Выражение для [Л~ ] практически не изменится, если вместо ус­

ловия А

(0) = 0 принять,

что А

(0)<CTj / rjn/t*.

 

Для вычисления ошибки 2-го рода ß может быть использована

следующая

 

формула:

 

 

 

 

 

 

1_

 

 

exp

[oT] f - p ( — ^ cos ф — V l — g2 sin2 ф )

 

ß = ПГ

Фі

 

 

 

 

 

2c

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

—exp

!x] \-p( — £ cos Ф +

l/ l — l 2sin2 Ф)

(2.165)

 

 

 

2 c

 

d cp,

 

 

 

 

 

p,

 

 

 

либо с выражением

через

cp и

t:

 

 

 

ß — _L

j*

I pl— Ecos <p—Vl —

sin' ф]

_

 

 

 

<Pi

 

1

 

 

 

 

______________

(2.166)

 

 

 

 

 

---p\— %,cos ф + С і —

si n! ф ] L

Здесь

 

введены

обозначения:

[а- ] x_p =

[Л -]1_р/а;

£ =

== 5/[Л -]1_р; срг =

arcsin

(1/£);

В — амплитуда колебаний, до ко­

торой возмущающая сила F (т), в отсутствие флуктуационной силы F n ,могла бы раскачать колебательную систему за время-тб.

5 Для случая, например, вынужденных колебаний при воздействии ряда толчков амплитуда колебаний после п-го толчка равна

В п = В п- іехр

л

+ В 0.

 

При синусоидальном воздействии, когда сов

 

= “ о.

В(т) = FoQ

! - ехР ( - 2

І Т sin a y .

и0

L

 

 

90

Смотрите также файлы