Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
В любом физическом эксперименте всегда имеет место конечная выборка значений результатов измерений — это может быть либо отрезок записи на ленте самописца, либо набор чисел х л,х2,хя, .. .,хп. Необходимо по этим данным найти величины £ и а2 и указать границы их возможных отклонений с некоторой степенью ДИ л ■• верности. Это означает, что при многократном повторении о _ .
полученный результат будет воспроизводиться с вероятностыбр пример, 0,95. н.
Интервал, в пределах которого с данной степенью достоверй-г^гй лежит величина £, называется доверительным интервалом.
Наряду с дисперсией а2 {х}, определенной как
о2{х} = °f ( x - l ) 2p(x)dx,
можно ввести «моменты» более высокого порядка, например,
|
|
f (x — l)"p(x)dx, |
|
(1.7) |
|||
где п > |
2. Однако |
мы будем |
рассматривать только |
величину |
а'2. |
||
Пусть |
имеется |
линейная |
комбинация вида у = |
а |
+ ßx, |
где |
|
а и ß — постоянные коэффициенты, |
х — случайная |
величина. |
|||||
Тогда у — тоже случайная величина, |
причем |
|
|
|
a2{y}=ßV {*},
т. е. стандарт ст не зависит от среднего значения и определяется толь ко выбором масштаба.
Для среднего значения величины х + у (математического ожи дания) М {х + у) справедливо соотношение
М(х + у) = М(х) + М(у).
Если заранее неизвестна функция распределения Р (х), то для оценок величин £ и а можно воспользоваться неравенством Че бышева':
или |
Р |
а |
< « > 1 - ■ |
|
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ( \ х - Ц < а а ) > \ - ^ , |
(1.9) |
||||
где а > |
0 — некоторое заранее заданное число. Неравенства |
(1.8) |
||||
и (1.9) |
можно записать |
и в таком виде: |
|
|
||
|
Р (I* —£| |
а)< |
£>{*}_ |
а2 |
|
|
|
а2 |
а2 |
|
Таким образом, из данного неравенства следует, что для любого положительного числа сс вероятность отклонения х от М {х) на ве личину, не меньшую, чем а, ограничена величиной а2/а 2. Как при мер оценим_вероятноетъ того, что случайная величина х отклонит ся от своего-среднего значения £ на величину, большую, чем За.
16
Полагая а = За, находим |
|
|
||
|
|
Р ( | * - ^ 3 а ) < | 1 = ^ . |
|
|
пг' -м |
образом, |
отклонение случайной величины |
х за |
пределы |
За |
возможно с вероятностью, меньшей, чемѴ9. |
|
|
|
■тметим, ^что неравенство Чебышева дает верхнюю границу ве- |
||||
юсти такого отклонения, т. е. каков бы ни был закон распре- |
||||
^ ...« и я , такая |
вероятность не может превышать |
эту |
границу. |
Для случая нормального распределения эта вероятность сущест венно меньше и в нашем примере равна примерно 0,003. На практи ке обычно случайные величины крайне редко выходят за пределы £ ± За и данный участок обычно принимают за границу практи чески возможных значений величины х (правило «трех сигма»).
Перейдем теперь к рассмотрению закона больших чисел.
§ 2. Закон больших чисел
Одна из форм закона больших чисел устанавливает связь между средним арифметическим некоторого набора случайных величин и его математическим ожиданием. Иначе говоря, при увеличении числа опытов среднее арифметическое для наблюдаемых значений будет приближаться к ее математическому ожиданию. Так, например, при увеличении числа измерений флуктуирующего напряжения в некоторой цепи средние значения для отдельных групп измерений при увеличении числа замеров в группе будут все менее и менее от личаться друг от друга, в пределе стремясь к постоянному значению, равному их математическому ожиданию М — £.
Если х г, . . . , хп — случайные величины, то х = — У! x t —■
І = I
таюке случайная величина,-причем если х имеет параметры £ и а2, то X будет иметь соответственно параметры £ и а2/«. Это утверждение может быть записано в виде:
при X ->-(£; а2)
величина х |
(£; о2/п). |
Для дисперсии а2 выполняется следующее соотношение:
°2 (Ü |
*J) = E |
i= 1 |
1= 1 |
Поскольку ширина кривой |
р (х) для функции распределения |
зависит от величины а2, то чем больше число измерений п, тем уже кривая.
Таким образом, с увеличением числа измерений функция р (х)
СТреМ ИТСЯ К 6-ф у н К Ц И И , м а к с и м у м КОТОРОЙ г п о т в р т ^ т в у с т м я тр м я -
тическому ожиданию набора случайных величи і х,. Г*с. публичная
17 |
научно - техни ів кая |
библиотек* С С О Р |
Э КЗЕМ П ЛЯ Р
Неравенство Чебышева для данного случая будет иметь вид
( 1.10)
т. е. среднее выборочное х сходится к генеральному среднему £ при
поо для любого заранее заданного а > 0.
Как уже отмечалось выше, неравенство Чебышева справедливо для любого (не обязательно нормального) распределения, однако ширина доверительного интервала, даваемого этим неравенством, существенно больше, чем ширина интервала для нормального рас пределения.
Если значение о, входящее в (1.10), неизвестно, то его прибли женно можно оценить по формуле
° 2- ^ а = ;г^ т S (Хі - х)*, |
(1-11) |
і=і |
|
где. s2 — оценка величины а2. Причем в этом случае п должно быть больше 30. При меньших значениях п такая замена не вполне закон на. Доверительный интервал для величины £ задается соотношением
g = |
(1.12) |
у п
при достоверности 1—1/а2. Чем выше заданная достоверность, тем шире получается доверительный интервал. Обычно в физических экспериментах величина достоверности принимается равной 0,95— 0,99.
Если дана система случайных независимых величин xt, причем-
каждая из сумм |
т]я = X] хт имеет |
произвольную |
функцию |
|
распределения |
і = I |
распределения сумм |
|
|
Fni, то функция |
|
|||
|
ST]„ = £ |
(Ü |
хпі) |
|
|
П І—\ |
|
|
при п оо будет нормальной при следующих необходимых и .до статочных условиях:
£ §xdFni( x ) ^ 0; |
£ |
j‘x W n£(*)->0; |
|
£=1 |
J |
k \х\>х __
2 j x 4 F ni{x)-+1,
£=1 \x\< г
где т — любое положительное число.
Другими словами, при этих условиях (которые, вообще говоря, являются не слишком жесткими и, как правило, выполняются для
18
большого круга физических |
измерений) |
случайная величина |
|
|
|
к п |
|
* = S |
"Пл = 2 |
( S |
*«;) |
11 |
П |
1=1 |
|
распределена нормально, т. е. по закону 2 (рис. 3)
* |
з |
(1.13) |
Ф(х) = (2хс)_Ѵз j' exp |
£ —-^-] dx |
—со
при я -> о о . Это утверждение носит название центральной пре дельной теоремы.
р(х)
Рис. 3. Плотность вероятности р{х); заштрихованная площадь пропорциональна значению ин тегральной функции распреде ления ф(х)
Если при проведении измерений окажется, что сумма случай ных величин не распределена нормально, то это может означать, что где-то в измерениях была допущена ошибка, либо был неиспра вен прибор.
§ 3. Критерии значимости
При проведении тех или иных различных измерений возможна ситуация, когда заранее известна величина а2. Например, при измерении падения напряжения на известном сопротивлении R при токе Iо среднеквадратическая флуктуация напряжения (At/)2, которая в данном случае является дисперсией, может быть найдена по теореме Найквиста
(EÜy = AkTRAf. |
|
(1.14) |
При этом оценка доверительного интервала для х |
и £ из выборки |
|
х г, х 2, ■■. , xk измерений величин напряжений Ub |
принадлежащих |
|
множеству < Х > с генеральным средним |
может быть найдена |
следующим образом. Будем предполагать, что величины;^, х2, ..., хк распределены нормально, т. е. их функция распределения равна
Р\х) = {р - / 2л)“1 ] ехр |
[ - |
(* ~ аё)“] dt. |
(1.15) |
! Интеграл Ф (х) = ■ .— j ехр £ — ~~2~\ |
dt |
называете >г интегралом |
веро- |
* п 'о
ятности Гаусса или функцией Лапласа (см. Приложение I).
19
Введем функции
|
|
|
р(и) — (2я)~ѵ-’ехр |
и2 |
|
|
(1.16) |
||||||
|
|
|
Т |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(«о) = |
(2л)~ч‘ j |
exp £ —~Y~\ dt = Ф (M°) |
(1.17) |
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(u0)= |
(2я) |
1/2 I“exp |
[ —- y - ] ^ = Ф Ы - |
(1.18) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
Здесь величина и = |
( t — |)/o |
является |
нормированной. |
||||||||||
Используя таблицы, можно написать, что вероятность того, что |
|||||||||||||
величина |
|
и — |
jL |
будет |
|
больше |
определенного |
числа (на- |
|||||
|
|
|
0/Ѵ'1 |
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|||
пример 1,96), равна |
5%, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
х - 1 |
|
|
1,96 |
= Р (|ы |> |
1,96) = 0,05 |
|
||||
|
|
|
о / Уп |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (|и |< |
1,96) = 0,95. |
|
|
|
|||||
В общем |
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
' х - Ъ |
> ир = Р (|х — II > |
аир) = Р{х < 1 — оир) + |
|
||||||||||
+ |
Р (X > |
I + |
СШ ) = |
Р (X < |
I — UpO) Ч- [ 1 — Р (х < s ■+ ИрСГ)] = |
||||||||
= |
Ф ( - |
ир) + |
[ 1 - |
Ф (и р) ] = |
2 [ 1 — Ф (Ир)]. |
(1.19) |
|||||||
Следовательно, для |
односторонней границы |
вероятность |
|||||||||||
Р ( \х— £, |/су > и р) |
выражается |
через |
интегральную функцию |
||||||||||
распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
«-S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(и) = (2я)~1/г |
j |
exp |
|
|
dt = Ф |
( 1.20) |
|||||
Для двусторонних |
границ |
вероятность |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
р ( - и 1< ^ |
< |
« |
1) |
(1.21) |
||||
вычисляется с помощью |
функции |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Ф = |
(2 яГ І/2 jex p [ _ - j - j dt. |
(1.22) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U i |
|
|
|
|
Формула |
(1.19) |
выражает |
и-критерий |
значимости |
результата. |
20