Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 89

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

может быть найдена из

уравнения

 

Ф(ир) = Р

( 0 < Р < 1 )

(1.33)

(Р — заданное значение

вероятности) с помощью таблиц для ин­

тегральной функции распределения Ф (и). Квантиль ир изменяется

от — оо до poo при изменении Р от нуля до единицы. Для Р =

0,5

Up = 0. В частности, «р-квантиль для х или £ определялась

как

l - U p -у^п< X < ^ + U p ~у п

 

и

 

х — ир

 

где п — число измерении.

Перейдем теперь к случаю, когда величина о2 неизвестна. Параметр ст2 может быть найден с помощью оценочной величины

s2 = ~ l S

(1-34)

і-1

 

или, точнее, с помощью

 

4 - 2

(1-35)

І=І

 

Данные оценки для а2 являются наилучшими. При /г-»- оо s2 s2,

т.е. при большом числе измерений обе эти оценки совпадают. Случайные величины (х,- — |) распределены нормально и имеют '

параметры

распределения (0;

а 2).

 

множества {хД из­

Будем предполагать в дальнейшем, что для

вестна величина | и требуется

найти доверительный интервал для

а2 по найденному из опыта значению

s2.

 

 

Преобразуя (1. 35),

получим

 

9

 

 

s2 =

пт2 —

У1

 

 

(1.36)

 

 

 

і = 1

 

 

 

 

где их — (хг — |)/сг — универсальная

функция, введенная выше.

Напомним,

что случайная величина

и является

нормированной

и имеет плотность

распределения

 

 

 

 

 

р(и)=(2п)

ч'- ехр

2

•

 

 

 

 

 

 

 

Полагая в

(1.36) S

 

= %2 .будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.37)

25

Наряду с величиной х2можно ввести в рассмотрение величину

= 2 ( ^ ) 2.

(1-38)

i=1

 

которая может быть преобразована таким образом, что для нее функ­ ция распределения будет иметь тот нее вид, что и для %2»но при этом

параметром будет (п— 1) вместо числа п для %2.

Отметим, что функция распределения для генеральной сово­ купности (х2) зависит только от числа п и не зависит, в противопо-

p{xzj

Рис. 5. Плотность вероятности Р(%2) при различных значе­ ниях п

ложность множеству {х}, от величины с. Иначе говоря, если парамет­ рами распределения для {*} являются £ и а2, т. е. если

{*}-*(£; ° 2)>

.

то

{X2}->-(«)•

График р (%2) приведен на рис. 5.

Для функции X2 среднее значение £ равно числу /г*, т. е.

 

 

 

І= М {Х 2} =

S

М{и}} = п*,

(1.39)

 

 

 

= 1.

 

£=і

 

 

поскольку М { и і\2

 

 

 

 

 

Доверительные

границы для

х2 определяются

соотношением

 

 

Р {Хр, < X2 <

Хр,} = Р2-

Рх,

(1.40)

для которого квантили

Хр, и Хр2 вычисляются из функции Р (х2)

и зависят от числа степеней свободы п*.

 

Задаваясь

некоторыми значениями Р х и Р 2>можно, используя

таблицы

X2 =

X (Р {%2Ь

«*)> определить

квантили

Хр, и Хр,- На­

пример,

для

Р х =

0,99

и Р 2 =

0,01 при /г* = 9

Xj>t — 2,088 и

Хр, = 21,666.

При меньшей степени достоверности,

например, для

Р х = 0,95 и Р г =

0,05 при том же числе п* степеней свободы Хр, =

26

=3,325 и xl, = 16,919, т. е. доверительный интервал стал уже. Используя соотношения (1.37) и (1.40), можно написать

 

 

=

0-41)

или

 

 

 

p ( J i - s 2< a 2<

^ s

2 ) = P 2- P 1.

(1.42)

^ УР>

УРі

J

 

Поскольку обычно величина £, с помощью которой можно найти s2, неизвестна, то вместо s2 можно использовать оценку

* = 7Г±12 (* -*)'■ 1=1

Отличие величины s2 от s2 нетрудно уяснить, преобразуя s2 следую­ щим образом:

s2= £

(*і - Ю 2= Е

l(Xi-x) + (x— g)]2= Е (Х і- х )2 + п ( х - ^ ) 2,

і=1

І=1

і=1

 

 

(1.43)

поскольку в силу независимости величин (х; — х)

£ (Хі- х ) ( х - 1 ) = 0.

(1.44)

t=i

 

Из (1.43) следует, в частности, что если х и t мало отличается

друг от друга, то можно приближенно считать, что

 

s2~ S 2.

(1.45)

Отметим еще одно важное обстоятельство. Распределение %2 не яв­ ляется нормальным, но сходится к нему весьма медленно при /і оо.

Как показал Фишер, для случая п > 30 случайная величина -j/2%2 распределена приближенно нормально и имеет параметры

о2 = 1

и I = -j/2п — 1.

по Фишеру, приближенно

равна:

Универсальная

функция и,

 

и ~ У ^х2 — -]/"2/г — 1 (ц^ЗО ).

(1-46)

Можно

написать

также,

что

 

 

 

 

ХІ

~ - ^ - ( ѵ 2 / г — 1 4-Их-р)2

(1.47)

или, более точно,

 

 

 

 

 

 

 

ш

+ иі - » Ѵ w ) ■

(1-48)

27

В частном случае, когда Р 2 и соответственно рзрны 0,025 и 0,975, то для разности двух квантилей можно написать:

= 5(0,025 — 5(о.975 ^ 2 - 1 ,9 6 /2 д — 1 ^ 5 ,5 / п .

(1.49)

Таким образом, с вероятностью 0,95 выполняется приближенное соотношение

Хо.025 — 5(0,975 ^ 5 , 5 / п .

(1.50)

§ 5. Критерий равенства теоретических дисперсий (критерий Бартлетта)

Часто возникает задача установить, обладают ли различные се­ рии измерений некоторой[величиных одной и той же дисперсией о2. Ответ на этот вопрос позволяет судить о том, были ли допущены систематические ошибки в каких-либо і из /е серий измерений, так как иногда приходится сравнивать серии измерений, проведенных в разное время, в разных условиях, а иногда и различными авто­ рами.

Поскольку теоретическое значение дисперсии для подобного рода измерений должно быть постоянным (например, дисперсия а2 = kTAf для случая измерения шумовой мощности), то естествен­

но, что найденные в каждой серии измерений оценки для af, сг|, ..., а* должны иметь своим генеральным средним истинное значение а 2, равное теоретическому.

Критерий, позволяющий судить о том, имеют ли все оценки сво­ им генеральным средним о2, т. е. позволяющий проверить гипотезу

Gl = 02 = .. . = ак = а2,

был установлен Бартлеттом. Пусть в результате эксперимента име­ ются k серий различных измерений какой-либо величины, каждое из которых состоит из п = /; + 1 замеров, причем для каждой се­

рии известна величина sj — [2 (лу — х)2]/2/;. Введем обозначения:

*і

/ =

*2 = / і ------

(1-51)

*=>

2 и

 

 

1=1

 

Если о? = a I = . . . —а, то случайная' величина s2 имеет парамет­ рами распределения величины / и о2, т. е.

а2 = ^ { / , а2}.

28

Как показал Бартлетт, оценка для распределения %2 для данного случая может быть записана в виде

(1.52)

i=i

где

Это означает, что так же, как

и для х2, имеющей

параметры рас­

пределения /и а2, данная оценка для х2 также имеет

своими пара­

метрами величины f и о2 при

 

10.

 

Поскольку, в соответствии с (1.52), каждому значению k (в дан­

ном случае k = п) соответствуют

вполне определенные значения

Хр, и x L то при условии, что

X2 <

УІ, гипотеза а? = о2 = . . . =

= ok = а2 может быть принята.

Другими словами, для выяснения того, имеют ли все серии про­ веденных измерений одну и ту же дисперсию а2 (или в предположе­ нии, что ст2 должна быть одной и той же для разных измерений, т. е. что в процессе измерений не допущено каких-то систематических ошибок для некоторых из k серий), необходимо:

1.Вычислить X2 по формуле (1.52).

2.Выбрать заданный (например, 5%-ный) уровень значимости для границы между случайным и существенным расхождением срав­ ниваемых величин s?.

3. Если для найденного значения х2 = %1 величина Р (хд) при

а = 0,05 будет меньше числа 5,99

(число 5,99

есть табличное зна­

чение X2 при / = k —- 1 = 2 для а — 0,05), то гипотеза of =

а2 =

= оI принимается с вероятностью

0,95. Если

же Р (хд) >

5,99,

то эта гипотеза отвергается, т. е. различие между найденными из опыта оценками s2, s2 и s2 не является случайным, т. е. данные ве­

личины, по крайней мере, с вероятностью 0,95 не могут быть объеди­ нены.

Другими словами, если Хд — «наблюденное» значение (т. е. зна­ чение, вычисленное по формуле (1.52)), то при 5%-ном уровне зна­ чимости между случайным и существенным расхождением наблю­ денное значение Хд считается не случайным, если Р (Хд) < 0,05

при данном числе степеней свободы /* =

k — 1. В этом случае рас­

хождение между ох, . . ., ok является

значимым, т. е. данные at

не могут быть объединены.

 

Если же Р (Хд) > 0,05, то гипотезу о равенстве можно, с вероят­ ностью 0,95, считать согласующейся с наблюдениями.

Рассмотрим три серии замеров веса образца (k — 3, /* = k — 1 =

29

/

Смотрите также файлы