Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf

Если принятая нами оценка для £ является правильной, то она должна лежать в пределах

с достоверностью 0,95 или с вероятной погрешностью 0,05.

Если, таким образом, данные неравенства выполняются, то мож­

но сказать, что случайная величина х принадлежит к такой гене­ ральной совокупности < Х > , для которой генеральное среднее есть £. Иначе говоря', при увеличении числа измерений (я-ѵоо) величина х сходится к генеральному среднему

В качестве примера рассмотрим измерение мощности W, выде­ ляемой на сопротивлении при токе / 0 и напряжении на сопротив­

Прогнозирование эксперимента сводится в данном случае к то­ му, чтобы указать, в каких пределах должно лежать значение х, которое будет получено при измерениях.

Согласно формуле (В. 1), величина о может быть найдена по тео­

Соотношение (1. 23) показывает, что с достоверностью 0,95 най­ денное из опыта значение х не должно выходить за пределы указан­ ного интервала.

Итак, прогнозирование результатов измерений, согласно кото­ рому в 95 случаев из 100 должно выполняться (1. 26), проведено на­ ми для случая всего девяти измерений.

21

Если найденная в результате измерений величина х не удовлет­ воряет (1. 26), т. е. если мы вышли за пределы указанного довери­

тельного интервала, то это означает, что число х = Ц7пзМ 'значимо, т. е. с достоверностью 0,95 средняя мощность не равна ІО-20 Вт. В рассмотренном примере число 0,05 есть ошибка 1-го рода.

Величина коэффициента в (1. 26) (в нашем случае 1,96) зависит от выбранной заранее степени достоверности (мы приняли ее рав­ ной 0,95) и может быть найдена из таблиц (интеграл Ф (х)). Так, например, для значений вероятностей 0,99 и 0,999 будем иметь

“£

Отметим, что величина и — '^~ = : распределена нормально со

а/ у п

средним значением ё = 0 и а = 1. «-Критерий значимости позволяет установить различие между случайными ошибками того или иного метода измерений и его систематическими ошибками.

В отличие от случайных ошибок, обусловленных большим чи­ слом не поддающихся учету факторов, ошибка от которых распре­ делена нормально со средним ёо — 0 и данным о, систематиче­ ские ошибки бывают обусловлены лишь незначительным числом фак­ торов и действуют, как правило, в какую-то одну сторону, «смещая» распределение на величину 6 = Ё — t„. Необходимо отметить так­ же, что применение «-критерия значимости возможно, если зара­ нее известно стандартное отклонение о.

Рассмотренный выше «-критерий значимости дает возможность определить, при заранее выбранном нами уровне значимости а (а — малое число, равное, например, 0,05), ту критическую область

возможных значений х или с, для которой вероятность неприня­ тия первоначальной гипотезы (если в действительности она спра­ ведлива) равнаа. Таким образом, данный критерий приводит к оши­ бочному решению об отказе от заведомо верной гипотезы (т. е., что £ = Іо) с вероятностью 0,05, т. е. примерно в 5 случаях из 100. Ошибка, связанная с непринятием заведомо правильной гипотезы, есть ошибка 1-го рода, а вероятность такой ошибки есть а. Наряду с ошибкой 1-го рода обычно вводят понятие ошибки 2-го рода ß, которая равна вероятности ошибочного принятия заведомо невер­ ной гипотезы.

22

В качестве примера рассмотрим эксперимент со взвешиванием тела массы т = 10 г при механической добротности измерительной системы Q — ІО2, со 0 = 10 с-1, Т — 300° К и А/ = 1 гц. Допус­ тим, что необходимо определить, имеется ли воздействие малой силы F на измерительную систему.

Примем число проведенных измерений равным 9 и среднее зна­

Имея данные значения X и ст, можно поставить вопрос: существует ли предполагаемый эффект изменения веса или не существует? Иначе говоря, необходимо сделать выбор между двумя возможными гипотезами: 1) эффект рагвен нулю и 2) эффект не равен нулю.

Как мы уже знаем, ответ на этот вопрос можно получить по «-критерию значимости, построив соответствующие доверительные

границы для X. Однако насколько можно доверять данному крите­ рию? Можно ли, используя его, допустить ошибку и каков'а вероят­ ность такой ошибки?

Пусть заведомо известно, что эффекта нет, т. е. генеральное сред­ нее Іо = 0. Вероятность принятия ложной гипотезы ( | 0 =^0)

есть ß = 1 — л (І) = 1 — л (х) — 1 — л (А). В рассматриваемом

случае А = —^ = = 3,5 и ß = 0,062.

Таким образом, вероятность ошибиться (приняв вместо правиль­ ной неверную гипотезу) при применении «-критерия в данном слу­ чае очень мала — всего 6,2%. Чем больше А, т. е. чем сильнее раз­ личаются «правильная» и «неправильная» гипотезы, тем более донтоверным является «-критерий значимости, т. е. тем меньше стасовится вероятность совершения ошибки принятия заведомо лож­ ной гипотезы.

где Up — квантиль, можно находить доверительные границы для X. Квантиль Up для нормированного нормального распределения

— 00

24