Файл: Ретман А.А. Автоматика и автоматизация портовых перегрузочных работ учебник.pdf

жет принимать различные значения; величину ее в каждом от­ дельном случае нельзя предсказать.

Случайные величины могут быть прерывными (дискретными) и непрерывными.

Случайные величины называются прерывными, если возмож­ ные их значения могут быть заранее перечислены. Например, в усилительном устройстве, состоящем из пяти ламп, может от­ казать 0, 1, 2,..., 5 ламп и никаких других значений быть не может.

Случайные величины называются непрерывными, если воз­ можные их значения, которые заполняют некоторый промежуток, не могут заранее быть перечисленными, например время безот­ казной работы контрольно-измерительного прибора.

Соотношение между возможным значением случайной вели­

таблицей, многоугольником распределения, функцией распреде­ ления.

Т а б л и ц а — это простейшая форма задания закона распреде­ ления. В ней перечисляются возможные значения случайной ве­ личины в соответствующие этим значениям вероятности. Та­ кая таблица называется рядом распределения случайной вели­ чины.

М н о г о у г о л ь н и к р а с п р е д е л е н и я (рис. 169, а) — это наглядное графическое изображение в системе координат, на оси абсцисс которой откладываются возможные значения случайной

величины и вероятность ее появления как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функция распределения

дискретной случайной величины графически изображается в ви­ де разрывной ступенчатой кривой (рис. 169, б). Начало каждой ступени соответствует точкам возможных значений случайной ве­ личины. Сумма всех ординат ступеней равна единице, а величина ординаты каждой ступени, отнесенная к сумме ординат, есть ве­ роятность значения случайной величины р(х\), р(х2),..., р(х$).

Если число возможных значений случайной величины увели* чивается, а интервалы между ними уменьшаются, то число ступе­ ней становится больше, а сами ступени — меньше. Ступенчатая кривая становится более плавной (рис. 169, в), случайная вели­ чина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения — к функции распределения непрерывной величины, которая иногда ' называется интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.

Пуассона, Вейбулла, логарифмический и др.

Нормальный закон распределения встречается на практике часто, так как он описывает распределение, когда на исследуе­ мую величину действует система многих случайных факторов, каждый из которых воздействует незначительно на суммарное отклонение величины от среднего значения. Нормальное распре­ деление хорошо описывает отказы электронных ламп. Распреде­ ление случайной величины, описываемое нормальным законом, характерно тем, что ее значения группируются около среднего значения и появляются с определенными частотами- (рис. 170). Вследствие этого кривая нормального распределения имеет коло­ колообразную форму. Следует отметить, что нормальный закон распределения является предельным, т. е. к нему при известных условиях приближаются другие законы распределения.

Кривую можно описать математическим выражением, но ча­ ще ее описывают как кривую, ограничивающую симметричную колоколообразную гистограмму.

Гистограмма (рис. 171) представляет собой систему коорди­ нат, на которой в Виде прямоугольников изображаются частоты появления величин или событий, или классов величин или собы­ тий. Высота прямоугольников пропорциональна частоте появле­

276

ния исследуемых величин, а величина основания прямоугольника равна интервалу групййрования. По мере увеличения коли­ чества интервалов группирования величина оснований прямо­ угольников будет уменьшаться, а ограничивающая гистограмму ступенчатая линия будет приближаться по форме к нормальной кривой. Нормальный закон распределения характеризуется плот­ ностью вероятности:

можные значения случайной величины. Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Для дискретных случайных величин математическое ожидание явля­ ется суммой произведений всех возможных значений случайной

вероятности) к ее математическому ожиданию.

Для непрерывной случайной величины математическое ожида­ ние определяется по формуле .

—«о

где f(x ) — плотность распределения величины лг;

277

Дисперсия случайной величины а2— это характеристика рас­ сеивания значений случайной величины. Она определяется по формулам для прерывных величин

П

а = 2 (* г - т )2 /? г, (50) i=i

пределения в точке, соответствующей х= т . По мере удаления от точки т плотность распределения уменьшается.

Если при работе изделия наблюдаются мгновенные отказы, то время безотказной работы может подчиняться экспоненциально­ му закону распределения. Плотность вероятности в этом случае определяется формулой

казной работы изделий нецелесообразно прибегать к профилакти­ ческим и ремонтным мероприятиям в виде предварительной за­ мены элементов или их периодического восстановления. Так как отказ возникает вследствие пиковой нагрузки, замена работаю­ щего элемента новым не влияет на причину отказа. Для повыше­ ния надежности в случае мгновенных отказов необходимо конст­ руктивно улучшать изделие либо уменьшать действующие на­ грузки.

При схеме накапливающихся повреждений среди причин воз­ никновения отказов важное место занимает старение системы. Так, со временем конструкция испытывает необратимые измене­ ния, вызванные коррозией, накоплением деформации, усталост­ ным износом.

При такой схеме возникновения отказов они могут подчинять­ ся гамма-распределению времени безотказной работы. С ростом числа повреждений гамма-распределение становится более сим­ метричным, приближается к нормальному и подчиняется лога­ рифмически нормальному распределению.

Логарифмически нормальное распределение имеет широкое распространение в теории надежности. Оно используется для об­ работки данных о времени безотказной работы, например ряда

2 7 8