Файл: Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений.pdf

Коэффициенты aih не содержат обобщенных скоростей.

Задача 1.14. Исходя из

N

т=\ 2

г=і

(N — число частиц в системе) и уравнений преобразования в фор­ ме Г; = гг (qi, . . ., qN), доказать, что коэффициенты aik не содер­ жат обобщенных скоростей.

Из теоремы Эйлера, которая утверждает, что если g является

однородной функцией порядка ѵ от переменных хи то ^jX^dg/dzi) —

= vg (для нашего случая ѵ = 2), следует, что

— полная энергия системы. Для консервативной системы с неза­ висящими от времени связями гамильтониан равен полной энергии и постоянен во времени. Отметим, что изолированная система не может описываться уравнениями преобразований, явно содер­ жащими время. В таком случае гамильтониан также не будет явной функцией времени, и Н сохраняется. Тот факт, что гамиль­ тониан изолированной системы не может содержать явно время, выражает однородность времени. В данном случае, как мы уже видели, Н представляет собой константу движения, а именно энергию.

Время, также как и пространство, обладает еще одним фунда­ ментальным свойством — свойством изотропности. Этого рода симметрия ведет к принципу динамической обратимости. Если одномерный объект, такой, как время, является изотропным, то не существует различия между временем прогрессирующим и вре­ менем регрессирующим. При обращении времени законы движе­ ния остаются инвариантными, так что Н (t) = Н (—t). В свете уравнений Гамильтона это означает, что если [q (t), р (t)] являет­ ся динамическим решением, то [q (—t),— р (—£)] также будет решением.

Чтобы сделать доказательство более убедительным, рассмот­ рим сначала начальные и конечные условия:

Далее найдем динамический путь, соответствующий новым началь­ ным условиям р * (0) = —pi, q* (0) = qx. Имеем решение

Р* = —Р i—t* +'h), Я* = q (—t* + О 7

где t* есть время в задаче с переменными, отмеченными звездочкой (заметим, что р и q — те же самые функции, что и в первом слу­ чае). Таким образом, мы нахо­ дим, что

Р* (t* = 0) = —р (h) = —ри q* (0) = qu

изменяется по времени энергия шарика? Если эта энергия возрастает (убывает), то откуда (куда) идет прирост (убыль) энергии?

Утверждение, что некая динамическая переменная постоянна по времени, означает, что существует функция координат и им­ пульсов, которая не изменяется при изменении qi и рі по времени. Такая функция

^ (?І7 • • •? qNi Pii ■ • ч Р Nt

постоянная вдоль «динамического пути системы», называется константой движения. Эта концепция, в сущности, является

•одной из наиболее важных во всей классической динамике. Сколь­ ко независимых констант движения существует для системы с N обобщенными координатами? Из второго закона Ньютона либо из уравнений Лагранжа или Гамильтона мы видим, что решение включает 2N постоянных интегрирования. Обращая эти решения так, что постоянные интегрирования становятся функциями дина­ мических переменных, получаем совокупность 2N независимых констант движения. Разрешенные относительно индивидуальных

24 Гл. I. Элементы классической механики

координат и импульсов, эти 2N первых интеграла уравнений движения, как мы видим, будут эквивалентны решению задачи. Существование 2N независимых констант движения можно также усмотреть из геометрического построения.

2іѴ-мерное декартово пространство с координатами (д1? . . ., qN; Pi, . . ., p N) называется фазовым пространством (а также Г-про- странством). В этом пространстве вся система изображается одной

уравнение этой динамической кривой является важным соот­ ношением, которому должны удовлетворять р и х , она не дает информации о развитии системы во времени. С другой стороны,

в (2N + 1)-мерном расширенном фазовом пространстве (Г-про­ странстве), которое включает ось времени, кривая, прочерчивае­ мая точкой системы, дает полное динамическое решение задачи. Для рассмотренной задачи с гармоническим осциллятором эта кривая является пересечением двух поверхностей а = р/cos соt, Ъ — xlsmuit. Динамический путь изображен на рис. 1.7.

Для одномерного движения свободной частицы кривая системы

в трехмерном Г-пространстве представляет собой пересечение

стей» в этом же пространстве. Кривая в пространстве с любым числом измерений является одномерным геометрическим местом

/і (X, г/, z) = 0 и / 2 (х, у, z) = 0 определяют кривую, так как только одна координата точки этого многообразия может быть выбрана произвольно. Геометрически кривая является пересече­ нием двух соответствующих поверхностей. Поверхность в іѴ-мер- ном пространстве есть (N — 1)-мерное многообразие. Таким обра-

Р и с. 1.8. Динамическая траектория свободной частицы в трехмерном Г- пространстве.

зом, в трехмерном пространстве уравнение g (х, у, z) = 0 опре­ деляет поверхность, так как только две координаты могут быть выбраны произвольно.

В (2N + 1)-мерном Г-пространстве уравнение

h (qi, . . ., qд.; pi, . . ., p N, t) — C1= 0

представляет собой поверхность. Пересечение 2N таких различ­ ных поверхностей образует одномерное многообразие в Г-про­

странстве, т. е. кривую. Но кривая в Г-пространстве может быть записана в параметрической форме дг = qt {х); p t = p t (х); t = х, что дает динамическое решение задачи. С другой стороны, 2N — 1 констант определяют двумерное многообразие, т. е. две пере­ менных могут быть выбраны произвольно. Обозначим их через Рі и t. Если рі и t независимы, то задача не решена. Итак, мы заключаем, что 2N независимых констант движения полностью определяют решение.

Хотя концепция констант движения является полезным геомет­ рическим понятием в теории неравновесной статистической меха­ ники, в любой задаче классической механики только часть этих констант имеет значение. Например, насколько важны начальные значения координат? После утомительного решения системы 2N