ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.04.2024
Просмотров: 31
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
активный эксперимент. Обычно такая возможность имеется при лабораторных исследованиях. На промышленных установках, как правило, так действовать нельзя. В этих случаях применяют пассивный эксперимент, т.е. регистрируют факторы в процессе нормальной эксплуатации объекта без целенаправленных воздействий на него.
О зависимостях функциональных, стохастических, статистических корреляционных и регрессионных
Известно множество величин и различного рода параметров, между которыми необходимо устанавливать зависимости, что и является основной задачей эксперимента.
Определим некоторые виды зависимостей между различными величинами и параметрами.
Зависимость называется функциональной (детерминированной), если каждому возможному значению аргумента соответствует определенное значение функции. Это привычные для вас связи, известные из курса мат. анализа:
Связь между случайными величинами, в общем случае, называется стохастической.
Частный случай стохастической связи - связь статистическая.
Связь называется статистической, когда условное мат. ожидание одной случайной величины Y является функцией некоторого значения х другой случайной величины Х.
.
Мат. ожидание величина теоретическая и определить ее можно не всегда, поэтому идут на упрощение и заменяют условное математическое ожидание на условное среднее значение.
Связь называется корреляционной между случайной переменной и условным средним значением другой:
Зависимость называется регрессионной между мат. ожиданием одной величины и определенным значением другой:
.
Но, здесьx - определенное числовое значение (не случайная или условно не случайная).
Уравнение регрессии может быть со многими переменными:
.
Переменные x1 ... xn иногда называют факторами.
Эксперимент, в результате которого получают регрессионные зависимости называют
факторным экспериментом.
При экспериментальных исследованиях изучаются объекты, которые в общем случае могут быть представлены в виде «черного ящика», на вход которого воздействуют величины, называемые факторами, или независимыми переменными или регрессорами.
Целью экспериментальных исследований является получение зависимости между входными величинами и выходной величиной, называемой функцией отклика. Конечной целью экспериментального исследования является мат. модель, адекватно описывающая поведение объекта.
Если все факторы трактуются как качественные, то применяется дисперсионный анализ. Если же один из факторов качественный, а другие количественные, то применяется корреляционный анализ. Если же все факторы количественные, то для получения мат. модели, связывающей входные и выходные величины, применяется регрессионный анализ. Только полная совокупность результатов эксперимента позволяет судить о поведении случайной величины, оценить характеристики её генеральной совокупности, т.е. получить одно из множества возможных значений всей совокупности оценок. Основной задачей оценивания является получение лучшей среди возможных оценок параметра случайной величины. При этом возможны два варианта.
1) На основании исходных данных получают определенные значения – т.е. точечные оценки, которые максимально стремятся приблизить к значениям соответствующих параметров;
2) Вычисляют граничные значения, между которыми с большой вероятностью должны лежать значения параметров, т.е. строят доверительные интервалы.
В результате точечного оценивания решается, какую величину следует принять в качестве оценки параметра на основании различных критериев минимизации отклонений. При этом полученные точечные оценки параметров должны обладать тремя свойствами: несмещённостью, состоятельностью и эффективностью. Несмещённой называется оценка, мат. ожидание которой равно истинному значению оцениваемого параметра. Состоятельной называется оценка, которая при увеличении выборки стремится к истинному значению. Эффективной называется оценка, которая минимизирует дисперсию отклонения, по сравнению с другими оценками.
Полный факторный эксперимент
Известно, что научные исследования организуются и проводятся настолько хаотично, что их КПД примерно равен двум процентам. Поэтому роль активного эксперимента, значительно повышающего этот КПД, чрезвычайно велика.
План активного эксперимента предусматривает: во первых, число учитываемых входных факторов; во вторых, выбор интервалов варьирования факторов; в третьих, выбор числа уровней варьирования факторов; в четвёртых, выбор сочетаний уровней факторов, их числа и последовательности проведения опытов. Таким образом, план эксперимента предусматривает условия и число проведения опытов, и в значительной мере определяет точность полученной в результате эксперимента мат. модели. Мат. модель получается на основании проведения регрессионного анализа.
Эксперимент, в результате которого все независимые переменные варьируются на всех выбранных уровнях, называется полный факторный эксперимент (ПФЭ). Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (т.е. при двух значениях факторах), и в эксперименте осуществляются все возможные комбинации из n факторов, то ПФЭ носит название – типа 2n.
Обычно факторы различны по физической природе и изменяются в различных динамических диапазонах. Поэтому для формализации процесса анализа и независимости полученных результатов от изменения масштаба входных величин – факторы предварительно кодируют. Для этой цели используют соотношение:
где
и 
– граничные значения варьирования независимыми переменными, которые или заданы или выбираются экспериментатором. Таким образом, операция кодирования независимых переменных заключается в переносе центра координат в точку хjср, называемую центром плана эксперимента. В кодированной системе на основании выражения (1) будут соблюдаться соотношения:
хjminxj= –1; хjсрxj= 0; хjmaxxj= 1
Благодаря кодированию факторов расчёт коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру.
Мат. модель или регрессионную зависимость обычно представляют в виде полинома (это скорее традиция, но хорошая традиция, поскольку с полиномами удобно работать, проводить различные математические преобразования, например, дифференцирование или интегрирование).
Итак, будем представлять регрессионную зависимость в виде полинома следующего вида:
ПФЭ проводится с целью определения регрессионной зависимости между функцией отклика и условно случайными (почти детерминированными) факторами.
Для определенности примем, что требуется установить зависимость между функцией отклика и тремя факторами:
,
где Y - целевая функция и функция отклика (т.е. производительность, точность, любой критерий эффективности);
х1, х2, х3 - факторы, которые мы можем и будем изменять в определенном порядке, по определенному плану в области возможных значений этих факторов.
В нашем случае, при трех факторах и выполнении ПФЭ может быть получена мат. модель - регрессионное уравнение - полином, следующего вида:
.
В модели опущены члены более высокого порядка из-за их малости. При этом следует заметить, что ПФЭ не позволяет определить квадратичные члены, ввиду особенностей построения плана эксперимента.
Этапы проведения полного факторного эксперимента (ПФЭ).
Первый этап. Определяем критерии и факторы, интервалы изменения факторов (т.е. область факторного пространства). Строим таблицу следующего типа.
Таблица.1
Интервалы изменения факторов
Главное достоинство факторного эксперимента состоит в том, что он позволяет одновременно изменять факторы по определенному плану, что позволяет значительно сократить общее число экспериментов для получения мат. модели в виде регрессионного уравнения.
Значения факторов кодируют для удобства проведения эксперимента, таким образом, что наибольшему значению фактора присваивается +1, наименьшему - -1, а среднее значение соответственно равно нулю.
Второй этап. Построение плана и проведение ПФЭ.
Таблица 2
План полного факторного эксперимента
О зависимостях функциональных, стохастических, статистических корреляционных и регрессионных
Известно множество величин и различного рода параметров, между которыми необходимо устанавливать зависимости, что и является основной задачей эксперимента.
Определим некоторые виды зависимостей между различными величинами и параметрами.
Зависимость называется функциональной (детерминированной), если каждому возможному значению аргумента соответствует определенное значение функции. Это привычные для вас связи, известные из курса мат. анализа:
Связь между случайными величинами, в общем случае, называется стохастической.
Частный случай стохастической связи - связь статистическая.
Связь называется статистической, когда условное мат. ожидание одной случайной величины Y является функцией некоторого значения х другой случайной величины Х.
.Мат. ожидание величина теоретическая и определить ее можно не всегда, поэтому идут на упрощение и заменяют условное математическое ожидание на условное среднее значение.
Связь называется корреляционной между случайной переменной и условным средним значением другой:
Зависимость называется регрессионной между мат. ожиданием одной величины и определенным значением другой:
.Но, здесьx - определенное числовое значение (не случайная или условно не случайная).
Уравнение регрессии может быть со многими переменными:
.Переменные x1 ... xn иногда называют факторами.
Эксперимент, в результате которого получают регрессионные зависимости называют
факторным экспериментом.
При экспериментальных исследованиях изучаются объекты, которые в общем случае могут быть представлены в виде «черного ящика», на вход которого воздействуют величины, называемые факторами, или независимыми переменными или регрессорами.
Целью экспериментальных исследований является получение зависимости между входными величинами и выходной величиной, называемой функцией отклика. Конечной целью экспериментального исследования является мат. модель, адекватно описывающая поведение объекта.
Если все факторы трактуются как качественные, то применяется дисперсионный анализ. Если же один из факторов качественный, а другие количественные, то применяется корреляционный анализ. Если же все факторы количественные, то для получения мат. модели, связывающей входные и выходные величины, применяется регрессионный анализ. Только полная совокупность результатов эксперимента позволяет судить о поведении случайной величины, оценить характеристики её генеральной совокупности, т.е. получить одно из множества возможных значений всей совокупности оценок. Основной задачей оценивания является получение лучшей среди возможных оценок параметра случайной величины. При этом возможны два варианта.
1) На основании исходных данных получают определенные значения – т.е. точечные оценки, которые максимально стремятся приблизить к значениям соответствующих параметров;
2) Вычисляют граничные значения, между которыми с большой вероятностью должны лежать значения параметров, т.е. строят доверительные интервалы.
В результате точечного оценивания решается, какую величину следует принять в качестве оценки параметра на основании различных критериев минимизации отклонений. При этом полученные точечные оценки параметров должны обладать тремя свойствами: несмещённостью, состоятельностью и эффективностью. Несмещённой называется оценка, мат. ожидание которой равно истинному значению оцениваемого параметра. Состоятельной называется оценка, которая при увеличении выборки стремится к истинному значению. Эффективной называется оценка, которая минимизирует дисперсию отклонения, по сравнению с другими оценками.
Полный факторный эксперимент
Известно, что научные исследования организуются и проводятся настолько хаотично, что их КПД примерно равен двум процентам. Поэтому роль активного эксперимента, значительно повышающего этот КПД, чрезвычайно велика.
План активного эксперимента предусматривает: во первых, число учитываемых входных факторов; во вторых, выбор интервалов варьирования факторов; в третьих, выбор числа уровней варьирования факторов; в четвёртых, выбор сочетаний уровней факторов, их числа и последовательности проведения опытов. Таким образом, план эксперимента предусматривает условия и число проведения опытов, и в значительной мере определяет точность полученной в результате эксперимента мат. модели. Мат. модель получается на основании проведения регрессионного анализа.
Эксперимент, в результате которого все независимые переменные варьируются на всех выбранных уровнях, называется полный факторный эксперимент (ПФЭ). Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (т.е. при двух значениях факторах), и в эксперименте осуществляются все возможные комбинации из n факторов, то ПФЭ носит название – типа 2n.
Обычно факторы различны по физической природе и изменяются в различных динамических диапазонах. Поэтому для формализации процесса анализа и независимости полученных результатов от изменения масштаба входных величин – факторы предварительно кодируют. Для этой цели используют соотношение:
где
и – граничные значения варьирования независимыми переменными, которые или заданы или выбираются экспериментатором. Таким образом, операция кодирования независимых переменных заключается в переносе центра координат в точку хjср, называемую центром плана эксперимента. В кодированной системе на основании выражения (1) будут соблюдаться соотношения:хjminxj= –1; хjсрxj= 0; хjmaxxj= 1
Благодаря кодированию факторов расчёт коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру.
Мат. модель или регрессионную зависимость обычно представляют в виде полинома (это скорее традиция, но хорошая традиция, поскольку с полиномами удобно работать, проводить различные математические преобразования, например, дифференцирование или интегрирование).
Итак, будем представлять регрессионную зависимость в виде полинома следующего вида:
ПФЭ проводится с целью определения регрессионной зависимости между функцией отклика и условно случайными (почти детерминированными) факторами.
Для определенности примем, что требуется установить зависимость между функцией отклика и тремя факторами:
,где Y - целевая функция и функция отклика (т.е. производительность, точность, любой критерий эффективности);
х1, х2, х3 - факторы, которые мы можем и будем изменять в определенном порядке, по определенному плану в области возможных значений этих факторов.
В нашем случае, при трех факторах и выполнении ПФЭ может быть получена мат. модель - регрессионное уравнение - полином, следующего вида:
.В модели опущены члены более высокого порядка из-за их малости. При этом следует заметить, что ПФЭ не позволяет определить квадратичные члены, ввиду особенностей построения плана эксперимента.
Этапы проведения полного факторного эксперимента (ПФЭ).
Первый этап. Определяем критерии и факторы, интервалы изменения факторов (т.е. область факторного пространства). Строим таблицу следующего типа.
Таблица.1
Интервалы изменения факторов
| | Уровни | ||
| Факторы | xmin(-1) | xsr(0) | xmax(+1) |
| x1 | x1min | x1sr | x1max |
| x2 | x2 min | x2 | x2 max |
| x3 | x3 min | x3 sr | x3 max |
Главное достоинство факторного эксперимента состоит в том, что он позволяет одновременно изменять факторы по определенному плану, что позволяет значительно сократить общее число экспериментов для получения мат. модели в виде регрессионного уравнения.
Значения факторов кодируют для удобства проведения эксперимента, таким образом, что наибольшему значению фактора присваивается +1, наименьшему - -1, а среднее значение соответственно равно нулю.
Второй этап. Построение плана и проведение ПФЭ.
Таблица 2
План полного факторного эксперимента
| № | х0 | х1 | х2 | х3 | х1х2 | х1х3 | х2х3 | Y |
| 1 | + | + | + | + | + | + | + | Y1 |
| 2 | + | - | + | + | - | - | + | Y2 |
| 3 | + | + | - | + | - | + | - | Y3 |
| 4 | + | - | - | + | + | - | - | Y4 |
| 5 | + | + | + | - | + | - | - | Y5 |
| 6 | + | - | + | - | - | + | - | Y6 |
| 7 | + | + | - | - | - | - | + | Y7 |
| 8 | + | - | - | - | + | + | + | Y8 |
