ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.04.2024
Просмотров: 36
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
.
Адекватность модели может быть установлена по критерию Фишера
.
Дисперсию адекватности найдем по формуле:
,
где SR2 - сумма квадратов отклонений эмпирических значений функции отклика от ее значений, вычисленных по модели, во всех точках плана;
f- число степеней свободы,
;
k1 - число коэффициентов аппроксимирующего полинома.
В нашем случае S2Y = 0, 000632, а SА2 = 0,00371, отсюда FA = 5,868 при табличном значении FT = 19,3. Таким образом, построенная регрессионная модель адекватна и может быть использована для анализа изменения функции отклика.
Рассмотрим 4-й этап построения мат. модели.
Проведение эксперимента
Формально под экспериментальным исследованием можно понимать поиск функциональной зависимости между параметрами, описывающими состояние системы, а также феноменологическое описание или объяснение обнаруженных новых закономерностей.
Экспериментальное исследование состоит по крайней мере из трёх этапов. Это: измерение, аналитическое описание и феноменологическое объяснение результатов.
Два первых этапа не очень сильно связаны с природой объекта и имеют много общего для различных объектов. Дать же феноменологическое объяснение результатов может только специалист в данной области знаний.
Обычно эксперимент проводится на специальных исследовательских установках. При проведении сложного эксперимента с большим количеством факторов и тысячами регистрируемых событий невозможно обойтись без средств автоматизации измерений и обработки результатов.
Рассмотрим автоматизацию эксперимента. Опыт показывает, что системы автоматизации экспериментальных исследований (САЭИ) перестали быть вспомогательным инструментом. Их отсутствие в настоящее время уже невозможно компенсировать изобретательностью и находчивостью экспериментатора. САЭИ называется программно-аппаратный комплекс на базе средств измерительной и вычислительной техники. Он предназначен для проведения научных исследований или же комплексных исследований новой техники на основе получения и использования моделей исследуемых объектов, явлений и процессов, а также натурных испытаний. Схему САЭИ можно представить следующим образом:
Расшифруем обозначения в схеме: 1 – экспериментальный объект; 2 – датчики; 3 – коммутатор; 4 – усилители; 5 – интегратор; 6 – АЦП; 7 – измерительная система; 8 – адаптеры, интерфейсы; 9 – ЦАП; 10 – управление экспериментальным объектом; 11 – ЭВМ; 12 – база данных.
По данной схеме отметим следующие моменты. Датчики измерительной системы обычно бывают аналогового типа. Это датчики температуры, давления, тока, напряжения, перемещения и т.д. Если сигнал неэлектрический, то его преобразуют в электрический. Слабые сигналы усиливают. Для подключения нескольких датчиков к одному усилителю применяют коммутатор. Измерительная система преобразует аналоговые сигналы в цифровую форму с помощью АЦП. Для возможности соединения блоков между собой выработаны стандарты на сопряжения, т.е. интерфейсы. Главный интерфейс системы – это стык между ЭВМ и измерительной частью. Если блоки, подключаемые к ЭВМ, не имеют стандартного интерфейса, то они подключаются через адаптеры, т.е. через переходники.
Автоматизированные системы обработки информации и управления
Кратко перечислим возможные автоматизированные системы.
Это АСНИ – автоматизированные системы научных исследований.
Это АСУТП – автоматизированные системы управления технологическими процессами.
Это САНЭ – системы автоматизации научных экспериментов.
Это АСКИО – автоматизированные системы контроля, испытаний и обработки.
Это ИВК – измерительно-вычислительные комплексы.
Существуют и другие системы специального назначения, обработки информации и управления. Переход к автоматическим измерениям связан с отсутствием сведений о требуемой точности измерений, с необходимостью перехода от оценок, удобных при ручной обработке результатов измерений, к оптимальным оценкам. При этом под оптимальной системой автоматического управления понимается наилучшая в некотором определённом смысле система.
Критерии оптимальности моделируемой системы
Критерии оптимальности, на основе которых строится система, могут быть самыми разными, и зависят от специфики решаемой задачи. Критериями оптимальности могут быть: точность системы, её экономичность, производительность, быстродействие, стоимость и другие технико-экономические показатели.
Следует отметить противоречивость многих критериев, например: устойчивость и точность, точность и стоимость. Чем лучше одно, тем хуже другое. Принимая решение в противоречивой ситуации, мы идём на компромисс, например между устойчивостью и точностью. Поэтому все практические задачи – это задачи с ограничениями. Например, ограничена область допустимых значений переменных: мощность, стоимость и т.д.
При отсутствии ограничений значение такой функции можно формально уменьшать до нуля, или увеличивать до бесконечности, но при этом не получать оптимального решения. Неформальная сторона задачи заключается в выборе критерия и ограничений (т.е. допустимых значений).
Выход из тупика заключается в волевом решении на основании соображений «здравого смысла», критерием которого может быть сложившаяся практика до автоматизации. Как только критерий выбран, а его значение принято, так далее следует формальное (т.е. математическое) решение задачи создания модели, т.е. математической зависимости, адекватно описывающей объект с точки зрения интересующих нас его свойств.
Следует отметить, что не всякая задача имеет решение. По А.Н.Тихонову задача корректна, если выполняются три условия:
1) существование решения;
2) однозначность решения;
3) устойчивость решения;
(Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.– М.: Наука, 1974). Два первые требования понятны. Решение должно существовать, его можно найти, и это решение должно быть единственным. Третье условие означает, что малым возмущениям исходных данных должны соответствовать малые изменения решения.
Идентификация моделей.
Идентификация – это определение параметров и структуры мат. модели, обеспечивающих наилучшее совпадение выходных координат модели и процесса при одинаковых входных воздействиях. Таким образом, процедура идентификации распадается на три этапа:
1-й этап. Выбор структуры модели на основании априорной информации об исследуемом процессе (отметим, что структура модели – это её компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости, ограничения, целевые функции);
2-й этап. Выбор критерия близости, основанный на специфике задачи;
3-й этап. Определение задачи параметров модели, оптимальных с точки зрения выбранного критерия близости.
По В.В.Фёдорову в зависимости от априорной информации различают три уровня информированности экспериментатора (Фёдоров В.В. Теория оптимального эксперимента.– М.: Наука, 1971):
1) Мат. модель известна и требуется уточнить или определить неизвестные параметры модели;
2) Мат. модель совпадает с одной из функций и нужно выбрать одну из них;
3) Вид мат. модели неизвестен, возможна аппроксимация конечным рядом, например, полиномом.
Задача идентификации имеет стохастический характер из-за неучёта вектора случайных возмущений, например, ошибок измерений. Из-за стохастического характера в основу идентификации естественно положить
принцип максимума апостериорной (т.е. после опыта; априорной – т.е. до опыта) вероятности, т.е. метод максимального правдоподобия.
Он позволяет найти состоятельные оценки, распределённые асимптотически нормально и имеющие наименьшую дисперсию по сравнению с другими, также асимптотически нормальными оценками. Отметим, что фраза «распределённые асимптотически нормально» означает: распределенные нормально для выборок с неограниченно возрастающим объёмом. Суть метода максимума правдоподобия заключается в следующем. (на пальцах):
Пусть в результате опыта, т.е. ряда измерений произошло следующее событие, а именно: случайные величины (Y1,Y2,…,Yn) приняли совокупность значений (y1,y2,…,yn). Задача – так подобрать мат. ожидания (х1), (х2),…, (хn), чтобы вероятность этого события была максимальной. Это так называемый принцип максимального правдоподобия. Поэтому метод максимального правдоподобия заключается в решении системы уравнений:
(i=1,2,…k), где i – неизвестный оцениваемый параметр, а L – функция правдоподобия. Функция правдоподобия L для случая выборки объёма n выражается произведением: 
, где 
– плотность распределения одномерной генеральной совокупности; 1,…к – неизвестные оцениваемые параметры; xr – значения элементов выборки. Решением являются k корней этой системы уравнений, которые зависят от значений выборки. Фактически функция правдоподобия L обозначает совместную плотность распределения вероятностной выборки, а искомые оценки 1,…к строятся так, что если их подставить в формулу для L, то достигается максимум плотности вероятности выборки 
. Построение таких оценок достигается приравниванием 
нулю. Полученные таким образом решения системы уравнений 
(i=1,2,…k) и служат оценками параметров 1,…к.
Ввиду отсутствия достаточно надёжной информации о характере связей между ошибками опытных данных, и о законах их распределения, а также из-за сложности вычислений и громоздкости алгоритмов вместо метода максимального правдоподобия применяют метод наименьших квадратов (МНК).
Принципиальное отличие МНК от метода максимального правдоподобия состоит в том, что он не требует знания вида закона распределения ошибок измерений. Оба эти метода получили в практике наибольшее распространение.
Следует отметить, что в случае нормального распределения ошибок, решения с помощью обоих методов совпадают.
Рассмотрим пример использования МНК.
Допустим, что мы имеем дело с (к+1)-мерным пространством переменных х1,…хк,у. По методу наименьших квадратов, в этом пространстве проводится гиперповерхность, сумма квадратов отклонений от которой минимальна. Эта гиперповерхность строго проходит через точки дополнительных условий. Представим для примера, что мы аппроксимируем поверхность крыла, кузова автомобиля по экспериментальным точкам, полученным путём обмера плазовой модели. Эта поверхность должна строго проходить через граничные точки (т.е. точки сопряжения с другими элементами объекта), что и обеспечивается учётом дополнительных условий.
Вычислительный эксперимент.
Если удаётся выразить весь моделируемый процесс в форме математических уравнений и отношений, то их можно исследовать на ЭВМ. Математическое моделирование – это специфический эксперимент на основе полной автоматизации.
Иногда численное решение уравнений мат. модели называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет много общего с натурным экспериментом. Но в отличие от натурного вычислительный эксперимент имеет в своей основе не реальный физический объект, а его мат. модель и реализуется не через измерение определённых величин, а через их вычисление с помощью компьютерных программ.
Вычислительный эксперимент, как и натурный является средством изучения реальных объектов, приводящим к пониманию физики объекта и получению его числовых характеристик. Он является как бы «зеркальным» отображением натурного эксперимента.
Использование ЭВМ и наличие –огромного количества мат. пакетов значительно упрощает использование численных методов. Современное программное обеспечение ЭВМ позволяет реализовывать численные методы интегрирования и дифференцирования,
Адекватность модели может быть установлена по критерию Фишера
.Дисперсию адекватности найдем по формуле:
,где SR2 - сумма квадратов отклонений эмпирических значений функции отклика от ее значений, вычисленных по модели, во всех точках плана;
f- число степеней свободы,
;k1 - число коэффициентов аппроксимирующего полинома.
В нашем случае S2Y = 0, 000632, а SА2 = 0,00371, отсюда FA = 5,868 при табличном значении FT = 19,3. Таким образом, построенная регрессионная модель адекватна и может быть использована для анализа изменения функции отклика.
Рассмотрим 4-й этап построения мат. модели.
Проведение эксперимента
Формально под экспериментальным исследованием можно понимать поиск функциональной зависимости между параметрами, описывающими состояние системы, а также феноменологическое описание или объяснение обнаруженных новых закономерностей.
Экспериментальное исследование состоит по крайней мере из трёх этапов. Это: измерение, аналитическое описание и феноменологическое объяснение результатов.
Два первых этапа не очень сильно связаны с природой объекта и имеют много общего для различных объектов. Дать же феноменологическое объяснение результатов может только специалист в данной области знаний.
Обычно эксперимент проводится на специальных исследовательских установках. При проведении сложного эксперимента с большим количеством факторов и тысячами регистрируемых событий невозможно обойтись без средств автоматизации измерений и обработки результатов.
Рассмотрим автоматизацию эксперимента. Опыт показывает, что системы автоматизации экспериментальных исследований (САЭИ) перестали быть вспомогательным инструментом. Их отсутствие в настоящее время уже невозможно компенсировать изобретательностью и находчивостью экспериментатора. САЭИ называется программно-аппаратный комплекс на базе средств измерительной и вычислительной техники. Он предназначен для проведения научных исследований или же комплексных исследований новой техники на основе получения и использования моделей исследуемых объектов, явлений и процессов, а также натурных испытаний. Схему САЭИ можно представить следующим образом:
Расшифруем обозначения в схеме: 1 – экспериментальный объект; 2 – датчики; 3 – коммутатор; 4 – усилители; 5 – интегратор; 6 – АЦП; 7 – измерительная система; 8 – адаптеры, интерфейсы; 9 – ЦАП; 10 – управление экспериментальным объектом; 11 – ЭВМ; 12 – база данных.
По данной схеме отметим следующие моменты. Датчики измерительной системы обычно бывают аналогового типа. Это датчики температуры, давления, тока, напряжения, перемещения и т.д. Если сигнал неэлектрический, то его преобразуют в электрический. Слабые сигналы усиливают. Для подключения нескольких датчиков к одному усилителю применяют коммутатор. Измерительная система преобразует аналоговые сигналы в цифровую форму с помощью АЦП. Для возможности соединения блоков между собой выработаны стандарты на сопряжения, т.е. интерфейсы. Главный интерфейс системы – это стык между ЭВМ и измерительной частью. Если блоки, подключаемые к ЭВМ, не имеют стандартного интерфейса, то они подключаются через адаптеры, т.е. через переходники.
Автоматизированные системы обработки информации и управления
Кратко перечислим возможные автоматизированные системы.
Это АСНИ – автоматизированные системы научных исследований.
Это АСУТП – автоматизированные системы управления технологическими процессами.
Это САНЭ – системы автоматизации научных экспериментов.
Это АСКИО – автоматизированные системы контроля, испытаний и обработки.
Это ИВК – измерительно-вычислительные комплексы.
Существуют и другие системы специального назначения, обработки информации и управления. Переход к автоматическим измерениям связан с отсутствием сведений о требуемой точности измерений, с необходимостью перехода от оценок, удобных при ручной обработке результатов измерений, к оптимальным оценкам. При этом под оптимальной системой автоматического управления понимается наилучшая в некотором определённом смысле система.
Критерии оптимальности моделируемой системы
Критерии оптимальности, на основе которых строится система, могут быть самыми разными, и зависят от специфики решаемой задачи. Критериями оптимальности могут быть: точность системы, её экономичность, производительность, быстродействие, стоимость и другие технико-экономические показатели.
Следует отметить противоречивость многих критериев, например: устойчивость и точность, точность и стоимость. Чем лучше одно, тем хуже другое. Принимая решение в противоречивой ситуации, мы идём на компромисс, например между устойчивостью и точностью. Поэтому все практические задачи – это задачи с ограничениями. Например, ограничена область допустимых значений переменных: мощность, стоимость и т.д.
При отсутствии ограничений значение такой функции можно формально уменьшать до нуля, или увеличивать до бесконечности, но при этом не получать оптимального решения. Неформальная сторона задачи заключается в выборе критерия и ограничений (т.е. допустимых значений).
Выход из тупика заключается в волевом решении на основании соображений «здравого смысла», критерием которого может быть сложившаяся практика до автоматизации. Как только критерий выбран, а его значение принято, так далее следует формальное (т.е. математическое) решение задачи создания модели, т.е. математической зависимости, адекватно описывающей объект с точки зрения интересующих нас его свойств.
Следует отметить, что не всякая задача имеет решение. По А.Н.Тихонову задача корректна, если выполняются три условия:
1) существование решения;
2) однозначность решения;
3) устойчивость решения;
(Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.– М.: Наука, 1974). Два первые требования понятны. Решение должно существовать, его можно найти, и это решение должно быть единственным. Третье условие означает, что малым возмущениям исходных данных должны соответствовать малые изменения решения.
Идентификация моделей.
Идентификация – это определение параметров и структуры мат. модели, обеспечивающих наилучшее совпадение выходных координат модели и процесса при одинаковых входных воздействиях. Таким образом, процедура идентификации распадается на три этапа:
1-й этап. Выбор структуры модели на основании априорной информации об исследуемом процессе (отметим, что структура модели – это её компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости, ограничения, целевые функции);
2-й этап. Выбор критерия близости, основанный на специфике задачи;
3-й этап. Определение задачи параметров модели, оптимальных с точки зрения выбранного критерия близости.
По В.В.Фёдорову в зависимости от априорной информации различают три уровня информированности экспериментатора (Фёдоров В.В. Теория оптимального эксперимента.– М.: Наука, 1971):
1) Мат. модель известна и требуется уточнить или определить неизвестные параметры модели;
2) Мат. модель совпадает с одной из функций и нужно выбрать одну из них;
3) Вид мат. модели неизвестен, возможна аппроксимация конечным рядом, например, полиномом.
Задача идентификации имеет стохастический характер из-за неучёта вектора случайных возмущений, например, ошибок измерений. Из-за стохастического характера в основу идентификации естественно положить
принцип максимума апостериорной (т.е. после опыта; априорной – т.е. до опыта) вероятности, т.е. метод максимального правдоподобия.
Он позволяет найти состоятельные оценки, распределённые асимптотически нормально и имеющие наименьшую дисперсию по сравнению с другими, также асимптотически нормальными оценками. Отметим, что фраза «распределённые асимптотически нормально» означает: распределенные нормально для выборок с неограниченно возрастающим объёмом. Суть метода максимума правдоподобия заключается в следующем. (на пальцах):
Пусть в результате опыта, т.е. ряда измерений произошло следующее событие, а именно: случайные величины (Y1,Y2,…,Yn) приняли совокупность значений (y1,y2,…,yn). Задача – так подобрать мат. ожидания (х1), (х2),…, (хn), чтобы вероятность этого события была максимальной. Это так называемый принцип максимального правдоподобия. Поэтому метод максимального правдоподобия заключается в решении системы уравнений:
(i=1,2,…k), где i – неизвестный оцениваемый параметр, а L – функция правдоподобия. Функция правдоподобия L для случая выборки объёма n выражается произведением: , где – плотность распределения одномерной генеральной совокупности; 1,…к – неизвестные оцениваемые параметры; xr – значения элементов выборки. Решением являются k корней этой системы уравнений, которые зависят от значений выборки. Фактически функция правдоподобия L обозначает совместную плотность распределения вероятностной выборки, а искомые оценки 1,…к строятся так, что если их подставить в формулу для L, то достигается максимум плотности вероятности выборки . Построение таких оценок достигается приравниванием нулю. Полученные таким образом решения системы уравнений
(i=1,2,…k) и служат оценками параметров 1,…к.
Ввиду отсутствия достаточно надёжной информации о характере связей между ошибками опытных данных, и о законах их распределения, а также из-за сложности вычислений и громоздкости алгоритмов вместо метода максимального правдоподобия применяют метод наименьших квадратов (МНК).
Принципиальное отличие МНК от метода максимального правдоподобия состоит в том, что он не требует знания вида закона распределения ошибок измерений. Оба эти метода получили в практике наибольшее распространение.
Следует отметить, что в случае нормального распределения ошибок, решения с помощью обоих методов совпадают.
Рассмотрим пример использования МНК.
Допустим, что мы имеем дело с (к+1)-мерным пространством переменных х1,…хк,у. По методу наименьших квадратов, в этом пространстве проводится гиперповерхность, сумма квадратов отклонений от которой минимальна. Эта гиперповерхность строго проходит через точки дополнительных условий. Представим для примера, что мы аппроксимируем поверхность крыла, кузова автомобиля по экспериментальным точкам, полученным путём обмера плазовой модели. Эта поверхность должна строго проходить через граничные точки (т.е. точки сопряжения с другими элементами объекта), что и обеспечивается учётом дополнительных условий.
Вычислительный эксперимент.
Если удаётся выразить весь моделируемый процесс в форме математических уравнений и отношений, то их можно исследовать на ЭВМ. Математическое моделирование – это специфический эксперимент на основе полной автоматизации.
Иногда численное решение уравнений мат. модели называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет много общего с натурным экспериментом. Но в отличие от натурного вычислительный эксперимент имеет в своей основе не реальный физический объект, а его мат. модель и реализуется не через измерение определённых величин, а через их вычисление с помощью компьютерных программ.
Вычислительный эксперимент, как и натурный является средством изучения реальных объектов, приводящим к пониманию физики объекта и получению его числовых характеристик. Он является как бы «зеркальным» отображением натурного эксперимента.
Использование ЭВМ и наличие –огромного количества мат. пакетов значительно упрощает использование численных методов. Современное программное обеспечение ЭВМ позволяет реализовывать численные методы интегрирования и дифференцирования,
