ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.04.2024
Просмотров: 29
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Отметим, что ни в одной строке нет повторения знаков!
Третий этап. Коэффициенты уравнения регрессии определяются по следующим формулам [Спиридонов]:
;
.Четвертый этап. Проверка модели на адекватность и проверка значимости коэффициентов регрессии.
Определяем дисперсию функции отклика.
; 
,где
- дисперсия функции отклика;
- дисперсия испытания в одной точке плана;k - число параллельных опытов.
Среднеквадратическое отклонение функции отклика:
.Дисперсия коэффициентов регрессии:
.Доверительный интервал коэффициентов регрессии:
или 
Отметим, что если значение коэффициента больше доверительного интервала, то считается – коэффициент регрессии значим.
Адекватность модели оцениваем по критерию Фишера.
; 
,где Y - разность между значениями Y , вычисленными по модели и полученными в соответствующем опыте;
f = N - (k + 1) - число степеней свободы;
k - число коэффициентов полинома регрессионной зависимости.
Далее необходимо найти табличное значение коэффициента Фишера Ft. Оно определяется по таблице со входами в таблицу, которые представляют собой степени свободы дисперсий функции отклика и адекватности. Если FpFt, то считается, что модель адекватна и полученная Вами формула вполне пригодна для описания исследуемого процесса
, причем выходная характеристика непосредственно связана с влияющими на нее факторами.
Если напротив Fp Ft , то модель не адекватна и то, что нами получено плохо определяет течение процесса. Что делать в этом случае?
Первое. Пересмотреть факторы, включенные в исследование. Может быть что-то упущено.
Второе. Неправильно выбраны интервалы варьирования, их следует изменить. Сделать шире или уже.
Третье. Изменить точность измерения. Здесь мы сталкиваемся с парадоксом. Чем ниже точность измерения в эксперименте, тем адекватнее модель. Действительно, требования к точности модели снижаются, и при низкой точности измерения она быстрее становится адекватной.
Пример построения регрессионной модели
с использованием ПФЭ
Пусть требуется построить регрессионную зависимость:
, (1)где I – туннельный ток СТМ; I0 - некоторое определенное значение туннельного тока; rи – радиус острия иглы, Å; к – угол раствора конуса острия, град. Здесь выполнено нормирование значения туннельного тока, то есть эта величина приведена к безразмерному виду. Это общая рекомендация при поиске вида функции отклика; в дальнейшем удобнее работать с безразмерными величинами.
С помощью зависимости (1) требуется выяснить влияние rи и к на величину туннельного тока в СТМ. Выполняем записанные нами этапы.
1. Нормировка (кодирование факторов) и определение интервалов изменения факторов.
| | Уровни | |
| Параметры | (+1) | (-1) |
| rи , Å | 0,4 | 0,2 |
| к , град | 3 | 1 |
-
План полного факторного эксперимента
| N | rи | к | rик | Iэк | Iр | I |
| 1 | + | + | + | 0,8 | 0,8 | 0 |
| 2 | - | + | - | 0,6 | 0,6 | 0 |
| 3 | + | - | - | 0,5 | 0,5 | 0 |
| 4 | - | - | + | 0,2 | 0,2 | 0 |
| | 0,5 | 0,7 | -0,1 | 2,1 | | |
Общий вид регрессионной модели:
-
Значения коэффициентов регрессии:
b0 = 2,1/4 = 0,525 ; b1 = 0,5/4 = 0,125;
b2 = 0,7/4 = 0,175 ; b12 = - 0,1/4 = - 0,025.
Вид регрессионной зависимости:
.4. Определение дисперсии параметра оптимизации. Для этого проведем 3-и параллельных опыта в нулевой точке: rи = 0,3Å; к = 2.
| n | 1 | 2 | 3 |
 | 0,5 | 0,49 | 0,54 |
5. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение коэффициентов регрессии:
; 
.6. Определим доверительный интервал для оценки значимости коэффициентов регрессии.
По формуле f = n - 1 (n = 3 - число опытов в нулевой точке), находим, что число степеней свободы f = 2. При 5% уровне значимости, найдем, что критерий Стьюдента t = 4,303. Значение доверительного интервала
bi = 2Sbit = 2 0,000957 4,303 = 0,00823.
Сравнивая значение доверительного интервала со значениями коэффициентов регрессии, устанавливаем, что все коэффициенты модели значимы.
Проверим модель на адекватность. Для этого определим значения относительной величины туннельного тока с помощью модели:
1 =0,525 + 0,125(+1) + 0,175(+1) - 0,025(+1) = 0,8; 2 = 0,525 + 0,125(-1) + 0,175(+1) - 0,025(-1) = 0,6; 3 = 0,525 + 0,125(+1) + 0,175(-1) - 0,025(-1) = 0,5;
4 = 0,525 + 0,125(-1) + 0,175(-1) - 0,025(+1) = 0,2.
Поскольку значения относительной величины туннельного тока, полученные экспериментально и с помощью модели совпадают, то без проверки по критерию Фишера можно сказать, что модель адекватна реальному процессу.
Приведенный пример простейший. Рассмотрим более солидный пример. Обычно факторов три. Нужны квадратичные члены.
Для получения мат. модели процесса в виде полинома второй степени может быть реализован некомпозиционный план второго порядка.
Матрица некомпозиционного плана второго порядка для трех факторов
| Номер опыта | Х0 | Х1 | Х2 | Х3 | Y |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 | +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 | + + - - 0 + + - - 0 0 0 0 0 0 | + - + - 0 0 0 0 0 0 + + - - 0 | 0 0 0 0 0 + - + - 0 + - + - 0 | 1,12 0,58 0,95 0,51 1,03 1,20 0,49 1,01 0,42 1,00 1,54 0,61 0,48 0,33 1,05 |
Коэффициенты модели вычислялись по формулам [Спиридонов]:
; 
; 
; 
,где n0- число опытов в центре плана;
u - номер параллельного опыта в центре плана;
Y0u- значение функции отклика;
N - число опытов в матрице планирования;
j - номер опыта в матрице планирования;
i,l - номера факторов;
Xij, Xlj - кодированные значенияi-го и l-го факторов в j-м опыте;
Yj - значение функции отклика вj-м опыте;
k - число факторов;
A, B, C, D, p - константы, зависящие от числа факторов. При трех факторах A= 1/8, B = 1/4, C = - 1/16, D = 1/4, p = 2.
Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численное значение коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор.
Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора выходная величина увеличивается, а если минус, то уменьшается. Значение коэффициента соответствует вкладу данного фактора в размер выходного параметра при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний.
Дисперсии коэффициентов уравнений регрессии найдем по формулам:
; 
; 
; 
; B1 = 13/ 48.ДисперсиюS2Y воспроизводимости эксперимента вычислим по результатам опытов в центре плана
.Доверительные интервалы для определения значимости коэффициентов уравнений регрессии находились по формулам:
.Табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы, равном двум, и 5% уровне значимости t = 4,3. Тогда, соответствующие значения доверительных интервалов:
b0 = 0,062; bi = 0, 038; bil = 0, 054; bii = 0, 056.
Сравнение значений доверительных интервалов со значениями коэффициентов уравнения регрессии (44.6) позволяет перейти к следующему виду регрессионной модели:
