Файл: Математические основы теории систем.pdf

175 с вещественными коэффициентами, при этом степень числителя меньше степени знаменателя. В этом случае можно воспользоваться приёмом, иногда называемым
теоремой разложения. Разберем этот метод.
Пусть полином знаменателя в изображении Лапласа имеет в общем случае корень
1
s кратности r и различные корни
1
,...,
r
n
s
s
+
, т.е.
( )
( )
( )
( )
(
) (
)
(
)
1 1
r
r
n
P s
P s
F s
Q s
s s
s s
s s
+
=
=
−
−
−
Тогда выражение в правой части можно разложить на простые дроби
( )
(
) (
) (
)
(
)
(
)
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
n
r
r
r
r
r
n
r
n
P s
A
A
A
A
A
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
s s
+
+
+
=
+
+ +
+
+ +
−
−
−
−
−
−
−
−
, где
(
)
(
) ( )
(
) ( )
(
)
1 1
1
(
1, 2,..., ),
!
(
1,..., ).
k
r k
r
r k
s s
k
k
s s
d
s s
F s
k
r
r k
ds
A
s s F s
k r
n
−
−
=
=



−
=



 −


= 

−
= +

Обратное преобразование Лапласа от каждого слагаемого при таком разложении определяется как экспонента в соответствующей степени либо как подобная же экспонента, помноженная на
t в целой положи- тельной степени по теореме об умножении на
t.
Пример 3.17.
Найти обратное преобразование Лапласа от функции
( )
(
)
2 2
3 3
2
s
F s
s s
s
+
=
+
+
Представим знаменатель в виде сомножителей и разложим выражение на простые дроби
( )
(
)
(
)(
)
3 1
2 4
2 2
2 2
3 3
1 2
1 2
3 2
A
A
A
A
s
s
F s
s s
s
s
s
s
s
s s
s
+
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
. (3.3.25)
Вычислим коэффициенты разложения
А
1
,
А
2
,
А
3
,
А
4

176
( )
(
)
(
)(
)
(
)
2 2
1 2
2 2
0 0
0 3
2 2
3 3
3 7
3 2
4 3
2
s
s
s
s
s
s
s
d
d
s
A
s F s
ds
ds s
s
s
s
=
=
=
+ + −
+
+
+


=
=
=
= −


+ +


+ +
,
( )
(
)(
)
2 2
0 0
3 3
1 2
2
s
s
s
A
s F s
s
s
=
=
+
=
=
=
+
+
,
(
) ( )
(
)
3 2
1 1
3 1
2 2
s
s
s
A
s
F s
s s
=−
=−
+
=
+
=
=
+
,
(
) ( )
(
)
4 2
2 2
3 1
2 1
4
s
s
s
A
s
F s
s s
=−
=−
+
=
+
=
= −
+
Подставив найденные коэффициенты в выражение (3.3.25), получим
( )
(
)
2 7
3 2
1 4
2 1 4 2
F s
s
s
s
s
= −
+
+
−
+
+
. (3.3.26)
Проверить правильность разложения можно, приведя правую часть формулы (3.3.26) к общему знаменателю и сравнивая полученное выра- жение с исходной функцией.
Осталось перейти к оригиналам каждого слагаемого в правой части выражения (3.33.26)
( )
( )
2 7 3 1
2 1
4 2 4
t
t
f t
t
e
e
t
−
−


= − +
+
−




Умножение на единичную ступенчатую функцию в последнем выра- жении означает, что искомая функция равна нулю при отрицательных моментах времени.
3.3.3. Преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения
Свойства преобразования Лапласа, описанные в предыдущем подраз- деле, позволяют успешно применять преобразование Лапласа для реше- ния линейных стационарных (а в некоторых случаях и нестационарных) дифференциальных уравнений. Возьмём дифференциальное уравнение общего вида (3.1.10)

177 и применим к правой и левой частям этого уравнения преобразование
Лапласа. В результате получим
( )
( )
( )
( )
( ),
A s Y s
M s
B s R s
⋅
−
=
⋅
(3.3.27) где
1 0
1 1
( )
n
n
n
n
A s
a s
a s
a s a
−
−
=
+
+ +
+
, (3.3.28)
-1 0
2 1
( )
,
n
n
n
M s
m s
m s m
−
−
=
+…+
+
(3.3.29)
-1 0
1
-1
( )
,
m
m
m
m
B s
b s
b s
b s b
=
+
+…+
+
(3.3.30) причём
( )
( )
( )
0 0
1 0
1
(
2)
(
3)
2 0
1 2
(
1)
(
2)
1 0
1 1
0 ,
0 0 ,
(0)
(0)
(0),
(0)
(0)
(0) .
n
n
n
n
n
n
n
n
m
a y
m
a y
a y
m
a y
a y
a y
m
a y
a y
a y
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
+
=
+
+…+
=
+
+…+
ɺ
(3.3.31)
Разрешая уравнение
(3.3.27) относительно Y(s)получим
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
н
B s
M s
Y s
R s
W s R s
W s
A s
A s
=
⋅
+
=
+
. (3.3.32)
При нулевых начальных условиях второе слагаемое в правой части формулы (3.3.32), как легко видно из (3.3.29
) и (3.3.31), равно нулю. По- этому строгое определение передаточной функции линейной системы, учитывая формулу (3.3.32), можно сформулировать так:
передаточная
функция системы ( )
W s есть отношение изображений по Лапласу выхо-
да системы ( )
Y s к её входу ( )
R s при нулевых начальных условиях:
( )
( )
( )
( )
( )
Y s
B s
W s
R s
A s
=
=
. (3.3.33)
-1
-1 0
1 0
1
(
) ( ) (
) ( )
n
n
m
m
n
m
a p
a p
a y t
b p
b p
b r t
+
+…+
=
+
+…+

178
Переходя в формуле (3.3.32
) во временну́ю область и применяя тео- рему свёртки, получим
( )
н
0
( )
(
) ( )
t
y t
w t
r
d
w t
=
− τ ⋅ τ τ +
∫
, (3.3.34) где
( )
( )
1
{
}
w t
L W s
−
=
– весовая функция системы, равная обратному пре- образованию Лапласа от передаточной функции, а
( )
( )
1
н н
{
}
w t
L W s
−
=
Таким образом, мы получим общее решение уравнения (3.1.10), со- держащее
n произвольных постоянных, роль которых выполняют значе- ния искомой функции
y(0) и её
1
n − производных в начальный момент времени. Конкретная форма решения будет зависеть от того, каковы бу- дут корни характеристического уравнения (3.2.1)
( ) 0
A s = .
Получение решения
y(t) упрощается во многих частных, но широко распространённых в теории систем случаях, именно тогда, когда изобра- жение по Лапласу входного сигнала
R(s) представляет дробно-рацио- нальную функцию:
( )
( )
( )
N s
R s
P s
=
, (3.3.35) где
N(s) и P(s) – некоторые многочлены s.
В этих случаях нет необходимости использовать интеграл свёртки и записывать решение в форме уравнения (3.3.34). Подставив соотношение
(3.3.35
) в уравнение (3.3.32), получим
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
B s N s
M s
B s N s
M s
Y s
A s P s
A s
D s
A s
⋅
=
⋅
+
=
+
Для перехода в область переменной
t можно воспользоваться любым методом определения обратного преобразования Лапласа, например, тео- ремой разложения.
Пример 3.18.
Решить уравнение

179 2
2 3
2 3
d y
dy
dr
y
r
dt
dt
dt
+
+
=
+
, при
( )
если
0,
0 если
0,
t
t
r t
t
≥

= 
<

и нулевых начальных условиях.
Применим преобразование Лапласа к
дифференциальному уравнению, учитывая, что
{ }
2 1
L t
s
=
(
)
( ) (
)
2 2
1 3
2 3
s
s
Y s
s
s
+
+
=
+
Решим полученное
алгебраическое уравнение относительно Y(s)
( )
(
)
2 2
3 3
2
s
Y s
s s
s
+
=
+
+
Перейдём к оригиналу, используя результат примера 3.3.9
( )
( )
2 7 3 1
2 1
4 2 4
t
t
y t
t
e
e
t
−
−


= − +
+
−




3.3.4. Разложение произвольных функций по элементарным
функциям
Формулы (3.3.6) и (3.3.10) являются частными случаями более общей формулы
( )
( ) ( , )
c
y t
Y
k t
d
=
λ ⋅
λ λ
∫
, (3.3.36) где интегрирование в случае действительной λ ведётся от -∞ до +∞, а в случае комплексной λ – по контуру в комплексной плоскости так, чтобы интеграл (3.3.36) сходился; ( , )
k t λ представляет собой семейство элемен- тарных функций, по которым раскладывается
y(t), а спектральная функ- ция
Y(λ) служит мерой относительного влияния элементарных функций, составляющих
y(t) [10].

180
Для преобразования Фурье
( , )
2
j t
k t
e
λ
λ =
π при
t
−∞ < < +∞ , где λ – действительная переменная, то есть формула
(3.3.6)
представляет собой разложение функции y(t) по гармоническим составляющим.
Для одностороннего преобразования Лапласа
( , )
2
j t
k t
e
j
λ
λ =
π при 0<
t<∞(переменная λ здесь является комплексной).
Чтобы уравнение (3.3.36) было полезным, нужно уметь находить
Y(λ) для произвольной функции
y(t). Поскольку уравнение (3.3.36) линейно, можно полагать, что
Y(λ) найдётся в следующем виде:
1
( )
( )
( , )
Y
y t k
t dt
∞
−
−∞
λ =
λ
∫
, (3.3.37) где функция
1
( , )
k
t
−
λ
известна как обратное преобразование от ( , )
k t λ .
Соотношение между функциями
1
( , )
k
t
−
λ
и ( , )
k t λ можно получить, воспользовавшись свойствами дельта-функции. Действительно, положив в формуле (3.3.37)
(
)
( )
y t
t
= δ − τ , получим
(
)
1 1
( )
( , )
( , ).
Y
t
k
t dt k
∞
−
−
−∞
λ = δ − τ
λ
=
λ τ
∫
Подставляя полученное выражение в формулу (3.3.36), имеем
(
)
1
( , ) ( , )
c
t
k
k t
d
−
δ − τ =
λ τ
λ λ
∫
(3.3.38)
Соотношение (3.3.38) устанавливает связь функций
1
( , )
k
t
−
λ
и ( , )
k t λ .

181
Например, для одностороннего преобразование Лапласа функция
1
( , )
k
t
−
λ
равна
t
e
−λ
при
t>0и нулю при
0
t ≤ (сравни формулу преобразо- вания Лапласа (3.3.9) и формулу (3.3.37)).
Выражение (3.3.37) носит название интегрального преобразования функции
y(t)в общем виде. Задавая конкретные функции
1
( , )
k
t
−
λ
, полу- чаем различные интегральные преобразования.
3.3.5. Преобразование Меллина
Наиболее близким по форме к преобразованию Лапласа является пре- образование Меллина [12]
( )
( )
1 0
s
F s
f t t dt
∞
−
=
⋅
∫
, (3.3.39)
( )
( )
1 2
c j
s
c j
f t
F s t ds
j
+ ∞
−
− ∞
=
π
∫
, (3.3.40) где
s c jw
= +
Это преобразование тесно связано с преобразованиями Фурье и
Лапласа, и теоремы, относящиеся к преобразованию Меллина, могут быть получены из соответствующих теорем, например, для преобразова- ния Лапласа, путём замены переменной.
Например, аналогом теоремы свёртки в теории преобразования Мел- лина является следующая формула
( )
1 0
0
( )
( )
s
t d
F s G s
t dt f
g
∞
∞
−
τ
 
⋅
=
τ
 
τ τ
 
∫
∫
Из последней формулы легко получить аналоги равенства Парсеваля:
(
)
0 1
( )
1
( ) ( )
2
j
j
F s G
s ds
f t g t dt
j
τ+ ∞
∞
τ− ∞
⋅
−
=
π
∫
∫
,
0 1
1
( )
( )
( )
2
j
j
F s G s ds
f t g
dt
j
t
τ+ ∞
∞
τ− ∞
 
⋅
=
 
π
 
∫
∫

182
Преобразование Меллина можно успешно применять к решению определённого класса плоских гармонических задач в секториальной об- ласти, задач теории упругости, при изучении специальных функций, суммировании рядов и вычислений интегралов.
3.3.6. Преобразования Бесселя
Преобразования Бесселя [12] объединяют целый класс преобразова- ний общего вида
( )
0
( )
( )
,
f
f t K t dt
∞
∗
λ =
⋅
λ
∫
где
K(z) – функция Бесселя.
Функции Бесселя относятся к цилиндрическим функциям и задаются формулами:
– функция Бесселя первого рода
ν-го порядка
( )
(
)
2 0
1 2
( )
!
1
k
k
k
x
J x
k
k
ν+
∞
ν
=
 
−
 
 
=
Γ ν + +
∑
, где
0
( )
t
t
e t dt
∞
− ν−
Γ ν =
∫
– гамма функция Эйлера;
– функция Бесселя второго рода
ν-го порядка cos
( )
( )
( )
sin
J x
J
x
Y x
ν
−ν
ν
πν
−
=
πν
К преобразованиям Бесселя относятся преобразование Ханкеля, Вебе- ра, Мейера, Конторовича – Лебедева и ряд других преобразований.
3.3.7. Преобразование Гильберта
Возьмём разложение функции
( )
f t по гармоническим функциям

183
(
)
0
( )
( )cos
( )sin
f t
a
t b
t d
∞
=
ω
ω + ω
ω
ω
∫
, (3.3.41) где
1
( )
( ) cos
a
f t
tdt
∞
−∞
ω =
ω
π
∫
,
1
( )
( )sin
b
f t
tdt
∞
−∞
ω =
ω
π
∫
Положим
(
)
(
)
0 0
1
( )
( ) cos
( )sin sin
( )
g t
b
t a
t d
d
t
f
d
∞
∞
∞
−∞
=
ω
ω − ω
ω
ω =
ω
τ − ω⋅ τ τ
π
∫
∫ ∫
. (3.3.42)
Интеграл в правой части выражения (3.3.42) называется
сопряженным к интегралу Фурье и получается формальной заменой в (3.3.41)
a на b и b на
a
− . Из (3.3.42) имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
1 cos
1 1
( ) lim sin
( )
lim
( )
1 1 cos lim
l
l
l
l
l
t
g t
d
t
f
d
f
d
t
l
f t
f t
d
∞
∞
→∞
→∞
−∞
−∞
∞
→∞
−
τ −
=
ω
τ − ω⋅ τ τ =
τ τ =
π
π
τ −
−
θ
=
+ θ −
− θ
θ




π
θ
∫ ∫
∫
∫
Применяя теорему Римана – Лебега, окончательно получаем
(
)
(
)
0 1
( )
f t
f t
g t
d
∞
+ τ −
− τ
=
τ
π
τ
∫
. (3.3.43)
Аналогично можно получить выражение для
( )
f t
(
)
(
)
0 1
( )
g t
g t
f t
d
∞
+ τ −
− τ
= −
τ
π
τ
∫
(3.3.44)
Формулы (3.3.43) и (3.3.44)
эквивалентны выражениям:
(
)
(
)
0 1
( )
1
( )
V.P.
lim
,
f x t
f x t
f t
g x
dt
dt
t x
t
∞
∞
ε→
−∞
ε
+ −
−
=
=
π
−
π
∫
∫

184
(
)
(
)
0 1
( )
1
( )
V.P.
lim
,
g x t
g x t
g t
f x
dt
dt
t x
t
∞
∞
ε→
−∞
ε
+ −
−
=
= −
π
−
π
∫
∫
где символ V.P. означает главное значение интеграла в смысле Коши.
Две последние формулы и представляют собой пару преобразований
Гильберта.
3.3.8. Преобразование Лагерра
Примером преобразования, переводящего функцию непрерывного времени в функцию дискретного переменного, является преобразование
Лагерра
{
}
( )
( ) ( )
(
)
*
0
( )
,
0,1,2,...
t
n
T f t
f n
f t L t e dt n
∞
−
=
=
⋅
=
∫
,
(3.3.45) где
L
n
(
t)− многочлены Лаггера n-го порядка, определяемые формулой
(
)
( )
!
t
n
n
t
n
n
e d
L t
t e
n dt
−
=
⋅
Обратное преобразование задается в форме бесконечного ряда
( )
( ) ( )
*
0
n
n
f t
f n L t
∞
=
=
⋅
∑
. (3.3.46)
Преобразование Лагерра применяется для решения
дифференциально-
го уравнения Лагерра
0
x nx
+
=
L
L
L
L
,
где
( )
( ) (
) ( )
1
x t
t x t
t x t
′′
′
=
+ −
L
L
L
L
.
Преобразование Лагерра сводит дифференциальную операцию
x
L
L
L
L
к алгебраической по формуле
( )
{
}
( ) (
)
,
0,1,2,...
T
x t
nx n
n
∗
= −
=
L
L
L
L
.