Файл: Математические основы теории систем.pdf

277
( )
[
]
( )
0
Adj
k
k
dD
d
λ=λ
λ −
λ =
λ
λ
E A
Z
, (5.6.25) где
( )
D λ
– характеристический полином
A
С учетом соотношения (5.6.25) формула (5.6.24) примет вид
( )
( )
[
]
( )
1
Adj
k
n
k
k
N
N
dD
d
=
λ=λ
λ −
=
λ
λ
λ
∑
E A
A
. (5.6.26)
При наличии у
A
кратных собственных значений формула (5.6.26) нуждается в модификации. Можно показать, что составляющая
( )
N

278 3. Что такое определитель матрицы?
4. Чем отличается минор от алгебраического дополнения?
5. Назовите виды матриц.
6. Что такое дефект матрицы и как он связан с рангом?
7. Для каких матриц не существует обратных?
8. Что такое след матрицы?
9. Что такое ортогональные векторы?
10. Дайте определение базиса.
11. Что такое сопряженный базис?
12. В чем заключается процедура ортогонализации Грама – Шмидта?
13. Что такое собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы А?
14. Как строится модальная матрица, соответствующая матрице А?
15. Что такое эквивалентные матрицы?
16. Как выглядит преобразование подобия?
17. Любую ли матрицу можно привести к диагональному виду?
18. В чем заключается необходимое и достаточное условие положи- тельной определенности квадратичных форм?
19. Существуют ли дробные степени от матриц?
20. Сформулируйте теорему Кэли – Гамильтона.
21. Для чего можно использовать теорему Кэли – Гамильтона?
22. Какие методы используют для вычисления матричных функций?

279
6. ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
6.1 Уравнения состояния
Альтернативной дифференциальному уравнению
n-го порядка фор- мой описания динамических систем является векторно-матричная форма.
Векторно-матричная форма по сути является записью дифференциально- го уравнения
n-го порядка в нормальной форме Коши с привлечением дополнительных переменных, называемых
переменными состояния.
Определение переменных состояния уже давалось в подразделе 1.3.5, но нелишне вспомнить его ещё раз. Переменные состояния системы – это та- кие переменные, знание значений которых в некоторый начальный момент времени
0
t позволяет определить поведение системы в текущий момент времени
0
t t
> (естественно, если известны входные воздействия системы на интервале
0
( , )
t t ). Если ввести обозначения r(t) – входные переменные,
у(
t) – выходные переменные, x(t) – переменные состояния, то общее мате- матическое описание динамической системы задается уравнениями
( )
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
(
)
0 0
,
,
,
,
t
t
t
t
= δ
τ
= λ
τ
x
x
r
y
x
r
(6.1.1) где δ
δδδи λλλλ являются однозначными функциями, а τ – отрезок оси времени от
0
t до t.
Уравнения (6.1.1) называются
уравнениями состояния. Часто уравне- нием состояния называется первое из уравнений (6.1.1), а второе носит название уравнения выхода.
6.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения
Если динамическая система описывается или может быть описана обыкновенным линейным дифференциальным уравнением
n-го порядка, то переход к нормальной форме Коши дает уравнения состояния такой системы. Переход от дифференциального уравнения к уравнениям состо- яния может быть произведен различными способами в соответствии с различным определением переменных состояния, важно только, чтобы переменные состояния системы подлежали измерению (контролю).

280
Например, перейти от дифференциального уравнения к уравнениям состояния можно следующим образом. Пусть (для простоты) в диффе- ренциальном уравнении отсутствуют производные входного воздействия.
Так же, не снижая общности можно положить коэффициент при старшей производной единице. Тогда дифференциальное уравнение имеет вид
( )
(
)
1 1
n
n
n
y
a y
a y r
−
+
+ +
= . (6.2.1)
Переменные состояния введем следующим образом:
(
)
1 2
1 3
2 1
1
,
,
,
n
n
n
x
y
dy
x
x
y
dt
x
x
y
x
x
y
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
ɺ
ɺ
ɺ
ɺɺ
ɺ
Подставив значения
y и его производных в уравнение (6.2.1), найдем
1 1 2 1
n
n
n
n
n
dx
x
a x a x
a x
r
dt
−
=
= −
−
− −
+
ɺ
.
Полученные уравнения запишем в нормальной форме Коши, то есть первые производные перенесем в левую часть, а все остальное – в пра- вую. В результате получим систему уравнений
1 2
2 3
1 1
1 2 1
1
,
,
,
,
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
a x a x
a x
r
y x
−
−
=
=
=
= −
−
−
+
=
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
(6.2.2)
Уравнения состояния (6.2.2) удобнее записать в матричной форме

281
,
,
r
y
•
=
+
=
x Ax B
Cx
(6.2.3) где матрицы , ,
A B C имеют вид
[
]
1 1
0 1
0 0
0 0
0 0
,
,
1 0 ... 0 .
1
n
n
a
a
a
−


 


 


 
=
=
=


 


 
−
−
−
 


A
B
C
(6.2.4)
Уравнения состояния (6.2.3) с матрицами вида (6.2.4) носят название
стандартной формы (у некоторых авторов можно встретить название
каноническая форма фазовой переменной). Матрица А вида (6.2.4) назы- вается
матрицей Фробениуса.
Уравнения (6.2.3) естественным образом обобщаются на случай мно- гомерной системы, имеющей
m входов и р выходов. Тогда в общем виде
r и у являются векторами и, кроме того, выход может напрямую зависеть от входа. С учетом этого общий вид уравнений состояния будет такой
( )
( )
( )
( )
,
,
t
t r
t
t
•
=
+
=
+
x A
x B
y C
x D
r
(6.2.5) где
( ), ( ), ( ) и ( )
t
t
t
t
A
B
C
D
– матрицы соответствующих размерностей с изменяющимися в общем случае во времени элементами.
Блок-схема системы, соответствующая уравнениям (6.2.5), приведена на рис. 6.1.
Рис. 6.1. Блок-схема уравнений состояния.
y
x
•
x
r
D(
t)
B(
t)
C(
t)
A(
t)
∫

282
Для системы с постоянными параметрами матрицы
( ), ( ), ( ),
t
t
t
A
B
C
D(
t) от времени не зависят и могут записываться просто как , , ,
A B C D . В случае стационарных систем уравнения состояния записываются, таким образом, как
,
r
•
=
+
=
+
x Ax B
y Cx Dr
(6.2.6)
6.3 Каноническая форма
При исследовании систем, описываемых уравнениями состояния, ча- сто является удобным такой выбор переменных состояния, чтобы разно- именные компоненты вектора состояния не зависели друг от друга.
Возьмем уравнения состояния (6.2.6), где, в общем случае, матрица
A
– произвольная квадратная матрица с различными собственными значе- ниями. Произведем линейное преобразование
=
x Mq , где M – модаль- ная матрица. Тогда уравнения (6.2.6) запишутся в виде
,
r
•
=
+
=
+
M q AMq B
y CMq Dr
(6.3.1)
Умножив первое из уравнений (6.3.1) на
1
−
M , получим
1 1
r
•
−
−
=
+
q M AMq M B
Так как матрица
M является модальной матрицей, преобразование подобия
1
−
M AM дает диагональную матрицу Λ с собственными числа- ми
1 2
, ,...,
n
λ λ
λ по диагонали. Окончательно имеем
,
,
n
n
n
r
•
=
+
=
+
q Λq B
y C q D r
(6.3.2) где
1 1
,
,
,
n
n
n
−
−
=
=
=
=
Λ M AM B
M B C
CM D
D .

283
Уравнения (6.3.2) носят название
нормальной или канонической фор- мы уравнений состояния. При этом дифференциальные уравнения развя- заны относительно переменных состояния
1 2
, ,...,
n
q q
q и имеют вид
i
i
i
i
q
q
f
•
= λ
+ , где
i
f – вынуждающая функция, воздействующая на i-ю переменную состояния.
Можно показать, что, если уравнения (6.2.6) представлены в стан- дартной форме (т.е. матрица
A является матрицей Фробениуса), то мо- дальная матрица
M
имеет вид
1 2
2 2
2 1
2 1
1 1
1 2
1 1
1
n
n
n
n
n
n
−
−
−




λ
λ
λ




= λ
λ
λ






λ
λ
λ


M
(6.3.3)
Матрица вида (6.3.3) называется
матрицей Вандермонда.
При наличии у
A
кратных собственных значений и в случае, когда дефект характеристической матрицы
[
]
i
λ −
E A меньше кратности корня
i
λ , диагональная матрица
Λ
в уравнении (6.3.2) заменяется недиаго- нальной матрицей Жордана.
6.4 Обыкновенные уравнения стационарных систем
6.4.1. Переходная матрица и методы ее вычисления
Однородное уравнение для линейной стационарной системы имеет вид
,
•
=
x Ax (6.4.1) где
A
– квадратная размерностью
n матрица с постоянными коэффици- ентами,
х – вектор-столбец переменных состояния. Аналогично скаляр- ному случаю, общее решение уравнения (6.4.1) ищется в виде
( )
(
)
( )
0
о
0
t t
t
e
t
−
=
A
x
x
,
(6.4.2)

284 где матрица
(
)
0
t t
e
−
A
определяется уравнением (5.6.6), а вектор
0
( )
t
x
зада- ет начальные условия.
Подставив выражение (6.4.2) в уравнение (6.4.1) и выполнив диффе- ренцирование по всем правилам, удостоверимся, что оно (выражение
(6.4.2)) действительно является решением однородного дифференциаль- ного уравнения. Подставив в формулу (6.4.2)
0
t t
= , можно убедиться, что начальные условия удовлетворяются, поскольку
(
)
0 0
t t
t t
e
−
=
=
A
E .
Матрица
(
)
(
)
0 0
t t
t t
e
−
−
=
A
Φ
, удовлетворяющая однородному диффе- ренциальному векторно-матричному уравнению (6.4.1), называется
пере-
ходной матрицей или фундаментальной матрицей. Термином «фунда- ментальная матрица» чаще пользуются математики, связанные с матрич- ными дифференциальными уравнениями, а словосочетание «переходная матрица состояния» встречается в теории управления и теории систем.
Прилагательное «переходная» обусловлено тем, что с помощью матрицы
0
)
t t
−
Φ(
осуществляется «переход» системы от некоторого начального состояния
0
( )
t
x
к текущему состоянию ( )
t
x
. Часто для простоты началь- ный отсчет времени полагают равным нулю
0 0
t = .
Для вычисления переходной матрицы
)
t
Φ( могут применяться не- сколько методов. Из уже рассмотренных методов сюда относятся мето- ды, основанные на
теореме Кэли – Гамильтона и теореме разложения
Сильвестра (см. примеры 5.9 и 5.10).
К другим методам относятся метод разложения в степенной ряд и ме- тод, основанный на преобразовании Лапласа.
Метод разложения в степенной ряд. Согласно уравнению (5.6.6) пе- реходную матрицу
)
t
Φ( можно представить бесконечным рядом
( )
2 2 3 3 2!
3!
t
t
t
t
= +
+
+
+
A
A
Φ
E A
. (6.4.3)
Вычисление ряда (6.4.3) – задача трудоемкая, особенно если ряд схо- дится медленно, а порядок матрицы
)
t
Φ( недостаточно низкий. Степени матрицы
k
A могут быть найдены с использованием теоремы Кэли – Га- мильтона. После выполнения суммирования необходимо найти в замкну- том виде все элементы матрицы
)
t
Φ( . Количество членов при вычисле- нии ряда (6.4.3) определяется скоростью сходимости: ограничиваются