Файл: Математические основы теории систем.pdf

24
целое. Графическое изображение такой модели, объединяющей и модель
«черного ящика» и модель состава и модель структуры, называется
структурной схемой системы.
На структурной схеме указаны все элементы, все связи между элемен- тами и связи определенных элементов с окружающей средой (входы и выходы системы). Все структурные схемы имеют нечто общее и, если абстрагироваться от содержательной стороны структурных схем, в ре- зультате получим элементы и связи между ними, а также (если это необ- ходимо) пометки для различения элементов и (или) связей. Это есть не что иное, как ориентированный (возможно, взвешенный) граф, и эффек- тивное изучение структурных схем осуществляется с помощью
теории
графов.
Для ряда исследований одной структурной информации, содержащей- ся в графе, оказывается недостаточно, и тогда методы теории графов ста- новятся вспомогательными, а главным является рассмотрение конкрет- ных функциональных связей между входными, внутренними и выходны- ми переменными систем.
1.3.4. Динамические модели системы
Все рассмотренные выше модели отображали систему в некоторый фиксированный момент времени, были как бы застывшими снимками системы. В этом смысле их можно назвать
статическими, подчеркивая их неподвижный, застывший, неизменный характер. Следующий шаг – это понять и описать, как система работает, что происходит с ней самой и с окружающей средой во времени, в ходе реализации поставленной цели.
И подход, и описание, и степень подробности этого описания могут быть различными, но общее у всех этих моделей – это то, что они должны от- ражать поведение систем, описывать происходящее во времени измене- ния, последовательности этапов, операций, действий.
Системы, в которых происходят изменения со временем, называются
динамическими, а соответствующие модели, отображающие это измене- ние –
динамическими моделями.
Для разных систем и объектов разработано большое число динамиче- ских моделей, описывающих процессы с разной степенью подробности: от общего понятия динамики, движения вообще – до математических моделей конкретных процессов. Развитие моделей при этом происходит примерно также: от «чёрного ящика» к структурной схеме.
Уже на уровне «черного ящика» различают два типа динамики систем
– это
функционирование и развитие. Под функционированием понимают

25 процессы, которые происходят в системе (и среде), стабильно реализую- щей фиксированную цель. Развитием называют то, что происходит с си- стемой при изменении ее целей, когда существующая структура переста- ет удовлетворять новую цель. Не следует считать, что система только либо функционирует, либо развивается. Могут быть разные соотношения между ее подсистемами.
На следующих уровнях динамических моделей происходит уточне- ние, конкретизация происходящих процессов, различаются части, этапы процесса, рассматриваются их взаимодействия. Т. е. типы динамических моделей те же, что и статических, только элементы этих моделей имеют временно́й характер.
Динамический вариант «чёрного ящика» – это начальное состояние системы (вход «чёрного ящика») и конечное (выход). Модель состава – перечень этапов. Структурная схема (или «белый ящик») – подробное описание происходящего или планируемого процесса.
Те же типы моделей прослеживаются и при более глубокой формали- зации динамических моделей. Например, при математическом моделиро- вании некоторого процесса его конкретная реализация описывается в виде соответствия между элементами множества
Х возможных значений
х∈Х и элементами упорядоченного множества Т моментов времени t∈Т, то есть в виде отображения
Т→Х. С помощью этих понятий можно стро- ить математические модели систем.
Если рассматривать выход системы
y(t) (в общем случае вектор) как ее реакцию на управляемые
U(t) и неуправляемые V(t) входы х(t)∈{U(t),
V(t)}, то можно модель «черного ящика» изобразить как совокупность двух процессов:
Х
Т
={
х(t)}и Y
T
={
y(t)}, t∈T (рис. 1.3).
Даже если считать
y(t) результатом некоторого преобразования Φ процесса
x(t): y(t)=Φ(x(t)), то модель «чёрного ящика» предполагает, что это преобразование неизвестно. В случае перехода к «белому ящику» это соответствие между входом и выходом можно описать тем или иным способом. Какой именно применить способ зависит от того, что нам из- вестно о системе и в какой форме эти знания можно использовать.
Рис. 1.3. Динамическая модель «черногоящика»
V(t)
U(t
)
y(t)
x(t
)

26
1.3.5. Общая математическая модель динамической системы
Сложность построения моделей заключается в том, что в общем слу- чае выход системы определяется не только значением входа в данный момент, но и предыдущими значениями входа. Кроме того, в самой си- стеме с течением времени как под действием входных процессов, так и независимо от них могут происходить изменения. Все это требует отра- жения в модели. В наиболее общей модели это обеспечивается введением понятия
состояние системы, как некоторой внутренней характеристики системы.
Входные величины в качестве причины определяют изменения во времени всех переменных системы и, в частности, всех выходных вели- чин. Значения этих величин в определенный, заданный момент времени
t в общем случае зависит от изменений во времени входных величин на интервале (
, ]
t
−∞
, то есть значение выхода определяется, как правило, всей предысторией изменения входа. В случае, если предшествующая данному моменту эволюция входных величин известна не полностью, а только, скажем, на интервале
0 0
[ , ](
)
t t t
t
< , предшествующем моменту времени
t, то может оказаться, что в общем случае этой информации бу- дет недостаточно для определения внутренних переменных системы и выходных величин в текущий момент времени. Однако в том случае, ко- гда имеется дополнительная информация о значениях определенных пе- ременных системы в момент времени
t
0
, значения выхода снова могут быть определены полностью, так же как и значения всех внутренних пе- ременных. Таким образом, отсутствие информации о динамике входных величин на интервале
0
(
, )
t
−∞
можно скомпенсировать тем, что известны значения некоторых переменных системы в момент времени
t
0.
Такие пе- ременные называются
переменными состояния системы.
Если обозначить переменные состояния через
q(t) (в общем случае это вектор размерностью
n), входные переменные через x(t) (размерность вектора
x(t), т.е. число входов – m), а выходные переменные через y(t)
(вектор размерностью
k) (рис. 1.4), то соответствующие отображения можно записать как
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0 0
,
;
,
t
t
t
t


τ →




τ →


q
x
q
q
x
y
(1.3.1)

27 или, в другой форме,
( )
( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
(
)
0 0
,
;
,
t
t
t
t
=
τ
=
τ
q
δ q
x
y
λ q
x
(1.3.2)
В данной записи следует под обозначением τ понимать не точку на оси времени, а весь интервал от
t
0
до
t.
Отображение δ
δδδ часто называют переходным, а отображение λλλλ – отоб- ражением выхода.
Естественно, что векторная запись уравнений (1.3.2) предполагает, что δ
δδδ и λλλλтакже векторы.
Для каждого фиксированного τ значение вектора q(τ) задает состоя- ние динамической системы в момент времени τ. Множество
n
Q всех векторов q образует алфавит состояний динамической системы или
про-
странство состояний. Таким образом, q(τ) можно трактовать как точку в пространстве состояний.
Пример 1.1.
Рассмотрим электрическую цепь (четырехполюсник)
(рис. 1.5).
Пять существующих в этой цепи физических величин (четыре напря- жения
u
1
,
u
2
,
u
R
,
u
L
и ток
i) связаны согласно законам Ома и Кирхгофа, соотношениями
1 2
,
,
,
R
L
R
L
L
u
u
u
u
R i
u
u
di
u
L
dt
=
+
= ⋅
=
= ⋅
(1.3.3)
q
1
q = q
2
. . .
q
n
y
1
y
2
y
k
k
x
1
x
2
x
m
m
…
…..
Рис. 1.4. Математическая модель динамическойсистемы

28
Предполагается, что индуктивность
L и сопротивление R не зависят от тока, напряжения и времени, т. е. постоянны.
С учетом электротехнических применений данной цепи эти пять фи- зических величин (переменных системы) можно разделить на:
− заданную величину u
1
(причина, вход, входное воздействие);
− величину, предназначенную для некоторых целей u
2
(следствие, вы- ход, выходное воздействие);
− величины, участвующие в преобразовании входного воздействия u
1
в выходное воздействие
u
2
: промежуточные величины
u
R
,
u
L
,
i (внутрен- ние переменные системы).
Решение уравнений (1.3.3) относительно, например, тока
i и выхода u
2
для
0 0
t t
≥ = будет равно
1 0
2 1
( )
(0)
( )
,
( )
t
R
R
t
L
L
i t
i
u
e d
e
L
di
u t
L
dt
τ
−


=
+
τ
τ ⋅




=
∫
(1.3.4)
Если входная величина
1
( )
u τ непрерывна на интервале
[ ]
0,
t
I
= , то переменная системы
( )
i t для каждого момента времени
t I
∈ однознач- но определяется по значению тока в момент времени
0
t = и по входной величине
1
( )
u τ на интервале 0
t
≤ τ < . Причем, это происходит независи- мо от того, принимали различные входные величины или другие пере- менные системы значения, отличные от нуля при
0
t < , или нет. Таким
Рис. 1.5. Пример динамической системы (электрический четырехполюсник)
u
R
R
L
u
1
u
2
i
u
L

29 образом, воздействие, оказываемое
1
( )
u t на систему до момента времени
0
t = , например, на изменение
( )
при
0
i t
t < , можно учесть только в од- ном значении тока в момент времени
0
t = . Это же самое относится и к выходной величине
2
( )
u t . Приведенные рассуждения позволяют уравне- ния (1.3.4) записать в символической форме аналогично соотношениям
(1.3.1):
[
]
[
]
1 1
2
(0), ( )
( ),
(0), ( )
( ),
(0
).
i
u
i t
i
u
u t
t
τ →
τ →
≤ τ <
Из последних соотношений следует, что ток
i является переменной состояния системы, изображенной на рис. 1.5.
Исходя из основных уравнений динамической системы (1.3.2), можно установить, что для всестороннего описания системы должны быть зада- ны три основных множества: а) множество
X значений входных величин

30
( )
0 0
0 0
0
:
,
,
,
( , ),
1, 2,..., .
t
t
t
t
x
T
X T
T
T T
R T
t t
m
ν
τ
→
= ∩
⊂
−
ν =
Здесь вектор
( )
n
X
τ ∈
x
. Если через
{
}
0
m
t
T
X
=
→
X
обозначить множество всех отображений всех множеств
0
t
T в декартово произведе- ние
m
X (или в некоторое подмножество этого множества), то соотноше- ния (1.3.2.) можно записать как отображения вида
:
;
:
n
n
n
k
Q
Q
Q
Y
δ
×
→
λ
×
→
X
X
(1.3.5)
Конкретизируя множества
, и
Y Q
X
, приходим к математическим моделям различных систем. Если эти множества
конечны, то такая систе- ма будет называться
конечным автоматом, и для ее исследования разра- ботана соответствующая теория конечных автоматов. Это довольно про- стой класс систем в том смысле, что для исследования конечных автома- тов необходимы лишь методы логики, алгебры и теории множеств. И в то же время это достаточно важный и широкий класс систем, так как в него входят все дискретные (цифровые) измерительные, управляющие и вы- числительные устройства.
Если
,
и
k
n
Y
Q
X
являются метрическими или в более общем случае топологическими пространствами [6], а отображения и
λ δ непрерывны в этих пространствах, то мы переходим к так называемым
гладким систе- мам. Для такого класса систем характерно, что переходное отображение δ
является общим решением векторно-матричного уравнения: f( , , ),
d
t
t R
dt
=
∈
q
q x
. (1.3.6)
Если же в уравнении (1.3.6) время
t является элементом счетного множества, т.е. течет дискретно, шагами или квантами (это будет в слу- чае, если
0 0
T
N
⊆
, где
N
0
– множество натуральных чисел), то от выраже- ния (1.3.6) приходим к разностному уравнению:
( )
(
)
1 0
(
) f
,
,
,
k
k
k
t
t
t
k N
+
=
∈
q
q
x
, (1.3.7) являющемуся описанием дискретных во времени систем.

31
Если отображение λ не зависит явно от времени и отображение δ
инва- риантно (неизменно) к сдвигу во времени, то получаем описание
стацио-
нарных систем. У таких систем их свойства со временем не меняются.
Особо нужно остановиться на таком свойстве реальных систем, как принцип причинности. Этот принцип означает, что отклик (выход) си- стемы на некоторые воздействия не может появиться раньше самого воз- действия. Это условие не всегда выполняется в рамках математических моделей систем, и одна из проблем теории таких систем состоит как раз в выяснении условий физической реализуемости теоретических моделей.
Следует также отметить, что в основных уравнениях (1.3.1) – (1.3.2) всегда предполагается, что
0
t t
> . Физически это означает, что из состоя- ния системы в данный момент времени q(
t
0
) можно сделать заключение о поведении системы только в
последующие моменты времени. Таким об- разом, не предполагается, что по заданным значениям q(
t
0
)
и
( )
τ
x
можно также определить и q(
t) при
0 0
(
)
t t t
t
<
< τ ≤
. Иными словами, если из- вестно конечное состояние q(
t
0
) и входное воздействие
( )
τ
x
на предше- ствующем интервале времени
0
τ
t
t
< ≤
,
то восстановить первоначальное состояние q(
t) не всегда представляется возможным. Эти же рассуждения справедливы и для y(
t). Это означает, что будущее поведение некоторой динамической системы зависит от всей ее предшествующей эволюции только в той мере, насколько эта предыстория влияет на начальное со- стояние. То есть динамические системы по определению не обязательно являются обратимыми (во времени)
[6]
1.3.6. Классификация систем
Когда мы сравниваем системы, начинаем их различать, мы тем самым вводим некоторую классификацию.
Основания классификации, т.е. свой- ства систем, по которым мы их различаем, могут быть самыми различны- ми. Необходимо только помнить, что всякая классификация – это модель реальности и, как любая модель, конечна, упрощённа, приближенна и условна. Разграничение внутри класса приводит к подклассам и, в конце концов, получается многоуровневая, иерархическая классификация. Важ- ным моментом является полнота классификации. Когда нет уверенности в полноте классификации, имеет смысл вводить класс «все остальное».
Системы можно разделить на искусственные (т.е. созданные челове- ком), естественные и смешанные. К искусственным системам относятся механизмы, орудия, машины, роботы и т.д. В естественных системах