Файл: Краткое содержание 1 Введение. Основные определения и понятия.pdf

15 параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией параметров оптимизации. В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции.
Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. В качестве критерия оптимальности чаще всего бывает требование достижения наибольшего или наименьшего значения одной и несколькими целевыми функциями. Следует отметить, что во многих случаях выбор критерия оптимизации не является очевидным и однозначным. Часто бывает трудно поставить в соответствие всей совокупности целей функционирования системы какой-либо один критерий. Выход из этого положения определяется в каждом конкретном случае. Например, из многих критериев, характеризующих различные цели оптимизации, выбирают один, считая его основным, а остальные – второстепенным. Далее второстепенные критерии либо не учитываются, либо учитываются частично с помощью дополнительных ограничений на управляемые переменные. Эти ограничения обеспечивают изменение второстепенных критериев в заданных диапазонах приемлемых значений. Другой путь состоит в формулировке комплексного критерия, т.е. целевой функции, включающей с разумно выбранными весовыми коэффициентами целевые функции, соответствующие различным целям.
Математическая модель, даже адекватная реальному объекту и достаточно полно отражающая его свойства, может оказаться бесполезной для практического использования, если отсутствует необходимая информация о величинах, параметрах, переменных, входящих в эту модель. Таким образом, в процессе построения математической модели объекта оптимизации необходимо следить за тем, чтобы значения всех входящих в нее величин могли быть измерены. Возможно, что для определения некоторых из них потребуются самостоятельное исследование или сбор дополнительной информации. При математической формулировке задачи оптимизации целевую функцию выбирают с таким знаком, чтобы решение задачи соответствовало поиску минимума этой функции, поэтому формулировка общей задачи оптимизации записывается как
f (x) → min, x
∈ Ω, где f (x)– целевая функция, Ω
∈ R
n
– множество возможных альтернатив, рассматриваемых при поиске решения задачи.
Любую точку x
∈ Ω называют допустимым решением задачи математического программирования, а само множество – допустимым множеством. Точку x
∈ Ω , в которой целевая функция достигает своего наименьшего значения, называют оптимальным решением задачи. При отсутствии ограничений, накладывающихся на переменные, оптимизацию называют безусловной. При наличии ограничений – условная оптимизация. Если допустимое множество должно удовлетворять некоторым ограничениям, то множество допустимых решений сужается. Всю совокупность методов оптимизации можно разделить на два основных класса: теоретические и экспериментальные. Теоретические методы применяются в ситуациях, когда задача полностью определена с математической точки зрения и по своему характеру допускает применение одного из известных аналитических методов оптимизации
(дифференциального или вариативного исчисления, линейного, целочисленного или динамического программирования и др.). Такие методы называют также аналитическими.
Экспериментальные методы используются в условиях, когда функция отклика y(x) неизвестна и имеется возможность измерить значения y при различных комбинациях величин факторов x
1
, x
2
, …, xk.
При поиске экстремума движение в пространстве управляемых параметров осуществляется шагами. От величины шага зависят многие параметры поиска: потери на поиск, точность нахождения точки экстремума, надежность поиска. Разработаны методы выбора оптимального шага поиска.

16
В зависимости от количества управляемых параметров различают методы одномерного и многомерного поиска. К одномерному поиску относятся метод последовательной дихотомии, метод поиска Фибоначчи, метод золотого сечения, метод перебора, метод деления пополам, метод хорд и пр. Методы многомерного поиска делятся на
2 группы: градиентные и неградиентные. Также методы оптимизации делят на методы нулевого, первого и второго порядков (рис. 3).
Рис. 1. Методы безусловной оптимизации
В методах нулевого порядка информация о производных не используется. Поиск экстремума осуществляется только на основе вычисления значений целевой функции. Такие методы называют методами прямого поиска.
Методы первого порядка являются градиентными методами. В градиентных методах используются значения целевой функции и ее первых частных производных по управляемым параметрам.
В методах второго порядка для поиска экстремума используются значения целевой функции, ее первых и вторых частных производных.
Вопросы для самоконтроля
1 Перечислите основные этапы процесса построения математической модели.
2 Дайте определения концептуальной и математической постановкам задачи.
3 С какой целью применяется проверка адекватности модели?
4 Какие подходы к построению математической модели вам известны? В чем они заключаются?
5 Перечислите основные этапы цикла вычислительного эксперимента.
6 Что составляет основу вычислительного эксперимента?

17 7 В чем отличие и сходство лабораторного и вычислительного эксперимента?
Литература
1 Кабаков З. К., Пахолкова М. А. Технология математического моделирования металлургических процессов: Курс лекций [Электронный ресурс]. Череповец, ЧГУ, 2012.
133 с.
https://edu.chsu.ru/portal/site/95e4a28d-f652-4a26-9029-87b1982a4cc7/page/19d347de-
9987-4dfe-8f4c-4b092bb19d3d

18 технологический процесс и др., на который направлено воздействие исследователя для получения интересующей информации.
Рис. 1. Представление объекта исследования в виде "черного ящика"
При планировании эксперимента к объекту исследования предъявляют следующие требования.
1. Объект исследования должен удовлетворять требованию воспроизводимости. При многократном повторении опыта его результат имеет разброс значений, который характеризует воспроизводимость результата. Объект исследования удовлетворяет требованию воспроизводимости, если многократно повторенные опыты дают результаты с разбросом значений, не превышающим некоторой заданной величины.
Фактор – это независимая переменная величина, подаваемая на вход объекта исследования и влияющая на его состояние, поведение, а также результат эксперимента.
При рассмотрении "черного ящика" различают управляемые и неуправляемые факторы.
Фактор называется управляемым, если исследователь имеет возможность задавать и поддерживать требуемое численное значение данного фактора в течение времени проведения отдельного опыта. Так, управляемыми являются многие режимные факторы технологических процессов, например, скорость подачи режущего инструмента, величина припуска на механическую обработку, скорость резания и др. Такие факторы, как пластическая деформация обрабатываемого материала, характеристики износа металлорежущего оборудования, являются неуправляемыми.
2. Объект исследования должен быть управляемым. На реальный объект действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Последние влияют на воспроизводимость результатов эксперимента и могут служить причиной ее нарушения. Если требование воспроизводимости удовлетворяется, выявляют возможность проведения активного эксперимента, предусматривающего активное вмешательство в исследуемый процесс и выбирают для каждого опыта управляемые факторы на тех уровнях, которые представляют интерес для исследования. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называют управляемым.
Факторы могут быть количественными и качественными. Количественные факторы можно оценивать количественно, т.е. измерять, взвешивать и т.д. При этом любое значение количественного фактора исчерпывающе и однозначно характеризуется некоторым единственным числом.
Примерами количественных факторов являются температура, давление, плотность, скорость, влажность и др. В отличие от количественных факторов, различные значения качественных факторов не могут выражаться количественно. Примерами качественных факторов являются микроструктура металла после механической обработки, прижоги в обработанном поверхностном слое детали, фазовые превращения и т.д.

19
Варьируемые факторыX
1
,X
2
,...,X
k
– это те воздействия на объект исследования, влияние которых изучается в данном эксперименте см. (рис. 1). Каждый фактор принимает в эксперименте несколько численных значений. Эти значения называют уровнями фактора.
Областью значений фактораназывают совокупность значений данного фактора, которые он принимает в эксперименте. Следующее определение применимо только для количественных факторов.
Диапазон варьирования фактора – это наименьший отрезок, внутри которого находятся все значения, принимаемые данным фактором в эксперименте. Пусть, например, глубина резания принимает в эксперименте значения 0,5; 1,5; 2,5 мм. Тогда совокупность приведенных чисел образует область значений данного фактора, а диапазоном его варьирования является отрезок 0,5...2,5 мм.
Среди неуправляемых факторов одни – Z
1
,Z
2
,...,Z
n
, – могут контролироваться в процессе постановки опытов без их целенаправленного изменения и поэтому называются контролируемыми, другие – W
1
,W
2
,...,W
p
– из-за недостаточной о них информации являются неконтролируемыми и относятся к возмущающим
воздействиям (шумам). К контролируемым факторам относят, например, температуру окружающей среды, если она измеряется в ходе проведения эксперимента.
Выходной величиной объекта, или откликом, называется наблюдаемая случайная переменная, зависящая от факторов. Выходные величины Y
1
,У
2
,...,Y
m
– это те параметры, по которым судят об изменении состояния объекта. Некоторые из них могут быть приняты в качестве критериев оптимизации. Зависимость вида (1) называют функцией отклика, а координатное пространство с координатами X
1
,X
2
,...,X
k
– факторным пространством.
Геометрический образ, соответствующий функции отклика, называют поверхностью
отклика.Эксперимент, в котором уровни факторов в каждом опыте задаются исследователем в соответствии с определенным планом, называется активным.
Требования к факторам, предлагаемые методологией МПЭ:
 управляемость фактора, т.е. возможность в течение опыта устанавливать величину фактора и поддерживать ее на выбранном уровне или менять по заданной исследователем программе;
 независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимостей от уровней других факторов;
 совместимость факторов, т.е. необходимость возможности и безопасности их комбинаций.
Что же касается неуправляемых и неучтенных факторов, то основная задача состоит в исключении их влияния. С этой целью используются специальные приемы рандомизации, сводящиеся к случайной очередности проведения опытов в плане эксперимента.
Используется также разбиение многофакторного эксперимента на блоки.
В технических объектах выходные параметры связаны с эффективностью работы системы. В таких случаях выбирается основной параметр (целевая функция), которая является основной оценкой эффективности работы системы. А остальные параметры должны удовлетворять определенным требованиям. При исследовании математических моделей выходные параметры отражают свойства моделируемой системы.
Математическая модель, построенная на основе проведения активного, спланированного эксперимента становится средством или "инструментом" для исследования изучаемой системы. В случае же пассивного эксперимента, такая модель обычно просто аппроксимирует экспериментальные данные. Она может и прогнозировать реакцию системы, но при условии проведения большого количества опытов по сравнению с активным экспериментом, поэтому использовать такую модель, как средство для исследования и оптимизации влияния воздействующих факторов нерационально, т.к. она может дать значительную ошибку.
Выбор оптимального плана и задание уровней факторов. Планирование эксперимента при уже выбранных факторах включает в себя две основные процедуры: