Файл: Краткое содержание 1 Введение. Основные определения и понятия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.05.2024
Просмотров: 64
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Раздел 4. Моделирование на основе конечно-элементного анализа
Основные положения метода конечных элементов. Основная идея метода конечных элементов (МКЭ) состоит в том, что определяемую в рассматриваемой области кусочно-непрерывную функцию (например, поле перемещений или напряжений, как это имеет место в нашем случае) аппроксимируют в пространстве кусочно-непрерывных функций на компактном носителе. Построение такой аппроксимации выполняется следующим образом:
В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узлами.
Значение искомой функции в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.
Область определения искомой функции разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.
Искомая функция аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой функции. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность аппроксимирующей функции вдоль границ элемента (этот полином в МКЭ носит название функции формы элемента).
При построении такой аппроксимации для искомой функции, определенной в трёхмерной области, элементы описываются функциями 3-х переменных (x, y, z), а в двухмерной области (плоская задача) функциями 2-х переменных (x, y).
В большинстве современных комплексов реализован метод конечных элементов в перемещениях.
Рассмотрим общий случай из области расчета силовых конструкций, когда на произвольное упругое тело действует система из n сил (рис. 1), которую представим матрицей-вектором:
27
n
i
F
F
F
F
2 1
F
(1)
Перемещения точек приложения сил в направлении этих сил образуют вектор
Рис. 1. Внешние нагрузки, действующие на упругое тело
n
i
U
U
U
U
2 1
U
(2)
Если в некоторых из рассмотренных точек тело закреплено, то соответствующие элементы матрицы перемещений будут нулевыми. Произведение вектора сил на вектор перемещений имеет смысл внешней энергии или работы. Если ввести допущение, что соотношение между U и F является линейным и однородным, то соотношение между ними выражается следующим уравнением:
F=KU.
(3)
Когда упругое тело будет разделено сетью линий на совокупность конечных элементов, а нагрузки приложены в узлах, то в матричном виде соотношение (1.3) можно записать следующим образом:
n
nn
n
n
n
n
n
U
U
U
k
k
k
k
k
k
k
k
k
F
F
F
2 1
2 1
2 22 21 1
12 11 2
1
.
(4)
Квадратная матрица K, связывающая силы Fс перемещениями U, называется матрицей
жесткости конструкции (рассматриваемого тела), а уравнения называются основным
соотношением метода конечных элементов.
28
Часто матрицу К,для универсальности, называют матрицей жесткости, даже в случае использования МКЭ для немеханических приложений в различных дисциплинах. Матрица жесткости всегда получается симметричной и положительно определенной.
Для этого используются обычные и криволинейные элементы с квадратичными или линейными аппроксимирующими функциями.
Вектор узловых сил {F} формируется из реально заданных сосредоточенных нагрузок или сведением к узловым значениям объёмных или распределённых по контуру или по площади нагрузок.
Для аппроксимации расчётной области используются перемещения u, v, w вектора перемещений {U}, которые представляются с помощью интерполяционных функций
i
h
в виде:
1 1
1
q
i
i
i
q
i
i
i
q
i
i
i
u
h u
v
h v
w
h w
,
(5) где u, v, w перемещения любой точки элемента в локальной (естественной) системе координат, u
i
, v
i
, w
i
, i=1, ..., q соответствующие смещения его узлов, а q количество узлов элемента. Следовательно, предполагается, что каждой координате узла, необходимой для описания геометрии элемента, соответствует одно смещение узла.
Реализации МКЭ в системах инженерного анализа. В системах инженерного анализа МКЭ реализуется в виде трех основных этапов: начальной подготовки
(препроцессор), получения решений (решатель) и обработки результатов моделирования
(постпроцессор) (рис. 1).
Рис. 1. Этапы конечно-элементного анализа
29
Этап препроцессорной подготовки включат следующие стадии:
1)
Идеализация задачи.
2)
Создание геометрии модели, задание свойств материала.
3)
Создание конечно-элементной модели.
4)
Приложение к модели граничных условий (закреплений и нагрузки).
Идеализация задачи(идеализация свойств конструкции и внешних воздействий). В основе любого расчета лежит расчетная схема, включающая геометрию конструкции и действующие нагрузки и закрепления, и, если речь идет о моделировании процесса, – геометрию заготовки и инструментов, скорости и направления движения инструментов, характер взаимодействия заготовки и инструментов. На данном этапе необходимо принять и обосновать допущения, присутствующие при любом моделировании объективной реальности.
При создании расчетной схемы прибегают к некоторой идеализации, при этом степень идеализации влияет на достоверность результатов. Идеализация – это трудноформализуемый интеллектуальный процесс, в результате которого специалист переходит от реальной физической системы к некой упрощенной модели системы. Причем модель должна формироваться в соответствии с поставленными целями и имеющимися средствами решения инженерной задачи.
В общем случае конструкция, изготовленная из реального материала, находящаяся под действием внешних нагрузок, может иметь много особенностей, включающих в себя несовершенство формы, несплошность и неоднородность свойств материала, особенности в характере нагружения и т.п. Использование компьютерного моделирования позволяет учесть некоторые из перечисленных особенностей, но необходимо понимать, что как бы не были велики мощности современных компьютеров, их быстродействие и объем памяти, они не безграничны.
Примером идеализации реального твердого тела может служить присвоение ему свойств однородности. Среда называется однородной, если свойства выделенных из нее малых объемов одинаковы. Здесь речь идет о тех свойствах, которые определяются посредством механического эксперимента. Однако известно, что обычный металл или сплав состоит из кристаллических зерен, ориентированных случайным образом. Очевидно, что свойства этих объемов могут быть различными, т.к. металл не однороден в пределах зерна.
Но наличие этих неоднородностей не влияет на поведение металла в изделии, поскольку размеры этих зерен малы по сравнению с размерами изделия, и подобный металл рассматривается как однородная сплошная среда.
Существуют неоднородные материалы с размером неоднородности значительно большим, чем у металлов, например, бетон. Но и изделия из таких материалов имеют размеры, по сравнению с которыми размеры структурных элементов пренебрежимо малы.
В ряде конструкций такая идеализация невозможна, т. к. она привела бы к неверным результатам расчета. Примером может служить пластинка из биметалла, в которой свойства меняются скачкообразно при переходе границы раздела материалов. Свойства неоднородного материала могут также меняться непрерывно по объему. Примером этого является неравномерно нагретое тело, в котором свойства материала зависят от температуры, распределенной по объему непрерывным образом (или с конечным числом разрывов).
При моделировании определенной идеализации подвергается также и понятие
«внешние силы». В механике предполагается, что сила полностью определена, если задан соответствующий вектор, при этом сила рассматривается как результат взаимодействия двух твердых тел. С этой точки зрения вектор силы, действующей на поверхность тела, означает сосредоточенную силу, т. е. силу, приложенную в точке. Однако, в действительности,
«сосредоточенных» сил не существует.
30
Таким образом, модель может быть наделена лишь частью свойств реального объекта, поэтому ее математическое описание проще. От того, насколько удачно выбрана модель объекта, зависит, в конечном итоге, трудоемкость расчета и точность его результатов.
Создание геометрии модели и задание свойств материала.Для создания действительной формы конструкций требуется среда трехмерного моделирования, с которой
CAE-системы имеют прямой интерфейс (могут понимать «внутренние» форматы друг друга) или специальные интерфейсы – согласованные форматы данных для обмена информацией:
– формат STLиспользуется для передачи модели, аппроксимированной плоскими элементами из CAD-системы в систему инженерного анализа (САЕ-систему), в CAM- систему или в установку для быстрого прототипирования изделий;
– формат IGESиспользуется для передачи геометрии поверхностных моделей.
При расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций обязательно задаются модуль упругости и коэффициент Пуассона, при моделировании процессов, например холодной прокатки, дополнительно задается зависимость предела текучести от степени деформации, горячей прокатки – зависимости предела текучести от температуры, степени и скорости деформации.
Создание конечно-элементной модели.Как следует из основной концепции МКЭ, вся модель конструкции (или отдельной ее части) делится на множество конечных элементов, соединенных между собой в вершинах (узлах). В МКЭ все виды нагрузок (распределенные поверхностные нагрузки, объемные силы, моменты и др.) приводятся к сосредоточенным силам, действующим в узлах.
Конечные элементы отличаются достаточно большим разнообразием форм. Самые распространенные трехмерные элементы: 4-х узловые тетраэдры, 8-ми узловые шестигранники (рис. 2).
Конечные элементы могут быть линейными (рис. 2, а) (элементы первого порядка) или параболическими (элементы второго порядка с одним промежуточным узлом вдоль каждой из сторон (рис. 2, б), элементы третьего порядка с двумя промежуточными узлами
(рис. 2, в)). Линейные элементы имеют прямые стороны и узлы только в углах. Таким образом, минимальное число узлов трехмерного элемента равно 4. Параболические элементы могут иметь промежуточный узел вдоль каждой из сторон. Именно благодаря этому стороны элемента могут быть криволинейными (параболическими). При равном количестве элементов параболические элементы дают большую точность вычислений, т. к. они более точно воспроизводят криволинейную геометрию модели и имеют более точные функции формы (аппроксимирующие функции). Однако расчет с применением конечных элементов высоких порядков требует больших компьютерных ресурсов и большего машинного времени.
В системах инженерного анализа при моделировании напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций используются два метода построения сетки: построение произвольной сетки (рис. 3, а) и упорядоченной сетки (рис. 3, б).
Произвольная сетка строится автоматически, при этом соседние элементы могут существенно отличаться по размерам.
Точность расчета МКЭ существенным образом зависит от правильного выбора размеров конечных элементов. Например, более частая сетка требуется там, где ожидается большой градиент деформаций или напряжений, более редкая сетка может применяться в зонах с более или менее постоянными деформациями или напряжениями, а также в областях, не представляющих особого интереса. В связи с этим исследователь должен уметь предвидеть области концентрации напряжений.
31
а
б
в
Рис. 2. Типы трехмерных конечных элементов:
а – элементы первого порядка;
б – элементы второго порядка;
в – элементы третьего порядка
а
б
Рис. 3. Методы построения сетки:
а – построение произвольной сетки;
б – построение упорядоченной сетки
При моделировании напряженно-деформированного состояния металла в процессах
ОМД используются два метода построения сетки:
– относительная сетка (Relative mesh). Задается максимальное количество конечных элементов, которое не может быть превышено во время расчета. Временные затраты меньше; для сложной геометрии возможен эффект усреднения параметров, и вместо градиентов свойств, образующихся в действительности, можно получить равномерную картину распределения; в ряде случаев не позволяет осуществить расчет из-за проблем со сходимостью;
– абсолютная сетка (Absolute mesh). При построении задается минимальный размер элемента, а их общее количество меняется в процессе расчета. Отсутствие ограничения на количество элементов может привести на сложной геометрии к превышению допустимого лимита и «падению» расчета; приводит к увеличению продолжительности расчета (в среднем, увеличение числа конечных элементов в 2 раза приводит к увеличению времени расчета в 4 раза).
32
В сеточной модели заготовки при моделировании процессов происходит искривление формы конечных элементов, вплоть до полного их вырождения, что требует перестройки
(переразбиения) сетки заготовки. Рассмотрим простейший конечный элемент поверхностной сетки – треугольник. В процессе деформации сетки происходит изменение значений его углов, один из которых уменьшается вплоть до 0 градусов, при этом треугольник вырождается в отрезок, узлы (вершины) которого теряют возможность описывать свойства данной поверхностной среды. Чтобы этого не допустить, в программах реализован механизм перестройки сетки при достижении значений углов конечных элементов, до заранее заданных значений, обычно 5-10 градусов.
Алгоритм переразбиения является уникальной разработкой каждой компании производителя программ, однако, в общем, его суть сводится к следующему: в областях с искаженными элементами строится новая неискаженная сетка, при этом узлам этой сетки присваиваются значения полей вычисляемых величин, экстраполируемых из узлов предыдущей искаженной сетки. При этом большая часть старой сетки остается без изменений, что значительно повышает скорость переразбиения.
При построении сеточной модели необходимо искать оптимальную дискретность сетки, учитывая при этом задействованные ресурсы вычислительной системы (память, время и т.д.) и точность вычислений. Сетка с большим количеством узлов позволяет находить более точное решение, но увеличивает расчетное время и объем памяти. В идеале решение не должно зависеть от плотности сетки. Измельчение сетки не компенсирует допущения физической модели и ошибки входных данных.
Граничные условия. Задание граничных условий – один из ответственных этапов конечно-элементного анализа. Число граничных условий должно быть минимально необходимым.
Граничные условия прикладываются только к узлам сеточной модели. Не следует прикладывать силу в узле в том же самом направлении, в котором в данном узле зафиксировано смещение.
Если конструкция или заготовка имеет оси или плоскости симметрии, то при назначении граничных условий необходимо это учитывать. Можно моделировать только часть конструкции или заготовки (1/2, 1/4, 1/8, и т.д.), имея в виду, что в узлах элементов, лежащих на плоскостях симметрии, соответствующие перемещения равны нулю.
Второй этап конечно-элементного анализа может производиться автоматически с помощью компьютерной программы, называемой процессором или решателем. С помощью
МКЭ-процессора автоматически формируются матрицы жесткостей для всех элементов и собираются в глобальную матрицу жесткости конструкции. Решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в результате чего определяются неизвестные перемещения для всех узлов модели. Перемещения в других точках элемента вычисляются интерполяцией.
Зная перемещения в узлах и аппроксимирующие функции, можно рассчитать деформации и напряжения в заданных точках. Максимальная точность вычислений деформаций и напряжений будет в центре элемента.
Размер глобальной матрицы жесткости сложных объектов и, соответственно, размерность СЛАУ, в этих задачах достигает сотен тысяч и даже многих миллионов неизвестных, что приводит к необходимости реализации сложных алгоритмов вычислений и использовании многоуровневой памяти компьютеров. В универсальных САЕ-системах часто используются сложные авторские методики решения больших разряженных систем уравнений, позволяющие экономно использовать имеющиеся ресурсы компьютера.
Третий этап – постпроцессор – заключается в обработке и визуализации результатов расчетов конечно-элементной модели и является не самым затратным по вычислениям и трудоемкости, но самым ответственным, и в значительной мере чисто человеческим этапом инженерного анализа. На данном этапе широко используются средства интерактивной компьютерной графики, которая при обработке результатов расчетов выступает в роли
33 главного инструмента, поскольку автоматизирует создание разнообразных графических картин, необходимых специалисту для принятия итоговых выводов и проектных решений.
Только обоснованные выводы и профессиональные инженерные решения, принятые на данном этапе, могут как технически, так и экономически оправдать все многочисленные затраты на моделирование.
Ошибки конечно-элементного анализа. При конечно-элементном моделировании и анализе результатов расчетов по МКЭ обязательно нужно знать и учитывать неизбежные при численной аппроксимации условности и погрешности метода. Поэтому вопрос соответствия
(адекватности) между расчетной моделью и реальностью является одним из основных при использовании программ инженерного анализа.
Приступая к конечно-элементному анализу, необходимо понять:
– к какой области анализа относится данная задача;
– какая часть объекта должна исследоваться подробнее;
– какие упрощения можно допустить в данной задаче.
Использование вычислительной техники в роли «черного ящика», без понимания основных процессов и этапов вычислений, может привести к существенным ошибкам.
Ошибки могут возникать на различных этапах конечно-элементного анализа. Более значимыми являются ошибки при постановке задачи. Они заключаются в неправильном или неточном понимании исследователем физики моделируемых явлений и процессов, что приводит к неоправданному огрублению модели и даже к неверной постановке исходных условий инженерной задачи. Например, в расчетах не учитывается нелинейность характеристик материалов и внешних воздействий, которая проявляется при высоких температурах, при предельных нагрузках и деформациях. Часто не полностью учитываются все силовые факторы и случаи нагружения. Также, когда некорректно заданы граничные условия, когда выбранный тип конечных элементов или их размер не соответствуют физическому поведению материала в конструкции, при замене реальной конструкции ограниченным числом конечных элементов (с учетом их формы и размеров).
Ошибки и погрешности, связанные с численным решением, на ЭВМ возникают реже, но и они могут проявиться при больших градиентах параметров в моделях, таких, как резкая разница геометрических характеристик у соседних элементов.
Ошибки интерпретации результатов носят как субъективный характер, определяемый квалификацией пользователя, так и систематический, зависящий от использованных методик и способов обработки результатов.
При использовании результатов инженерного анализа требуется предварительно обосновать адекватность постановки вычислительной задачи реальной физике процессов и явлений. То есть необходимо отметить и специально оговорить все допущения и упрощения, принятые при идеализации.
Необходимо заранее оценить возможные погрешности моделирования и вычислений.
Для проверки и подтверждения правильности полученных результатов иногда приходится прибегать к предварительному тестированию моделей на тривиальных примерах с известными аналитическими решениями.
В процессе описания и интерпретации результатов расчетов необходимо обосновать справедливость сделанных выводов с помощью логических построений, подтвержденных иллюстрациями и аналитическими выкладками. И только после всех тестов, оценок точности н логических обоснований адекватности моделей можно считать полученные результаты моделирования достоверными и использовать выводы и рекомендации в практической деятельности, чтобы принять на их основе соответствующие инженерные решения.
Программные комплексы на основе МКЭ для расчета объектов и процессов
металлургического производства. Программы анализа можно условно разделить на три группы:
Основные положения метода конечных элементов. Основная идея метода конечных элементов (МКЭ) состоит в том, что определяемую в рассматриваемой области кусочно-непрерывную функцию (например, поле перемещений или напряжений, как это имеет место в нашем случае) аппроксимируют в пространстве кусочно-непрерывных функций на компактном носителе. Построение такой аппроксимации выполняется следующим образом:
В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узлами.
Значение искомой функции в каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.
Область определения искомой функции разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.
Искомая функция аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой функции. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность аппроксимирующей функции вдоль границ элемента (этот полином в МКЭ носит название функции формы элемента).
При построении такой аппроксимации для искомой функции, определенной в трёхмерной области, элементы описываются функциями 3-х переменных (x, y, z), а в двухмерной области (плоская задача) функциями 2-х переменных (x, y).
В большинстве современных комплексов реализован метод конечных элементов в перемещениях.
Рассмотрим общий случай из области расчета силовых конструкций, когда на произвольное упругое тело действует система из n сил (рис. 1), которую представим матрицей-вектором:
27
n
i
F
F
F
F
2 1
F
(1)
Перемещения точек приложения сил в направлении этих сил образуют вектор
Рис. 1. Внешние нагрузки, действующие на упругое тело
n
i
U
U
U
U
2 1
U
(2)
Если в некоторых из рассмотренных точек тело закреплено, то соответствующие элементы матрицы перемещений будут нулевыми. Произведение вектора сил на вектор перемещений имеет смысл внешней энергии или работы. Если ввести допущение, что соотношение между U и F является линейным и однородным, то соотношение между ними выражается следующим уравнением:
F=KU.
(3)
Когда упругое тело будет разделено сетью линий на совокупность конечных элементов, а нагрузки приложены в узлах, то в матричном виде соотношение (1.3) можно записать следующим образом:
n
nn
n
n
n
n
n
U
U
U
k
k
k
k
k
k
k
k
k
F
F
F
2 1
2 1
2 22 21 1
12 11 2
1
.
(4)
Квадратная матрица K, связывающая силы Fс перемещениями U, называется матрицей
жесткости конструкции (рассматриваемого тела), а уравнения называются основным
соотношением метода конечных элементов.
28
Часто матрицу К,для универсальности, называют матрицей жесткости, даже в случае использования МКЭ для немеханических приложений в различных дисциплинах. Матрица жесткости всегда получается симметричной и положительно определенной.
Для этого используются обычные и криволинейные элементы с квадратичными или линейными аппроксимирующими функциями.
Вектор узловых сил {F} формируется из реально заданных сосредоточенных нагрузок или сведением к узловым значениям объёмных или распределённых по контуру или по площади нагрузок.
Для аппроксимации расчётной области используются перемещения u, v, w вектора перемещений {U}, которые представляются с помощью интерполяционных функций
i
h
в виде:
1 1
1
q
i
i
i
q
i
i
i
q
i
i
i
u
h u
v
h v
w
h w
,
(5) где u, v, w перемещения любой точки элемента в локальной (естественной) системе координат, u
i
, v
i
, w
i
, i=1, ..., q соответствующие смещения его узлов, а q количество узлов элемента. Следовательно, предполагается, что каждой координате узла, необходимой для описания геометрии элемента, соответствует одно смещение узла.
Реализации МКЭ в системах инженерного анализа. В системах инженерного анализа МКЭ реализуется в виде трех основных этапов: начальной подготовки
(препроцессор), получения решений (решатель) и обработки результатов моделирования
(постпроцессор) (рис. 1).
Рис. 1. Этапы конечно-элементного анализа
29
Этап препроцессорной подготовки включат следующие стадии:
1)
Идеализация задачи.
2)
Создание геометрии модели, задание свойств материала.
3)
Создание конечно-элементной модели.
4)
Приложение к модели граничных условий (закреплений и нагрузки).
Идеализация задачи(идеализация свойств конструкции и внешних воздействий). В основе любого расчета лежит расчетная схема, включающая геометрию конструкции и действующие нагрузки и закрепления, и, если речь идет о моделировании процесса, – геометрию заготовки и инструментов, скорости и направления движения инструментов, характер взаимодействия заготовки и инструментов. На данном этапе необходимо принять и обосновать допущения, присутствующие при любом моделировании объективной реальности.
При создании расчетной схемы прибегают к некоторой идеализации, при этом степень идеализации влияет на достоверность результатов. Идеализация – это трудноформализуемый интеллектуальный процесс, в результате которого специалист переходит от реальной физической системы к некой упрощенной модели системы. Причем модель должна формироваться в соответствии с поставленными целями и имеющимися средствами решения инженерной задачи.
В общем случае конструкция, изготовленная из реального материала, находящаяся под действием внешних нагрузок, может иметь много особенностей, включающих в себя несовершенство формы, несплошность и неоднородность свойств материала, особенности в характере нагружения и т.п. Использование компьютерного моделирования позволяет учесть некоторые из перечисленных особенностей, но необходимо понимать, что как бы не были велики мощности современных компьютеров, их быстродействие и объем памяти, они не безграничны.
Примером идеализации реального твердого тела может служить присвоение ему свойств однородности. Среда называется однородной, если свойства выделенных из нее малых объемов одинаковы. Здесь речь идет о тех свойствах, которые определяются посредством механического эксперимента. Однако известно, что обычный металл или сплав состоит из кристаллических зерен, ориентированных случайным образом. Очевидно, что свойства этих объемов могут быть различными, т.к. металл не однороден в пределах зерна.
Но наличие этих неоднородностей не влияет на поведение металла в изделии, поскольку размеры этих зерен малы по сравнению с размерами изделия, и подобный металл рассматривается как однородная сплошная среда.
Существуют неоднородные материалы с размером неоднородности значительно большим, чем у металлов, например, бетон. Но и изделия из таких материалов имеют размеры, по сравнению с которыми размеры структурных элементов пренебрежимо малы.
В ряде конструкций такая идеализация невозможна, т. к. она привела бы к неверным результатам расчета. Примером может служить пластинка из биметалла, в которой свойства меняются скачкообразно при переходе границы раздела материалов. Свойства неоднородного материала могут также меняться непрерывно по объему. Примером этого является неравномерно нагретое тело, в котором свойства материала зависят от температуры, распределенной по объему непрерывным образом (или с конечным числом разрывов).
При моделировании определенной идеализации подвергается также и понятие
«внешние силы». В механике предполагается, что сила полностью определена, если задан соответствующий вектор, при этом сила рассматривается как результат взаимодействия двух твердых тел. С этой точки зрения вектор силы, действующей на поверхность тела, означает сосредоточенную силу, т. е. силу, приложенную в точке. Однако, в действительности,
«сосредоточенных» сил не существует.
30
Таким образом, модель может быть наделена лишь частью свойств реального объекта, поэтому ее математическое описание проще. От того, насколько удачно выбрана модель объекта, зависит, в конечном итоге, трудоемкость расчета и точность его результатов.
Создание геометрии модели и задание свойств материала.Для создания действительной формы конструкций требуется среда трехмерного моделирования, с которой
CAE-системы имеют прямой интерфейс (могут понимать «внутренние» форматы друг друга) или специальные интерфейсы – согласованные форматы данных для обмена информацией:
– формат STLиспользуется для передачи модели, аппроксимированной плоскими элементами из CAD-системы в систему инженерного анализа (САЕ-систему), в CAM- систему или в установку для быстрого прототипирования изделий;
– формат IGESиспользуется для передачи геометрии поверхностных моделей.
При расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций обязательно задаются модуль упругости и коэффициент Пуассона, при моделировании процессов, например холодной прокатки, дополнительно задается зависимость предела текучести от степени деформации, горячей прокатки – зависимости предела текучести от температуры, степени и скорости деформации.
Создание конечно-элементной модели.Как следует из основной концепции МКЭ, вся модель конструкции (или отдельной ее части) делится на множество конечных элементов, соединенных между собой в вершинах (узлах). В МКЭ все виды нагрузок (распределенные поверхностные нагрузки, объемные силы, моменты и др.) приводятся к сосредоточенным силам, действующим в узлах.
Конечные элементы отличаются достаточно большим разнообразием форм. Самые распространенные трехмерные элементы: 4-х узловые тетраэдры, 8-ми узловые шестигранники (рис. 2).
Конечные элементы могут быть линейными (рис. 2, а) (элементы первого порядка) или параболическими (элементы второго порядка с одним промежуточным узлом вдоль каждой из сторон (рис. 2, б), элементы третьего порядка с двумя промежуточными узлами
(рис. 2, в)). Линейные элементы имеют прямые стороны и узлы только в углах. Таким образом, минимальное число узлов трехмерного элемента равно 4. Параболические элементы могут иметь промежуточный узел вдоль каждой из сторон. Именно благодаря этому стороны элемента могут быть криволинейными (параболическими). При равном количестве элементов параболические элементы дают большую точность вычислений, т. к. они более точно воспроизводят криволинейную геометрию модели и имеют более точные функции формы (аппроксимирующие функции). Однако расчет с применением конечных элементов высоких порядков требует больших компьютерных ресурсов и большего машинного времени.
В системах инженерного анализа при моделировании напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций используются два метода построения сетки: построение произвольной сетки (рис. 3, а) и упорядоченной сетки (рис. 3, б).
Произвольная сетка строится автоматически, при этом соседние элементы могут существенно отличаться по размерам.
Точность расчета МКЭ существенным образом зависит от правильного выбора размеров конечных элементов. Например, более частая сетка требуется там, где ожидается большой градиент деформаций или напряжений, более редкая сетка может применяться в зонах с более или менее постоянными деформациями или напряжениями, а также в областях, не представляющих особого интереса. В связи с этим исследователь должен уметь предвидеть области концентрации напряжений.
31
а
б
в
Рис. 2. Типы трехмерных конечных элементов:
а – элементы первого порядка;
б – элементы второго порядка;
в – элементы третьего порядка
а
б
Рис. 3. Методы построения сетки:
а – построение произвольной сетки;
б – построение упорядоченной сетки
При моделировании напряженно-деформированного состояния металла в процессах
ОМД используются два метода построения сетки:
– относительная сетка (Relative mesh). Задается максимальное количество конечных элементов, которое не может быть превышено во время расчета. Временные затраты меньше; для сложной геометрии возможен эффект усреднения параметров, и вместо градиентов свойств, образующихся в действительности, можно получить равномерную картину распределения; в ряде случаев не позволяет осуществить расчет из-за проблем со сходимостью;
– абсолютная сетка (Absolute mesh). При построении задается минимальный размер элемента, а их общее количество меняется в процессе расчета. Отсутствие ограничения на количество элементов может привести на сложной геометрии к превышению допустимого лимита и «падению» расчета; приводит к увеличению продолжительности расчета (в среднем, увеличение числа конечных элементов в 2 раза приводит к увеличению времени расчета в 4 раза).
32
В сеточной модели заготовки при моделировании процессов происходит искривление формы конечных элементов, вплоть до полного их вырождения, что требует перестройки
(переразбиения) сетки заготовки. Рассмотрим простейший конечный элемент поверхностной сетки – треугольник. В процессе деформации сетки происходит изменение значений его углов, один из которых уменьшается вплоть до 0 градусов, при этом треугольник вырождается в отрезок, узлы (вершины) которого теряют возможность описывать свойства данной поверхностной среды. Чтобы этого не допустить, в программах реализован механизм перестройки сетки при достижении значений углов конечных элементов, до заранее заданных значений, обычно 5-10 градусов.
Алгоритм переразбиения является уникальной разработкой каждой компании производителя программ, однако, в общем, его суть сводится к следующему: в областях с искаженными элементами строится новая неискаженная сетка, при этом узлам этой сетки присваиваются значения полей вычисляемых величин, экстраполируемых из узлов предыдущей искаженной сетки. При этом большая часть старой сетки остается без изменений, что значительно повышает скорость переразбиения.
При построении сеточной модели необходимо искать оптимальную дискретность сетки, учитывая при этом задействованные ресурсы вычислительной системы (память, время и т.д.) и точность вычислений. Сетка с большим количеством узлов позволяет находить более точное решение, но увеличивает расчетное время и объем памяти. В идеале решение не должно зависеть от плотности сетки. Измельчение сетки не компенсирует допущения физической модели и ошибки входных данных.
Граничные условия. Задание граничных условий – один из ответственных этапов конечно-элементного анализа. Число граничных условий должно быть минимально необходимым.
Граничные условия прикладываются только к узлам сеточной модели. Не следует прикладывать силу в узле в том же самом направлении, в котором в данном узле зафиксировано смещение.
Если конструкция или заготовка имеет оси или плоскости симметрии, то при назначении граничных условий необходимо это учитывать. Можно моделировать только часть конструкции или заготовки (1/2, 1/4, 1/8, и т.д.), имея в виду, что в узлах элементов, лежащих на плоскостях симметрии, соответствующие перемещения равны нулю.
Второй этап конечно-элементного анализа может производиться автоматически с помощью компьютерной программы, называемой процессором или решателем. С помощью
МКЭ-процессора автоматически формируются матрицы жесткостей для всех элементов и собираются в глобальную матрицу жесткости конструкции. Решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в результате чего определяются неизвестные перемещения для всех узлов модели. Перемещения в других точках элемента вычисляются интерполяцией.
Зная перемещения в узлах и аппроксимирующие функции, можно рассчитать деформации и напряжения в заданных точках. Максимальная точность вычислений деформаций и напряжений будет в центре элемента.
Размер глобальной матрицы жесткости сложных объектов и, соответственно, размерность СЛАУ, в этих задачах достигает сотен тысяч и даже многих миллионов неизвестных, что приводит к необходимости реализации сложных алгоритмов вычислений и использовании многоуровневой памяти компьютеров. В универсальных САЕ-системах часто используются сложные авторские методики решения больших разряженных систем уравнений, позволяющие экономно использовать имеющиеся ресурсы компьютера.
Третий этап – постпроцессор – заключается в обработке и визуализации результатов расчетов конечно-элементной модели и является не самым затратным по вычислениям и трудоемкости, но самым ответственным, и в значительной мере чисто человеческим этапом инженерного анализа. На данном этапе широко используются средства интерактивной компьютерной графики, которая при обработке результатов расчетов выступает в роли
33 главного инструмента, поскольку автоматизирует создание разнообразных графических картин, необходимых специалисту для принятия итоговых выводов и проектных решений.
Только обоснованные выводы и профессиональные инженерные решения, принятые на данном этапе, могут как технически, так и экономически оправдать все многочисленные затраты на моделирование.
Ошибки конечно-элементного анализа. При конечно-элементном моделировании и анализе результатов расчетов по МКЭ обязательно нужно знать и учитывать неизбежные при численной аппроксимации условности и погрешности метода. Поэтому вопрос соответствия
(адекватности) между расчетной моделью и реальностью является одним из основных при использовании программ инженерного анализа.
Приступая к конечно-элементному анализу, необходимо понять:
– к какой области анализа относится данная задача;
– какая часть объекта должна исследоваться подробнее;
– какие упрощения можно допустить в данной задаче.
Использование вычислительной техники в роли «черного ящика», без понимания основных процессов и этапов вычислений, может привести к существенным ошибкам.
Ошибки могут возникать на различных этапах конечно-элементного анализа. Более значимыми являются ошибки при постановке задачи. Они заключаются в неправильном или неточном понимании исследователем физики моделируемых явлений и процессов, что приводит к неоправданному огрублению модели и даже к неверной постановке исходных условий инженерной задачи. Например, в расчетах не учитывается нелинейность характеристик материалов и внешних воздействий, которая проявляется при высоких температурах, при предельных нагрузках и деформациях. Часто не полностью учитываются все силовые факторы и случаи нагружения. Также, когда некорректно заданы граничные условия, когда выбранный тип конечных элементов или их размер не соответствуют физическому поведению материала в конструкции, при замене реальной конструкции ограниченным числом конечных элементов (с учетом их формы и размеров).
Ошибки и погрешности, связанные с численным решением, на ЭВМ возникают реже, но и они могут проявиться при больших градиентах параметров в моделях, таких, как резкая разница геометрических характеристик у соседних элементов.
Ошибки интерпретации результатов носят как субъективный характер, определяемый квалификацией пользователя, так и систематический, зависящий от использованных методик и способов обработки результатов.
При использовании результатов инженерного анализа требуется предварительно обосновать адекватность постановки вычислительной задачи реальной физике процессов и явлений. То есть необходимо отметить и специально оговорить все допущения и упрощения, принятые при идеализации.
Необходимо заранее оценить возможные погрешности моделирования и вычислений.
Для проверки и подтверждения правильности полученных результатов иногда приходится прибегать к предварительному тестированию моделей на тривиальных примерах с известными аналитическими решениями.
В процессе описания и интерпретации результатов расчетов необходимо обосновать справедливость сделанных выводов с помощью логических построений, подтвержденных иллюстрациями и аналитическими выкладками. И только после всех тестов, оценок точности н логических обоснований адекватности моделей можно считать полученные результаты моделирования достоверными и использовать выводы и рекомендации в практической деятельности, чтобы принять на их основе соответствующие инженерные решения.
Программные комплексы на основе МКЭ для расчета объектов и процессов
металлургического производства. Программы анализа можно условно разделить на три группы: