, а полярный угол не определен.

Пусть декартовая полуось совпадает с полярным лучом .Декартовые координаты выражаются через полярные по формулам .

Полярные координаты выражаются через декартовые

.



 
Пусть область D в декартовых координатах преобразуется в область D_r в полярных координатах согласно формулам (10).

 

Якобиан в данном случае равен:



Тогда интеграл (2) преобразуется в двойной интеграл в полярных координатах по формуле

 (16)

Двойной интеграл (16) вычисляется переходом к повторному интегралу в полярных координатах. Пусть область D_r имеет вид

D_r= { (r, φ) : α ≤φ≤ β, r₁(φ)≤ r≤ r₂ (φ)},

где лучи φ= α и φ= β ограничивают сектор, в котором находится фигура D_r , кривые r = r₁(φ), r = r₂ (φ) ограничивают ее в этом секторе. Тогда

(17)

Замечание. При расстановке пределов интегрирования в повторном интеграле нужно учесть, что изменение полярного угла определяется поворотом луча, исходящего из начала O вокруг него против хода часовой стрелки, а изменение полярного радиуса определяется движением точки вдоль луча в сторону его возрастания.



 

Рисунок 5
Примеры. 1). Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле в полярных координатах

---

 



где D_r  полукруг из рисунка 5.

Решение. Все точки этого полукруга будут охвачены, если луч Оl будет поворачиваться от   до φ = 0 против хода часовой стрелки. Значит,  . Пусть теперь луч Оl имеет полярный угол  . Тогда при движении точки полукруга по лучу Оl (рис. 5) от точки О до точки Mполярный радиус rизменяется от 0 до координаты r=2cosφ точки M. Значит,

0 ≤ r ≤ 2cos φ. Таким образом, D_r ={(r, φ):  , 0 ≤ r ≤ 2 cos φ}. Следовательно,



2) Вычислить   где D ={(x, y): x²+ y²2x ≤0, y≤0}.

Решение. Подставим в уравнение окружности x²+y²2x =0 полярные координаты (9) и преобразуем: r²2 rcosφ= 0   r =2cosφ. Мы получили уравнение полуокружности в полярных координатах из рисунка 5. Поскольку y≤0, то D  полукруг из примера 3. Расставим пределы интегрирования как в этом примере и вычислим:






Вычисление площади фигуры.



Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле 

---

 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

Решение. Данная фигура D расположена в вертикальной полосе 0 ≤ x ≤ 2, а в ней ограничена снизу параболой y = x², сверху  прямой y =4 (рис. 6). По формуле (5) имеем


.
Вычисление объема цилиндрического тела.

Если f (x,y) ≥ 0 в ограниченной области D, то объем цилиндрического тела (рис.1) вычисляется по формуле V = 

Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z = 0, x² + y² = 4, z = x² + y² .

Решение. x² + y² = 4  это круговой цилиндр радиуса 2, ось которого совпадает с Оy. z = x² + y²  параболоид, который пересекает цилиндр по окружности радиуса 2 в плоскости z = 4 . z=0  координатная плоскость xOy. Таким образом, тело ограничено сверху параболоидом

z = x² + y² , снизу  кругом D , с боков  цилиндрической поверхностью x² + y² = 4. Так как данное тело цилиндрическое и

z = x² + y² ≥ 0, то для вычисления его объема можно использовать формулу



где D ={ (x, y) : x² + y² ≤ 4, z = 0}круг в плоскости xOy. Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг Dпреобразуется во множество

D_r ={ (r, φ) : 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }. По формуле (17) получим

---

Занятие 27. Тема «Двойной интеграл и его свойства. Приложение двойного интеграла»

План лекции:

1. 
   Понятие двойного интеграла
   
2. 
   Свойства двойного интеграла
   
3. 
   Правила вычисления двойного интеграла
   

Понятие двойного интеграла

Определение: Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

, где  – знак двойного интеграла;
D – область интегрирования (плоская фигура);

f(x;y) – подынтегральная функция двух переменных;
dx, dy  – элементы площади интегрирования.

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f(x,y) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x) или x=g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.

Свойства двойного интеграла

1. 
   Если С – числовая константа, то ,
   
2. 
   
   
3. 
   Если область D  “разбита” на области D1 и D2, то
   
4. 
   .
   

Правила вычисления двойного интеграла

1. 
   Чтобы вычислить двойной интеграл, нужно для начала построить область D в системе координат и определить границы этой области по оси Ох и по оси Оу. Затем выбрать один из видов области интегрирования по правилу 2, подставить в функцию и вычислить двойной интеграл по 3 правилу.
   
2. 
   Различают два основных вида области интегрирования.
   

1. 
   Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=а и х=b (ab), а снизу и сверху – непрерывными кривыми y= и y= ( ).
   

Для такой области интеграл вычисляется следующим образом

1. 
   Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми у=с и y=d (cd), а слева и справа – непрерывными кривыми x= и y= ( )
   

---

Для такой области интеграл вычисляется следующим образом

1. 
   При вычислении двойного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница, считая одну из переменных постоянным числом:
   

1. 
   здесь х считается постоянным числом.
   
2. 
   здесь у считается постоянным числом.
   

Затем, вычисляется внешний интеграл также по формуле Ньютона-Лейбница.

Пример1. Вычислить двойной интеграл , где

Решение. 1. Строим область интегрирования D

2 . Находим границы области, то есть пределы интегрирования 1xy

3. Выбираем вид области интегрирования .

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая у - числом, которое можно вынести за знак интеграла. Получаем .

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл ,

где .

Решение. 1. Строим область интегрирования D

2. Находим границы области, то есть пределы интегрирования 1xy

3. Выбираем вид области интегрирования

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая х - число. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Ответить на контрольные вопросы:

1. 
   Что называется двойным интегралом?
   
2. 
   Перечислите основные свойства двойного интеграла.
   
3. 
   На какие виды делится область интегрирования?
   
4. 
   Каким образом вычисляется двойной интеграл?
   
5. 
   Что делать с переменной, если она в интеграле не является интегрируемой?
   
6. 
   Пользуясь учебником П.Е. Данко «Высшая математика в упражнениях и задачах» часть 2, разобрать №4 стр.8 рис.3, выписать в тетрадь.
   

Тройной интеграл.

Контрольные вопросы.

1. 
   Тройной интеграл, его свойства.
   
2. 
   Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
   
3. 
   Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
   
4. 
   Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
   

Пусть функция u = f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой области V пространства R₃. Разобьём область V произвольным образом наn элементарных замкнутых областей 

---

Смотрите также файлы

• Лабораторная работа 5 Компоновка низа буровой колонны. Цель работы изучение элементов кнбк.docx

• Кормление собак.docx

• Видеофрагмент из фильма Тренер Картер.docx

• 2 Основные направления развития экономики Китайской Народной Республики25.docx

• Таырыбы Темекіні, насыбайды жне энергетикалы сусындарды зияны.docx