Файл: Методические указания по выполнению контрольных работ для бакалавров технического профиля заочной формы обучения (2й курс).pdf

21 гарантийного срока из трѐх телевизоров: 1) не более одного потребует ремонта; 2) хотя бы один не потребует ремонта.
19. а) Для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда.
Произведено два залпа из двух орудий. Найти вероятность поражения цели, если вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,3. а из второго – 0,4. б) В ящике лежат несколько тысяч одинаковых предохранителей.
Половина из них изготовлена I заводом, остальные – II заводом.
Наудачу вынули пять предохранителей. Чему равна вероятность того, что I заводом из них изготовлены: 1) два предохранителя; 2) менее двух предохранителей; 3) более двух предохранителей?
20. а) В урне лежит 12 белых и 8 красных шаров. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что: 1) три из них красные; 2) красных шаров вынуто не более трѐх? б) Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность.
Вероятность того, что изделие нестандартно, равно 0,1. Найти вероятность того, что: 1) из трѐх проверенных изделий только одно нестандартное; 2) нестандартным будет только третье по порядку проверенное изделие.

22
i
P
0,1 0,15
?
0,2 0,3 3.
i
X
–1 0
1 2
3
i
P
0,1
?
0,25 0,2 0,3 4.
i
X
1 2
3 4
5
i
P
0,1 0,15 0,25
?
0,3 5.
i
X
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
i
P
0,2 0,25 0,15
?
0,3 6.
i
X
1 2
3 4
5
i
P
?
0,2 0,3 0,15 0,25 7.
i
X
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
i
P
0,3
?
0,25 0,15 0,1 8.
i
X
1 2
3 4
5
i
P
0,2 0,15 0,25 0,1
?
9.
i
X
–1 0
1 2
3
i
P
0,1 0,15 0,2
?
0,3 10.
i
X
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
i
P
0,25
?
0,3 0,2 0,1 13.
i
X
1 2
3 4
5
i
P
0,1 0,1 0,2 0,15
?
14.
i
X
–1 0
1 2
3
i
P
?
0,2 0,2 0,3 0,2 15.
i
X
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
i
P
0,1 0,15
?
0,2 0,3 16.
i
X
1 2
3 4
5
i
P
0,3
?
0,05 0,15 0,4 17.
i
X
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
i
P
0,1 0,05 0,25 0,3
?
18.
i
X
–2
–1 0
1 2
i
P
0,2 0,15
?
0,25 0,25 19.
i
X
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
i
P
0,1
?
0,05 0,4 0,4 20.
i
X
1 2
3 4
5

23
i
P
?
0,25 0,15 0,1 0,3
i
P
0,15 0,15 0,15
?
0,2
Задача 14. Случайная величина
X
задана функцией распределения
F
Найти плотность распределения вероятностей
)
(x
f
, математическое ожидание
)
(X
M
и дисперсию
)
( X
D
случайной величины
X
1.










1
,
1
;
1 0
,
;
0
,
0
)
(
2
x
x
x
x
X
F
11.












3
,
1
;
3 1
,
2 1
;
1
,
0
)
(
x
x
x
x
X
F
2.















2
,
1
;
2 1
,
2
;
1
,
0
)
(
2
x
x
x
x
x
X
F
12.













3
,
1
;
3 2
,
2
;
2
,
0
)
(
2
x
x
x
x
X
F
3.










1
,
1
;
1 0
,
;
0
,
0
)
(
3
x
x
x
x
X
F
13.












5
,
1
;
5 3
,
2 3
;
3
,
0
)
(
x
x
x
x
X
F
4.















3 1
,
1
;
3 1
0
,
2 3
;
0
,
0
)
(
2
x
x
x
x
x
X
F
14.














2
,
1
;
2 2
,
4 2
;
2
,
0
)
(
x
x
x
x
X
F
5.












4
,
1
;
4 2
,
1 2
;
2
,
0
)
(
x
x
x
x
X
F
15.

















3 1
,
1
;
3 1
1
,
4 3
4 3
;
1
,
0
)
(
x
x
x
x
X
F
6.












3
,
1
;
3 0
,
9
;
0
,
0
)
(
2
x
x
x
x
X
F
16.










4
,
1
;
4 2
,
5
,
0
;
2
,
0
)
(
x
x
x
x
X
F

24 7.












2
,
1
;
2 0
,
4
;
0
,
0
)
(
2
x
x
x
x
X
F
17.













2
,
1
;
2 0
,
sin
;
0
,
0
)
(


x
x
x
x
X
F
8.
















0
,
1
;
0 2
,
cos
;
2
,
0
)
(
x
x
x
x
X
F


18.













4
,
1
;
4 0
,
2
sin
;
0
,
0
)
(


x
x
x
x
X
F
9.














6
,
1
;
6 0
,
sin
2
;
0
,
0
)
(


x
x
x
x
X
F
19.












2
,
1
;
2 1
,
2 1
2 1
;
1
,
0
)
(
2
x
x
x
x
x
X
F
10.














,
1
;
4 3
,
2
cos
;
4 3
,
0
)
(




x
x
x
x
X
F
20.















3
,
1
;
3 6
,
3
cos
;
6
,
0
)
(




x
x
x
x
X
F
Рекомендации по выполнению контрольных работ
Контрольная работа № 3
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Тип уравнения
Вид уравнения
Характерные признаки уравнения
Метод решения

25
Уравнение с разделяющи мися переменным и
????
1
???? ????
1
???? ????????
+ ????
2
???? ????
2
???? ???????? = 0
????
′
= ????
1
???? ∙ ????
2
????
Коэффициенты при дифференциалах dx и dy представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от переменной х, а другая только от переменной у
Общее решение:
????
1
????
????
2
????
???????? +
+
????
2
(????)
????
1
(????)
????????
= ????
????
′
=
????????
????????
Однородное
???? ????, ???? ???????? + ???? ????, ???? ???????? = 0
????
′
= ????
????
????
P (x, у) и Q (х, y) –
однородные функции одного порядка
Подстановка:
????
????
= ????, ???? = ???? ∙ ????
????
′
= ????
,
???? + ????
???????? = ???????????? + ????????????
Линейное
????
′
+ ???? ???? ∙ ???? = ???? (????)
Левая часть уравнения является линейной комбинацией искомой функции и еѐ производной, правая часть является функцией независимой переменной
Общее решение:
???? = ( ???? ???? ∙
????????????????????????????+???? ∙????−
????????????????
Подстановка:
???? = ????????
Бернулли
????
′
+ ???? ???? ∙ ???? = ???? ???? ∙ ????
????
???? ∈ ????, ???? ≠ 0, ???? ≠ 1
Отличается от линейного уравнения тем, что в правой части есть множитель – степень искомой функции
Подстановка:
???? = ????????
Уравнения, допускающие понижение порядка
Тип уравнения
Метод решения
????
(????)
= ???? (????)
Порядок уравнения понижается путѐм последовательного интегрирования n раз
????
′′
= ???? (????, ????
′
)
????
′
= ????,
???? = ???? ???? , ????
′′
= ????
′
????
′′
= ???? (????, ????
′
)
????
′
= ???? ,
???? = ???? ???? , ????
′′
= ???? ∙ ????
′
= ???? ∙
????????
????????
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
????
′′
+ ???? ∙ ????
′
+ ???????? = 0, ???? и ???? – некоторые числа.
????
2
+ ???? ∙ ???? + ???? = 0 – характеристическое уравнение
При решении характеристического уравнения возможны следующие случаи: дискриминант корни частные общее решение

26 решения
D > 0
????
1
≠ ????
2
????
1
= ????
????
1
????
????
2
= ????
????
2
(????)
???? = С
1
????
????
1
(????)
+ С
2
????
????
2
(????)
D = 0
????
1
= ????
2
????
1
= ????
????
1
????
????
2
= ????????
????
2
(????)
???? = (С
1
+ С
2
????) ∙ ????
????
1
(????)
D < 0
????
1
= ???? + ????????
????
2
= ???? − ????????
????
1
= ????
????+???????? ????
????
2
= ????
????−???????? ????
???? = ????
????????
(С
1
???????????????????? + С
2
????????????????????)
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
????
′′
+ ???? ∙ ????
′
+ ???????? = ???? (????), ???? и ???? – некоторые числа.
???? = ????
одн
+ ????
частн
– общее решение.
Случай 1. Правая часть уравнения имеет вид:
???? ???? = ????
????
???? ∙ ????
????????
,
????????ℝ, ????
????
(????)–многочлен степени n.
В этом случае частное решение
????
частн
= ????
????
∙ ????
????
(????) ∙ ????
????????
, где r – число, показывающее, сколько раз ???? является корнем характеристического уравнения ????
2
+ ???? ∙ ???? + ???? = 0;
????
????
(????) – многочлен степени n, записанный с неопределѐнными коэффициентами.
Случай 2. Правая часть уравнения имеет вид
???? ???? = ????
????????
(????
????
???? ???????????????????? + ????
????
???? ????????????????????),
где ????
????
???? , ????
????
???? – многочлены степени n и m соответственно;
????, ???? – действительные числа.
В этом случае частное решение:
????
частн
= ????
????
∙ ????
????????
(????
????
???? ???????????????????? + ????
????
???? ????????????????????),
где r – число, равное кратности ???? + ???????? как корня характеристического уравнения ????
2
+ ???? ∙ ???? + ???? = 0,
????
????
???? и ????
????
????
– многочлены степени ???? с неопределѐнными коэффициентами,
???? – наивысшая степень многочленов ????
????
???? , ????
????
???? , ???? = max⁡
(????, ????).

27
Задача 1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка:




0
dy
x
1
y
dx
y
1
x
2
2




Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на



2
2
x
1
y
1


. Получим уравнение с разделѐнными переменными:
0 1
1 2
2




dy
y
y
dx
x
x
Интегрируя обе части уравнения







0 1
1 2
2
dy
y
y
dx
x
x
, получаем выражение
C
y
x





2 2
1
ln
2 1
1
ln
2 1
Так как
C
– неопределенная постоянная, которая может принимать любые действительные значения, то для удобства преобразования запишем еѐ в той же форме, что и первообразные:
c
ln
2 1

,
0

c
Выражение в целом будет иметь следующий вид:
c
y
x
ln
2 1
1
ln
2 1
1
ln
2 1
2 2







1 1
ln
1 1
ln ln
2 1
1 1
ln
2 1
2 2
2 2
2 2
c
y
x
c
y
x
c
y
x













Итак, общим решением данного уравнения является функция
1 1
2 2
c
y
x



Проверим, имеет ли данное уравнение особые решения. При делении на
)
1
)(
1
(
2 2
x
y


мы могли потерять решения
,
1
,
1



y
y
1
,
1



x
x
, но они содержатся в общем интеграле (или в общем решении), если подставить значение
0

с
. Следовательно, особых решений данное уравнение не имеет.

28
Задача 2. Решить дифференциальное уравнение














x
y
ln
1
y
xy'
Решение. Разрешив данное уравнение относительно
y'
, мы получим однородное дифференциальное уравнение первого порядка:














x
y
ln
1
x
y
y'
Однородные уравнения решаются с помощью подстановки
u(x)
u
u,
x
y


, то есть
u
x
u
y
ux
y





,
После подстановки ???? и ????′ в уравнение получим
),
ln
1
(
u
u
u
x
u




,
ln u
u
u
u
x
u




,
ln u
u
x
u


u
u
dx
du
x
ln

,
udx
u
xdu
ln

Разделим переменные на
0
ln

u
xu
и получим
x
dx
u
u
du

ln
Проинтегрируем обе части уравнения



x
dx
u
u
du
ln
, отсюда
,
ln ln ln ln
c
x
u


так как
,
ln ln ln
cx
c
x


то
,
ln
cx
u

тогда
cx
e
u

.Заменим
x
y
u

и получим
cx
e
x
y

Следовательно, общее решение имеет вид:
cx
xe
y

Задача 3. Найти общее решение уравнения
3
x
y
y
x




29
Решение. Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию
y
и ее производную
y

в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку
uv
y

, где u и v – некоторые неизвестные функции аргумента х.
Если
uv
y

, то
 
v
u
v
u
uv
y







и данное уравнение примет вид
3
x
uv
v
xu
v
u
x





или
3
)
(
x
v
xu
u
u
x
v





. (1)
Так как искомая функция y представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно.
Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию u так, чтобы имело место равенство:
0



u
u
x
. (2)
При таком выборе функции u уравнение (1) примет вид:
3
x
v
xu


или
2
x
v
u


. (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно u и х. Решим это уравнение:
0


u
dx
du
x
;
x
u
dx
du

;
x
dx
u
du

;
x
ln
u
ln

;
x
u

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной
0

С
. Подставив в (3) найденное выражение для u, получим:
2
x
v
x


;
x
v


;
x
dx
dv

;
xdx
dv

Интегрируя, получаем
C
x
v


2 2
. Тогда
)
C
x
(
x
y


2 2
– общее решение данного уравнения.