Файл: Семененко В.А. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах учеб. пособие для студентов всех специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.06.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 0
|
S —сопротивление трения; |
|
|
Qe— |
X — восстанавливающая |
сила |
деформации |
|
е |
|
|
|
то закону Гука; |
|
|
|
е — податливость пружины; |
|
|
|
Q(t) — внешняя сила; |
|
|
|
X — перемещение массы, координата. |
||
Если в уравнении (1—65) в качестве переменной принять |
|||
т) |
dx |
|
|
скорость V |
= ----, то получим |
|
|
|
dt |
|
|
|
> n ^ - + S v + - j - j Vdt = Q(t). |
(1—66) |
Электрическая цепь, эквивалентная в математическом отношении данной механической цепи, может быть составле на из пассивных элементов R, L, С по двум системам электро механических аналогий. Внешняя сила Q моделируется в них или с помощью источника тока, или источника напряжения. В Первой системе аналогий роль обобщенной координаты х играет электрический заряд q, во второй — магнитное потокосцапление ф.
На рис. 1—63, 1—64 приведены электрические модели, составленные по первой и второй системам аналогий для рас-
ьА
Uft) |
1 |
|
т |
|
|
|
о |
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. |
1—63. |
Электриче- |
Рис. |
1—64. |
Электриче |
|
ская |
модель |
механиче- |
ская |
модель |
механиче |
|
ской |
системы |
• (рис. |
ской |
системы |
(рис. 1— |
|
1 — 62), построенная по |
62),.построенная по вто |
|||||
первой системе |
аналогий |
рой |
системе |
аналогий |
сматриваемой упругой механичеокой системы. По законам Кирхгофа можно составить уравнения для схемы рис. 1—63.
L - ^ r + i-R + -c - j idt = U{Q |
(1-67) |
и для схемы рис. 1—64
С |
+ SUg + -L. J и dt = |
(1-6 8 ) |
Сопоставляя уравнения (1—67) и (1—66), (1—68) и (1—66), можно установить следующую аналогию между механическими и электрическими величинами (см. табл.).
80
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
|
|
|
|
|
Электрическая цепь • |
|
Механическая! система |
1-я система |
2-я система |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
аналогий |
аналогий |
|
Обобщенная |
координата х |
Заряд |
q |
Магнитное потоко- |
||
Обобщенная |
скорость |
V |
Ток |
і |
сцепление 41 |
|
Напряжение U |
||||||
Обобщенная |
сила |
Q |
|
Напряжение U |
Ток і |
|
Обобщенная |
масса |
т |
|
Индуктивность L |
Емкость С |
|
Податливость |
е |
|
S |
Емкость С |
Индуктивность L |
|
Сопротивление трения |
Сопротивление R |
Проводимость „ |
Уравнению динамического .равновесия механической си стемы (1 — 66) соответствует в электрической модели, составленной но первой системе аналогий, уравнение 'баланса напряжений (1— 67) (второй закон Кирхгофа), а в модели, полученной іпо второй системе аналогий,— уравнение баланса токов (1—68) (первый закон Кирхгофа).
Определим параметры схемы рис. 1—63, полученной по первой системе аналогий. Введем константы подобия для соответственных величин в уравнениях (1—66) и (1—67).
іV *
(1-69)
Заменим переменные и параметры модели в уравнении (1—67) через соответствующие величины натуры и константы подобия. Тогда получим
|
Nt |
т |
dV_ |
1 |
S-V + |
|
NmN v |
dt |
NS N V |
||
|
|
|
|||
+ |
Ne |
|
|
|
(1-70) |
N v Nt |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Уравнение (1—70) тождественно уравнению (1—66) при следующих условиях:
Nj NQ |
_ N Q_ |
= 1, |
NeNQ |
Nm Nv |
NS NV |
= 1 , Nt - 1. (1—71) |
|
|
N v Nt |
6 -3 2 |
81 |
Подставив в уравнения (1—71) выражения для констант подобия (1—69), получим критерии подобия в следующем виде:
Qt _ |
Ши |
П2 |
. Q |
_ |
U |
|
П , = mV |
|
Li ’ |
51/ |
|
Ri ’ |
|
П 3 = |
Qe_ |
VC |
П 4 = |
t- tu. |
||
Vt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Для определения параметров модели необходимо исполь |
||||||
зовать индикаторные уравнения (1—71). Так |
как в четырех |
уравнениях шесть неизвестных величин, то две неизвестных константы подобия можно выбрать произвольно из конструк тивных соображений
Аналогично из анализа уравнений (1—66) и (1—68) могут быть найдены критерии подобия и рассчитаны параметры модели, полученной по второй системе аналогий.
Для составления электрических моделей механических систем, состоящих из упругих, инерционных и фрикционных и других элементов, широкое применение получил метод четырехполюсников, который состоит в том, что механические элементы, массы, трения и упругости заменяются электриче скими четырехполюсниками — аналогами согласно рис. 1—65.
М е х а н и ч е с к а я |
Э а е к х а р и я е с к а я |
м о д е л ь |
|
|||||
с и с т е м а |
|
/ с и с т е м а а н а л о г и и |
с?с и с т е м а а н а л о г и й |
|||||
|
|
|
||||||
|
е. |
|
0 |
* |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
—І С |
, |
і |
г |
||
О— |
О |
|||||||
|
|
|
' |
|
т |
* |
|
|
|
|
|
о |
|
t |
о |
|
|
^ 5 — г < |
|
MR г |
1 ' % |
і |
||||
і |
™ |
2 |
о |
^ |
Т |
2 |
|
|
0 — |
— |
О |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С-----------Q |
Ф |
|
Рис. 1—65. Схемы четырехполюсников, моделирующих отдельные элементы упругой механической системы
82
При этом узел сопряжения нескольких ветвей механической системы моделируется узлом электрической модели, в кото ром при первой системе аналогий сумма напряжений равна нулю, а при второй — сумма токов равна нулю.
Если полюс элемента механической системы жестко закреплен, то в электрической модели, составленной по пер вой системе аналогий, ему соответствуют разомкнутые выво ды четырехполюсника, а в модели, полученной по второй системе аналогий,— замкнутые накоротко выводы четырех полюсника. И наоборот, свободному полюсу механической системы в модели по первой системе аналогий соответствуют замкнутые накоротко выводы четырехполюсника, а в модели по второй системе аналогий — разомкнутые.
а
а)
Рис. 1—66. Эквивалентная схема упругой механической системы с одной степенью свободы и ее электрические модели, полученные методом четырехполюсника
На рис. 1—66 представлены схемы рассмотренной выше механической системы и ее моделей, полученных по первой (рис. 1—66,6) и второй (рис. 1—66, в) системам аналогий методом четырехполюсников. Как видно, в результате при-
6* |
83 |
менения метода четырехполюсников получены схемы моде лей, совпадающие со схемами рис. 1—63 и рис. 1—64.
При составлении электрических моделей механических систем достаточно методом четырехполюсников получить схему по одной из систем аналогий. В случае необходимости схема по другой системе аналогий может быть достаточно легко получена с использованием графического метода построения дуальных цепей. Сущность этого метода состоит в следующем. Внутри каждого контура исходной цепи и вне ее ставятся точки — узлы будущей дуальной цепи. Между этими точками проводятся линии, пересекающие все элементы исходной цепи так, чтобы каждая линия пересекала только один элемент и чтобы каждый элемент был пересечен лишь один раз. Затем, в местах пересечения необходимо поместить элементы дуальной цепи, замещающие элементы исходной цепи, как показано на рис. 1—65. Пример составления дуаль ной цепи показан на рис. 1—67.
§6—3. Моделирование физических полей
Вматематической физике для изучения поля составляется дифференциальное уравнение элементарного объема поля, которое, описывает все поля одной и той же природы неза висимо Ьт их геометрической конфигурации и условий их взаимодействия с окружающей средой. Чтобы выделить инте ресующее нас физическое поле, нужно, задать краевые усло вия, представляющие совокупность начальных и граничных условий. Затем находятся функции, являющиеся решением дифференциального уравнения и удовлетворяющие краевым условиям. Однако в большинстве практических задач зада ние краевых условий в аналитическом виде затруднительно и
84
тем более трудно определение искомых функций. Моделиро вание .решает эту задачу непосредственно путем эксперимен тального нахождения распределения значений искомых функ ций в '.моделируемой области поля.
С помощью электрических моделей успешно ірешают, в частности, задачи математической физики, описываемые уравнениями Лапласа, Пуассона и Фурье.
Уравнения Лапласа и Пуассона относятся к уравнениям
эллиптического типа. В уравнении Пуассона |
|
уЮ = а{х,у,г) |
(1—72) |
•правая часть определяет наличие источников, распределен ных в координатах х, у, z исследуемой области поля. Уравне ния Лапласа
|
Ѵ2/У = 0 |
> |
(1—73) |
|
является |
частным случаем уравнения |
Пуассона, |
когда |
пра |
вая'часть |
равна нулю. Уравнениями |
эллиптического |
типа |
описываются задачи стационарных электрических, магнитных, тепловых и других полей.
Уравнение Фурье |
< |
ѵ Ѵ = Ь ( х , у , г ) - ^ ~ . |
(1-74) |
a t |
|
относится к уравнениям параболического типа и описывает нестационарные режимы теплопроводности, диффузии, рас пространения электромагнитных волн в проводящих средах. В правую часть этого уравнения входит производная по вре мени от искомой функции с множителем, зависящим от ко ординат поля X, у, Z.
Таким образом, моделирование физических полей связа но с представлением процессов не только во времени, но и в пространстве. Существуют два метода-моделирования физи ческих полей: метод оплошных сред и метод электрических сеток. Остановимся подробнее на рассмотрении каждого из этих методов.
Метод сплошных сред. Моделью исследуемой физической области при этом явлеяется поле электрического ,тока в сплошной полупроводящей среде. В качестве среды может быть выбран жидкий электролит, залитый в сосуд из изоля тора, форма которого повторяет конфигурацию исследуемой
85-