Файл: Лурье Б.Я. Максимизация глубины обратной связи в усилителях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.06.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 1
характеристика (АФХ) L не охватывает точку (0 дБ, —180°). Так как Т (—іо) является комплексно-сопряженным к Г (ко), то обычно ограничиваются изображением лишь одной из зеркально-одинако вых половин диаграммы Найквиста для положительных частот.
З а п а с ы у с т о й ч и в о с т и . Разброс параметров |
тракта кон |
тура обратной связи, особенно цепи усиления, может |
быть весьма |
существенным. Чтобы при этом гарантировать устойчивость в ма лом, очевидно, необходимо введением запасов устойчивости очер тить границу запретной области, в которую не должна заходить диаграмма Найквиста. Выбирая запас устойчивости, учитывают также требования к устойчивости в целом и устойчивости в режи ме вынужденных колебаний при учете нелинейных свойств тракта обратной связи.
Предположенные Боде (21] запасы устойчивости по амплитуде JCÄHIO д Б и п о фазе г/тсяяс/б (рис. 1.8а, линия 1] гарантируют устой чивость линейной цепи при типичных величинах разбросов пара метров ламп и транзисторов и, в какой-то мере, устойчивость цепи в целом при типичных для усилителей характеристиках нелинейных элементов.
Дюрдот в [124] предложил граничную линию 2 (см. рис. 1.8а). Округ ленность ее вблизи критической точки целесообразна для цепей, в которых
уменьшение |
|Г| |
(из-за технологического |
разброса |
параметров) |
на частотах, при |
|||||
которых Т (іа>) |
близко |
подходит к |
критической |
точке, сопровождается |
умень |
|||||
шением ф. Впрочем, при значениях |
|Г-|, |
близкійх |
к единице, граничные лишит 1 |
|||||||
и 2 близки, и выбор той или иной |
формы определяется стремлением |
облегчить |
||||||||
теоретический анализ. |
|
|
|
в области частот, где 1741 ве |
||||||
Большее значение имеет отличие линий 2 и / |
||||||||||
лико. Как |
правило, |
проектировщики |
усилителей |
полагают |
согласно |
Боде |
||||
max|tp| = (1—г/)|180°. Дюрдот считает допустимым |
max|ф| = 180°, но |
эт.а |
реко |
|||||||
мендация приемлема лишь для некоторых частных схем. |
|
|
|
|||||||
Величина тах|ср| связана со свойствами нелинейных элементов цепи и с проблемами устойчивости в целом и устойчивости в режи ме вынужденных колебаний.
Если считать, что будут приняты специальные меры по обеспе чению устойчивости в целом, можно допустить любое значение mаXI ср[. Тогда запретную область вблизи критической точки сле дует оградить со всех сторон, т. е. сформулировать требования к Г (ію) так: должен выполняться критерий Найквиста и годограф Найквиста не должен заходить в прямоугольник klmn на L-плоско- сти с вершинами [і(1 ±у) ІВО3, ±х] (см. рис. 1.86).
В [120] Боде |
указывает, что, если допустить генерацию на высоких ча |
стотах далеко за |
рабочим диапазоном, то можно ограничиться запасами устой |
чивости только с одной стороны, т. е. считать до-.іаточным прямоугольник за пасов устойчивости с вершинами [і(1±і/) 180°, 0]; (і(1-±і/) 180°, х]. Такое опре деление запасов устойчивости дает существенные выходы в смысле достижимой глубины обратной связи, но требует ограничения амплитуды генерируемого сиг нала квазилинейными устройствами — термисторами (см. гл. 4). Это усложняет систему и уменьшает ее надежность. Промышленных усилителей, реализующих эту идею, насколько известно, нет.
Как уже отмечалось, диаграмма Найквиста может строиться и для других функций цепи W (входные иммитансы и возвратное от
— 12 —
ношение для них, коэффициенты или нммитансы передачи). В лю бом случае диаграмма Найквиста приводит к «травильным резуль татам, но неудачный выбор функции W может существенно ослож нить рассуждения и расчеты.
Нужно учитывать, что величины запасов устойчивости, опреде ленных при среднем значении параметров цепи, должны быть таки
ми, чтобы обеспечить устойчивость при суммарном разбросе вызываемом разбросами малостабильных элементов цепи, главным образом, усилительных элементов. В этой связи оказывается нуж ным определение чувствительностей 5, величины W по каждому і-му усилительному элементу. Если W = T для усилителя, этот расчет упрощается, так как по коэффициентам усиления каскадов все 5 і = 1. Для входного же иммитанса, например, при‘‘параллель ной глубокой отрицательной обратной связи Si = F(oo)~l по моду лю' мало, и поэтому допустимо, чтобы диаграмма Найквиста прохо дила близко от критической точки даже при сравнительно больших разбросах усиления усилительных элементов. Уже в этом случае расчеты оказываются значительно сложнее, чем для 'Случая W=T.
Определяющим является, однако, требование упрощения анали за-и синтеза -цепи в нелинейном режиме; видимо, и в этом случае наиболее удобна диаграмма Найквиста для Т.
Определение частотной характеристики Г (ко), соответствующей максимально возможной 'глубине обратной связи в устойчивой системе, основывается на уравнениях, связывающих усиление и фа зу коэффициента передачи по петле обратной связи.
|
1.4. СВЯЗЬ ФАЗЫ И УСИЛЕНИЯ |
С в о й с т в а |
ф у н к ц и и цепи. Если функция цепи Ѳ(і<о) = |
=/1 (со) +В (со) |
удовлетваряет условиям: |
|
А(со) = А(— со), |
|
В(со)= — В(— со), |
— 13 —
е (р ) не имеет особых точек при Rep>0, особенностей Ѳ на ію-оси дет, -или, во .всяком случае для каждой частоты мо1ігп (ш—т ) X
СО—►СОо
ХѲ(ісо) = 0, то функцию называют минимально фазовой и опіраіведлив ряд формул, связывающих вещественную и мнимую составляю
щие функции цепи.
Перечисленным условиям во всех случаях удовлетворяет иммитанс пассивного двухполюсника, если он ограничен (модуль его не обращается в оо на всей оси частот), а также логарифмическая постоянная передачи лестничного четырехполюсника. Во многих частных случаях нм удовлетворяют и иные функции цепи. Принад лежность функции цепи к минимально фазовым функциям можно определить либо непосредственно проверяя указанные выше усло вия [если известно аналитическое выражение для Ѳ(р)], либо ис пользуя критерии стр. 26.
И н т е г р а л ь н ы е с о о т н о ш е ни я м е ж д у с о с т а в л я ю щ и м и ф у н к ц и и Ѳ(ісо) в различных вариантах, удобных для решения различных связанных с синтезом усилителей задач, были
получены Боде анализом разложения Ѳ(ісо) |
вблизи со = оо вряд по |
|
отрицательным степеням ісо: |
|
|
Ѳ(іш)=Л„ + І + р - + |
. . . |
(1.21) |
Интеграл от Ѳ(р)—Л^ по замкнутому контуру вокруг правой p-полуплоскости, состоящему из іш-оси и полуокружности бесконеч но большого радиуса, согласно теореме Коши равен 0, так как функция Ѳ(р) —Лоо аналитическая внутри этого контура и на нем. Используя разложение (1.21), найдем(21, 22], что интеграл по полу окружности равен тіВее. Интеграл по іш-оси в пределах от —оо до оо равен удвоенному интегралу в пределах от 0 до оо от четной части функции Ѳ—Лес, т. е. от Л—Л». Отсюда
оо |
|
] ( Л - Л ш)гі(о = - ( я В да)/2. |
(1.22) |
. о
В частности, если © (ісо) =Z(ico) =R(a) +iZ((o) — сопротивление двухполюсника, состоящего из параллельных емкости С и другой ветви, сопротивление которой не обращается в 0 три №= 00 и огра ничено три івсех частотах, то вблизи ы= оо Z='l/koC + ..., т. е. Лсо= 0, Всо= —1/С и из (1.22) следует, что интеграл активного сопротив ления
^ Rd а — п/2С. |
(1.23) |
о
Это соотношение и интеграл проводимости дуальной цепи ши роко применяются при расчетах входной и выходной цепей усили телей, поскольку с величиной R связана величина активной мощ ности.
Если, например, С — емкость, шунтирующая выход управлявмото источника тока / (усилителя), а R ■— вещественная состав ляющая сопротивления четырехполюсной выходной цепи со сторо ны усилителя, то поскольку потерями в самой выходной цепи мож но обычно пренебречь, I2R = U2/R2, где U2—-выходное напряжение,
Rz — сопротивление нагрузки. Следовательно, |
U2 = I Y RR2 , т. е. |
для увеличения U2 необходимо увеличивать R, |
но оно ограничено |
соотношением (1.23). Таким образом, при широкой рабочей поло се частот R окажется малым, и именно это обстоятельство, а не по рог линейности усилительного прибора, окажется реальным ограни чением мощности выходного сигнала.
Отсюда и из теоремы взаимности следует, что если С — емкость,- шунтирующая высокоомный вход усилителя, R — вещественная составляющая сопротивленіия четы-рехполюсной -входной ц-епи без потерь со стороны усилителя, а Ri — внутреннее сопротивление ге нератора и / — его ток короткого замыкания, то напряжение на
входе усилителя U3 = I У RiR также возрастает с увеличением R. Для того чтобы величина R была в рабочем диапазоне частот
наибольшей, удовлетворяющей (1.23), необходимо, чтобы за пре делами рабочего диапазона частот Д = 0. Поэтому входные и вы ходные цепи усилителей с обратной связью для передачи сигнала з прямом направлении должны иметь характеристики, близкие к характеристикам фильтров с полосой прозрачности, соответствую щей рабочему диапазону частот. Входное сопротивление этих филь тров при последовательной обратной связи, например, оказывает ся при этом включенным последовательно в тракт обратной связи.
Частотные характеристики и меры по оптимизации передач k\ и ß (и .передач k\ и -ß), таким -образам, взаимосвязаны '[21].
Если Ѳ = Ѳнес= '4нее+ гВиес= 1п(1/р), где ДЯес — затухание несо гласованности, р — коэффициент отражения между сопротивлени ем Z двухполюсника, описанного выше, и единичным сопротивле нием, то вблизи си = оо:
Ѳ= 1п - -I-.Z In |
1 — і |
соС |
. 2 |
|
|
— 1 |
|
1 — Z |
1+ i--- |
соС |
|
|
|
соС |
|
т. е. Л« —0, Вж = — ^ I и тогда |
|
|
|
I AHecda = |
п/С. |
(1.24) |
|
о |
|
|
|
Это равенство справедливо, если нули разности 1-—Z(p) лежат в левой р-полуплоскости (это условие всегда можно выполнить при синтезе цепи), в противном случае правая часть равенства (1.24)
— -15 —
'уменьшается1). Соотношение (1.24) попользуется ери расчетах со гласованных с источником входных и согласованных с нагрузкой
выходных цепей. |
|
(1.22) |
для |
Ѳ= 1п/7 |
с учетом того, |
||
Использование ‘Соотношения |
|||||||
что при больших частотах |
|
|
|
|
k |
'\ |
k |
1п/7 = 1п(1 + Г) даІпГІ Н-------- да------- , т. е. |
|||||||
ѵ |
|
4 |
' |
1 |
(іш)'Ч |
(і со)« |
|
і4оо= 0, ßoo= 0, приводит к важному выводу: при п ^ 2 |
|
|
|||||
J |
ln I |
I с? со == 0, |
|
|
|
(1.25) |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
т. е. площадь под кривой глубины обратной связи, выраженной в
логарифмических единицах, при линейном масштабе |
оси |
частот |
|||
равна 0 |
и, следовательно, если в каком-либо |
интервале |
частот |
||
l n | F | >0, |
т. е. | Е] > 1, то существует |
интервал |
частот, |
пде |
|/г|< 1 . |
Если в качестве подынтегральной |
функции |
взять |
Ѳ/р, то и в |
||
этом случае интеграл по замкнутому контуру вокруг правой р-пло- скости ‘равен 0. Но для того, чтобы функция Ѳ/р была аналитической на контуре интегрирования, начало координат следует обойти спра ва по полуокружности бесконечно малого радиуса, интеграл по ко торой равен пАо (здесь Ло — значение А при р = 0). Интеграл по большой дуге вокруг полуплоскости равен —яАт, и тогда половина интеграла вдоль оси іы от —оо до оо оказывается равной
оо |
оо |
|
j - ^ ( ü = |
^ B ( v ) d v = - f ( A 9 -Ao), |
(1.26) |
О— со
где ѵ = 1пш.
Из этого соотношения, известного как интеграл фазы, вытекает, например, что разность интегралов фазы для двух частотных ха рактеристик Л*1) и Л(2>с одинаковой асимптотой (одинаковые Л«,) равна >(п/2)'(А{,1)—Л<2) ). Если численно выразить величины
в дБ, град, а логарифмическую ось частот разметить в октавах, то
Л<» — Л<2>=0,082 J |ß < » _ ß(2)|d jog2C0. |
(Е27) |
— Со |
|
Применительно к ЛАХ Т это означает, что увеличение глубины обратной связи в рабочем диапазоне частот связано с увеличением площади под фазовой характеристикой, и если для обеспечения условий устойчивости фаза должна быть ограничена, то оказывает ся ограниченной и глубина обратной связи. Максимально возмож ной глубине обратной связи соответствует физически реализуемая цепь е максимально возможной на всех частотах фазой.
Если в качестве предынтегральной функции взять (Ѳ—
- 1) В соответствии с теоремой .вычетов (01, '22].
— 16 —
—Аж)! V I—со2, то равны нулю и интеграл по всему контуру и ин теграл по большой дуге, поэтому и
і |
0 — А оо |
da = 0. |
(1.28) |
|
1^1 — со2 |
||||
|
|
|||
Подынтепральное выражение имеет точки ветвления |
со = ± 1. Пт- |
|||
этому следует правильно выбрать знаки перед корнем квадратным для того, чтобы контур интегрирования лежал на одном листе римановой поверхности.
Выражение |
\ r 1—со2 |
вещественно |
при |
|со|<1 |
и мнимо при |
|||
I со I >1." Приравнивая |
с |
учетом этого нулю мнимую часть (1.28), |
||||||
видим, что знаменатель |
|
(1.28) должен быть нечетной функцией час |
||||||
тоты при I со I > |
1 и четной при |
| со | < |
1. Используя это и приравни |
|||||
вая нулю вещественную часть (1.28), находим, что |
|
|||||||
|
I |
„ |
я |
|
оо |
|
|
|
|
|
/1 |
|
■dсо = |
— |* |
^ |
—d со. |
(1-29) |
|
|
|
|
|||||
|
о |
V \ — |
СО2 |
.) |
V 1 — |
0)2 |
|
|
|
' |
|
|
1 |
|
|
|
|
Если фаза за пределами рабочего диапазона частот [0,1] должна быть постоянной (для обеспечения максимума интеграла фазы, т. е. максимальной глубины обратной связи или максимальной величи ны сопротивления межкаскадной двухполюсной цепи), то постоян
на и левая часть (1.29). Так как dal У 1—со2 = d arc sin со, то это равносильно утверждению, что площадь под характеристикой, изо
бражающей зависимости |
А от arc sin со, должка быть постоянной. |
О с н о в н о е с о о т и о ш е н и е. Интегрируя функцию (Ѳ—Ас) X |
|
2шс |
контуру вокруг правой полуплоскости, |
X ------ г по замкнутому |
|
CÜS-CÜ^ |
|
включающему полуокружность бесконечно большого радиуса, две полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в полюсах подынтегральной функции ісо, —ісо и соединяющие их участки ісо-оси, Боде получил с учетом аналитичности функции внутри кон тура и на нем и свойств составляющих функции выражение для фазы на частоте сос.‘
оо
(1.30)
Из этой формулы видно, в частности, что если А постоянно в ин тервале от 0 до CÜ03>O>C, то можно заменить нижний предел интег рирования на соо и можно пренебречь членом со20 в знаменателе
подынтегральной функции, и тогда Вс линейно зависит от ©с. По этому в системах, подобных фильтру нижних частот, фаза на ма лых частотах линейно зависит от частоты. Учитывая, что
d ш |
— lncth— ф с, |
|
|
|
2 |
іі .-Л’HftV: |
? |
— |
17 — |
*1і ХНИ*.• fl'VV |
I |
|
|
»•»«чек* ССХЛ |
i |
|
|
.-ігілземПЯЯР |
i |
sjtf'c А.іЬНОГО ЗАЛА I
