Файл: Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны [монография].pdf

но, Q (z) монотонно убывает. Из этого следует, что на интервале [0,1] число нулей Ѵк3) совпадает с числом точек — я/2 (2п + 1) на отрезке [— (к — 1) я, 0]. Очевидно, что число таких точек рав­ но к. Нетрудно показать и обратное, а именно, что если при ка­

(2.3). Собственные значения находим методом подбора; интегри­

для которой получаем линейное уравнение первого порядка с

Начальное значение % (1) — произвольная константа. В процес­ се вычисления r\h в любой заданной точке zs определяются Vks)

ихгѵ.

На практике нет необходимости начинать интегрирование урав­

нений (2.9), (2.13) с точки z = 1, поскольку во многих случаях еще значительно выше этой точки решение монотонно убывает по экспоненциальному закону и становится очень малым (по сравне­ нию со своим максимальным значением). В [4] описан способ вы­ бора точки начала интегрирования при заданных к, со и £, позво­ ляющий существенно сократить время счета без внесения погреш­ ностей в решение. Точка начала интегрирования zH лежит всегда

32

и велико. Решение в этих зонах сильно осциллирует (особен­ но при больших /с), что резко замедляет численное интегрирование прогоночного уравнения (2.9). В то же время, если только ско­

где с и a„ — параметры, определяемое из свойства непрерывности

ЪЦг)

С помощью формулы (2.15) мы можем «проскакивать» участки применимости асимптотики при интегрировании уравнения (2.9) для Q; необходимо только вычислять значения интегралов

Аналогичным путем можно получить формулу, связывающую n s (zB) и T]f t (zH ), и «проскакивать» те же участки при интегрирова­ нии уравнения для T)f c , когда co^L найдено. Обоснование критериев,

Нетрудно показать, что применение аналогичных формул в слу­ чае слоистой аппроксимации позволяет зафиксировать номер отыс-

киваемого значения и тем самым устранить отмеченный выше недо­ статок способа Томсона — Хаскелла.

Волны Лява в неоднородном плоском слое. Если вместо одно­ родного полупространства рассмотреть неоднородный слой мощ­ ностью Z, обе границы которого свободны от напряжений, второе граничное условие примет вид

Это приводит к уравнению частот в слоистой аппроксимации вида

примыкающий к нижней границе слоя, и на этом участке оказы­ вается точка поворота z уравнения (2.1), здесь также допустим перенос начала интегрирования из z = 1 в некую точку zH, лежа­ щую в интервале между точкой поворота z' и 1. При этом, однако,

В Земле из-за наличия жидкого ядра распространение волн Лява

слоя свободны от касательных напряжений. Можно показать [24],

задача для шарового слоя сводится к рассмотренной выше задаче для неоднородного плоского слоя, заключенного в интервале 0 <І у ^ In R0/Rn между двумя свободными границами. Для нее точно так же применим метод прогонки. Можно решать эту зада­ чу и в физических координатах; соответствующий прогоночный алгоритм описан в работе [21]; уравнение прогонки незначитель­ но»: отличается от плоского случая.

34

Программы расчета волн Лява. Описанные выше алгоритмы численного интегрирования были реализованы в две программы на языке М-20 — БЭСМ-4, широко используемые в настоящей ра­ боте. Одна из этих программ [А] рассчитывает волны Лява в полу­ пространстве, другая [21] — в шаровом слое (в физических коор­ динатах). Скоростной и плотностной разрезы задаются в виде таб­ лиц; интерполяция между точками таблиц — линейная. Програм­ мы обеспечивают для заданного набора номеров к, периодов Т, глубин источника h3 или H8 расчет фазовых и групповых скоро­ стей, производных фазовой скорости по параметрам разреза (см. ниже § 2), спектральных амплитуд (со) для сосредоточенной на глубине hs (Hs) горизонтальной силы (без учета геометриче­ ского расхождения) и их производных по глубине.

Помимо этих программ для некоторых расчетов применялись их модификации, составленные в ЛГУ им. А. А. Жданова [7]. Эти модификации используют на участках быстрой осцилляции реше­ ний описанный выше асимптотический метод и существенно сокра­

Проведем в (2.21) — (2.23) такую же замену переменных и коэф-

2* 35