ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
Критерии и симплексы подобия. Д л я подобия явлении необ ходимо, чтобы условия однозначности были подобны, т. е. про порциональны. Пропорциональность условий однозначности по лучают умножением условий однозначности на коэффициенты, называемые множителями преобразования . Например, геомет рическое подобие кузнечных слитков определяют отношением их
средних диаметров Ki=-DcF |
и длин Ki=—— |
(Ki—геометрический |
|
d' |
l |
' |
|
множитель преобразования) . Отношение |
начальных |
температур |
|
|
А |
*ое ч и |
|
на поверхности слитков и |
печи / ( / = . ' |
и К>= |
-они чхоэ |
|
t0 |
'печи |
|
|
|
IО |
|
житель преобразования температур. Отношение физических
свойств, например температуропроводности |
Ка~ |
—— множитель |
|||||
|
|
|
|
|
|
а' |
|
преобразования |
физического |
свойства металла |
слитка — свой |
||||
ства его температуропроводности. Множитель |
преобразования |
||||||
времени |
есть отношение К-с = |
—, |
которое |
называется |
коэффи - |
||
|
|
|
т |
|
|
|
|
циентом гомохронности подобных процессов. |
|
|
|||||
В теории подобия доказывается, что д л я подобия двух физи |
|||||||
ческих |
явлений |
необходимо, |
но |
недостаточно |
одного |
подобия |
|
условий однозначности. Н у ж н о , чтобы исходные дифференциаль ные уравнения, описывающие оба подобных явления, тожде -
стенно совпадали. Так как и в исходных |
дифференциальных |
||||
уравнениях |
и |
в уравнениях условий однозначности содержатся |
|||
одни |
и |
те |
ж е |
величины (температура, время, физические свой |
|
ства |
и |
т. |
д . ), |
то созместить требования |
пропорциональности |
условий однозначности и тождественности исходных дифферен циальных уравнений не простая задача . Д л я этого необходимо ограничить зыбор множителей преобразования, что достигается специальным анализом системы уравнений. При анализе выяв ляют безразмерные комбинации величин, приводящие исходные дифференциальные уравнения двух единичных явлений к тож деству. Эти безразмерные комбинации величин называются кри
териями подобия. Если в комбинациях имеются |
однородные |
|||||
величины |
(например, только температура), то они |
называются |
||||
симплексами |
подобия. |
|
|
|
||
Теоремы подобия. Основой практического применения теории |
||||||
подобия |
д л я |
решения |
конкретных научно-технических |
з а д а ч |
||
с л у ж а т так |
называемые |
теоремы подобия. |
|
|
||
П е р в а я |
теорема подобия, названная в честь ее |
автора |
тео |
|||
ремой подобия М. В. Кирпичева, определяет свойства, кото рыми д о л ж н ы обладать подобные явления. Она гласит, что если физические явления подобны друг другу, то все одноименные
критерии |
подобия |
этих явлений имеют |
одинаковую |
величину, |
например, |
Fo = F o ' = i d e m . |
|
|
|
Вторая |
теорема |
подобия называется |
п-теоремой и |
р а з р а б о - |
т а на Э. Букингемом . Она устанавливает, что интеграл системы уравнений, описывающих явление, может быть представлен в виде функции между критериями подобия. Другими словами, уравнения, связывающие п физических величин, среди которых k
величин имеют независимую размерность, всегда |
преобразуются |
||||||
к системе уравнений, в которую входят п—k |
критериев |
и |
|||||
симплексов. |
|
|
|
|
|
|
|
Третья |
теорема |
подобия сформулирована М. В. Кирпичевым |
|||||
и А. А. Гухманом |
и является основной. Согласно |
этой |
теореме, |
||||
д в а явления подобны, если они описываются одной |
и |
той |
ж е |
||||
системой |
уравнений ( п р и н а д л е ж а т |
к одному и тому |
ж е классу |
||||
явлений), |
имеют подобные условия |
однозначности |
( п р и н а д л е ж а т |
||||
к одной и той ж е группе явлений) и равные определяющие кри терии подобия.
25. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ
Если физический процесс имеет математическое описание в виде системы исходных уравнений и условий однозначности, то критерии подобия могут быть получены методами подобных преобразований этой системы. Существует несколько методов таких преобразований .
Метод интегральных аналогов заключается в том, что в си стеме дифференциальных уравнений и условий однозначности, описывающих физический процесс, производные от величин
м о ж н о заменить их интегральными |
аналогами, т. е. отношением |
||||||||||||
этих |
величин. З а т е м |
делением |
полученных |
равенств |
на один |
||||||||
из интегральных |
аналогов |
получают |
безразмерные комплексы, |
||||||||||
преобразование которых дает критерии подобия. |
|
|
|||||||||||
Пусть необходимо найти комбинации множителей |
(крите |
||||||||||||
риев |
и симплексов), |
необходимых |
д л я |
подобия |
двух |
конкрет |
|||||||
ных процессов нагрева кузнечных заготовок в |
нагревательной |
||||||||||||
печи с постоянной температурой . Исходное |
дифференциальное |
||||||||||||
уравнение |
используем д л я |
трехмерной |
задачи . |
Д л я |
первого |
||||||||
(натура) |
процесса |
нагрева |
кузнечных |
заготовок |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(133) |
З а п и ш е м условия |
однозначности. |
Н а ч а л ь н о е |
условие |
||||||||||
|
|
|
|
t |т=о = |
= |
const. |
|
|
(134) |
||||
Возьмем граничное условие третьего рода с суммарным |
|||||||||||||
теплообменом излучением и конвекцией [53] |
|
|
|
||||||||||
|
|
«сум & — t a |
(т)] = |
— а,, |
|
|
|
|
|
|
(135) |
||
|
|
|
|
|
|
'м |
|
|
|
|
|
|
|
Условие геометрического |
подобия |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
А. = Ь- |
= |
|
|
|
•п |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1[ |
1'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
И т а к, необходимо |
проанализировать систему |
уравнений |
|||
(133) — (136) |
методом интегральных аналогов для |
нахождения |
|||
критериев и симплексов |
подобия. |
|
|
||
Вначале |
найдем |
интегральные аналоги. Д л я этого, отбросив |
|||
из уравнений знаки дифференциалов, интегралов, |
сумм, |
индек |
|||
сов и постоянных коэффициентов, заменим координаты |
харак |
||||
терным линейным |
размером /: |
|
|
||
|
-L |
_ |
|
-L • |
|
|
|
|
т |
~ |
а |
р ' |
|
|
|
|
t |т=о = |
'о = |
const; |
|
|
||
|
а с ум t ~ |
|
\ ч ~Y > |
|
|
||
|
А. = J L = . . . |
= |
А = const. |
|
|||
Теперь нужно привести эти четыре уравнения к безразмер |
|||||||
ному |
виду, дл я чего разделим |
к а ж д ы й |
член |
уравнения на |
|||
какой-либо другой, например, |
все |
члены |
правых |
частей у р а в |
|||
нения |
на левые части |
|
|
|
|
|
|
|
,1 |
= |
- ^ ; |
|
|
||
|
1 = |
-t* - ; |
|
|
|||
|
і |
= |
|
^ м |
|
|
|
|
|
~ |
|
la |
' |
|
|
А н а л и з и р уя таким ж е образом уравнения, составленные д л я второго процесса нагрева, подобного первому процессу нагрева, найдем аналогичные безразмерные в ы р а ж е н и я :
1
К.
1
Г а '
Уравнения первого и второго процессов тождественно совпа дут и условия однозначности будут пропорциональны, если м ы соответственно приравняем полученные безразмерые комби нации:
ат _ а У |
i o _ _ J ° _ |
|
Га' ; |
/* ~~ (/')а ' |
t ~ Ґ ' |
la ~ |
|
_ к |
_ |
_ Jn__ |
(137) |
И з этих |
равенств видно, что, |
как |
бы ни |
изменялись |
в про |
странстве и |
во времени в первом |
и во |
втором |
процессах |
нагрева |
величины, входящие в безразмерные комбинации, в соответ
ствующих |
точках |
пространства |
и в пропорциональные |
(гомо- |
|
хронные) |
моменты |
времени эти комбинации должны быть |
|||
равны. Другими |
словами, эти безразмерые комбинации |
величин |
|||
т а к изменяются |
в |
пространстве |
и во времени, что в |
соответ |
|
ствующих точках в гомохронные моменты времени они будут равны между собой. В отличие от понятия константа (неизме няемость) такое подвижное во времени постоянство принято
обозначать термином |
idem |
(одно |
и то |
ж е ) . |
|
|
||||||
Перепишем |
равенство |
(5) |
в следующем виде: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
idem; |
|
|
|
(138) |
|
|
|
|
|
|
А - = |
idem; |
|
|
|
(139) |
||
|
|
- ^ = i d e m |
или |
^ - / = |
idem; |
|
(140) |
|||||
|
|
|
la |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— п = const, |
|
|
||
т. е. получены критерии и симплексы |
подобия. Выражение (138) |
|||||||||||
есть известный |
критерий |
подобия |
Фурье ^Fo = - p - j , |
(140) — |
||||||||
критерий |
подобия |
Био ^ B i = |
•—- |
|
( 1 3 9 ) — с и м п л е к с |
подобия |
||||||
температурного |
поля, |
( 1 3 6 ) — с и м п л е к с |
масштаба |
геометриче |
||||||||
ского подобия или просто масштаб геометрического подобия. |
||||||||||||
Метод масштабных преобразований Л . С. Эйгенсопа |
заклю |
|||||||||||
чается в |
том, что |
все |
величины, |
входящие |
в систему |
уравнений, |
||||||
у м н о ж а ю т на соответствующие масштабы подобия [89], Полу ченные пропорциональные величины приравнивают одну к дру гой, получая систему равенств. Делением одной части каждого равенства на другую получают безразмерные величины, равные
единице. В эти величины подставляют |
соответствующим |
им |
||||||
параметры |
и после группировки находят критерии подобия. |
|||||||
|
Приведем пример нахождения описываемым методом крите |
|||||||
рия .подобия из уравнения |
движения |
Навье - Стокса: |
|
|||||
|
|
dm* |
dwv |
dw7 |
|
1 |
dp |
( H i ) |
|
|
+ ж» |
^ |
+ ^ i f = T 4 + W 4 . |
||||
|
|
~дГ "Г" у |
дІГ^""* дг |
~ |
р |
• дх |
|
|
где |
wx, Уі |
г — проекции |
скорости |
движения на координатные |
||||
|
|
оси; |
|
|
|
|
|
|
р— плотность, кг/м 3 ;
р— давление, кГс/м 2 ;
v— кинематическая вязкость в кг - с/м 2 ;
V 2 — оператор Л а п л а с а .
Введем масштабные |
коэффициенты |
/о, и0, ро, v 0 |
и ро и за |
||
пишем пропорциональные |
величины: |
|
|
||
х = l0X, wx = u0Wx, |
р = р0Р, |
|
|||
v = v0 /V, p = p0R, |
у = / 0 К, wy = « 0 W y > |
|
|||
z = l0Z; wz |
= u0Wz. |
|
|||
З а п и ш е м уравнение |
(141) |
в |
пропорциональных |
величинах, |
|
вынося масштабны е коэффициенты левой части уравнения за скобки:
W T ^ - |
+ W V - ^ \ |
= |
L . |
J L |
+ ^ l N 4 W X . |
(142) |
' а Х |
dZ J |
pBt0 |
R |
дХ |
/2 |
|
Чтобы физические процессы, описываемые уравнениями (141)
•« (142), |
были подобны, необходима их тождественность. |
Д л я |
||||||
этого |
коэффиценты при членах уравнения (142) д о л ж н ы |
быть |
||||||
равны, т. е. д о л ж н ы |
быть равны |
пропорциональные |
величины |
|||||
|
|
|
и2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
"о |
Ро |
. vo"o |
|
|
|
В |
это |
равенство |
подставляем |
соответствующие |
им |
пара |
||
м е т р ы : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О)3 |
р |
VW |
|
|
|
Д е л я |
второй член полученного |
равенства на |
первый, по |
|||||
л у ч и м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
pw2 |
|
|
|
|
т . е. критерий подобия Эйлера |
Еи= — ^ — , в ы р а ж а ю щ и й |
подобие |
||||||
движения |
жидкости . |
|
|
|
|
|
|
|
Метод |
приведения |
уравнений к безразмерному |
виду |
отли |
||||
чается от метода масштабны х преобразований тем , что про порциональные величины у членов уравнений приводятся к
безразмерному |
виду. |
|
|
|
|
Пусть требуется найти критерий подобия граничных условий, |
|||||
определяемых |
уравнением |
|
|
|
|
|
- l ^ = a |
( t r - Q . |
|
(143) |
|
|
on |
|
|
|
|
Введем масштабны е коэффициенты |
Я,о, to, |
п0. аэ и |
запишем |
||
пропорциональные величины |
%=XqL, |
t=toT, |
n=ru\N, |
a—aoA. |
|
Т о г д а уравнение (143) будет иметь вид
- \ L - ^ . ^ - = aQAt0(RF-TN). |
(144) |