Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf

(d

----!-----— e px0 x\ (Так

как функция

ft сходится в метрике

V

r0p+2

1

Z.f [0, эо )

к функции s).

Реакция разности у (х) — у (0) при этом

сходится к реакции звена с передаточной

функцией d (1 — е

-рт

'1Х),

т.

е. к реакции по этому каналу системы (П.2.16).

1 + M2 +dftMf r

( l + Ml)(l+ ftM fr/2)

■VT

1-f- AMaf /2

1-pMi+dftMf г

+

Z

---------------- ~ X

a=

11+ Ma + rfftMaP

X Ma (i+ ««)^r M W

1 +M a) u? (ftS > -s)

(AoV (O)-ftoV (0)) = d

1 + AMf r/2

1 + M 2 + dftM|p

(П.2.26)

1 + AM?r/2

+ AM(W2

І+ЛД + dAMfp

+ a =2l I + Ма 4

-X

~ г

X ( / - ( f t ( « ) _ s)

ма-о

d;

([AcV W -A o V

H . )

W - A o V

(0)]) =

(0 )]-tfto V

r Gp(^, р) =(I —М)

-f М + dAT г Ао (^—т0х—х_)

_ _ L e - P ( T-

- Т-х) (i + b e - ^ x ) ] ;

(П.2.27)

AM

J

+

^ [Л° (t—x+x) + a h 0 (t—т + т _ ж)][,

,

^

,,

f2Mdrh0 (t—t 0x —T _)

' G p

(*• 0 = (1 -M )

----л , n , JU _

m

X

I.

l + tA + dkTr

X[h0 (t— t _ + T

- x) + bh0 (t—x+x —T _ ) ] | .

Из

(П.2.27)

видно,

что реакции у (х) на

воздействия і;, пе и

hGJ

(°’ ^ =

1 -р kт

dr [ha (t —xox) —ha (0] —

1 +М -\-dkTr

1

Ш Л2 (t, x+x, т _ ж, т —тж)

;

2Mdr

(П.2.28)

hGp (*,

t ) ~ h Gp (0, 0 = ( 1 - M ) { - 1 + M +

X

dkTr

X [h0 (t— т 0ж —1 _ )— h0 (t—t _ ) ]

—

2 (2 + d£T r)

т_ж)—

hx (t—т _ + т _ ж,

(1+M) (l+ M + d*Tr)

ab

h2 (t—t_ + т _ ж, т _ ж, т+ж, 0)

,

ш

где h2 (t, Ѳь Ѳ2, Ѳ) =

hx (t,

0!) —

К ( t - Q x-

Ѳ,

Ѳ2) (Ѳ{ > 0 , і =

= 1, 2; Ѳ> 0).

02

Функция hx (t , т_ж) имеет в Lx[0,

оо) ограниченную

при М-»0

норму Ьх (т_ж) =

тож

1 +

М -р dkT г

Р>ж .

Ее первообразная

2а

2

+ dkT г

м - >

о 4

gi{t, т _ ж) = J

(и , т _ ж)гі«при М->0 сходится по норме

простран-

о

ства Lj [0, эо) к функции s (() - ^ ( 1 —е~2/^х°).

К той же

функции

4

На рис. П.2.1,а показан вид

функций hx {t, х_)

и gi(t, х_),

а также вид предельной для gi(t, х_) функции.

Функции h2j (X, t ) = * - ^ h 2 (t,

х+ж, х_ж, х —хж) и

й2р (*, 0 =

U2 J

М =

+ M + d f t T r

rn

„

т ож

(2то—Тож)

2 (2 + d*Tr)(l

М 2)

т ° *

— г °х '

--------- ^

л

м - >

о

4

т2

1 + М + dkTr

&2 Р (х) :

10Х

-----

. Функции k2h (х,

t) —

2(1 —М2)

2 + d£T

t

м -

4

t—т

=

J

£2ä (*. и) du {k—J ,

p) заключены между s (t) b2u (x) [1—(ab)

T ]

o

и

% W

[ 1 - H ) (<+T)/T] s ( 0

и вместе с ними

сходятся в метрике

L\ [0, 0°) \k<ig{x, t)

к

—Т°^—

(і —eT 2t/u) s (t) и k2p (x, t) —K

X2

( l —e— 2t!x«) s (t) . На рис. П.2.1 б,

в

показан вид этих функ-

——

4

ций для х =

1.

Из сходимости

функций

g1 (t — х_ +

х_х,

х_ ж)

и k2h (х, О

(А =

<7, р)

следует сходимость реакций у (х)

— у (0) на воздействия

ij

и ке из

класса Fs =

з

к реакциям звеньев с передаточными

П Ф;

і= і

1

функциями

соответственно — dr

О

e~ pV

)

1 -

+

ТоР +

2

1— е

,

Чх (2 х0 — хож) р2з

PT°X

ЧхЦ

зж Р +

4'

2k (х0р+2)

и — I dr

XqP+ 2

2k

т0р+2

/

оі'т *

^

к реакции звена

с передаточной функцией

- рт"

dr (1 — е

0JC) +

.

W

-J , т. е. к реакции по этому каналу системы (П.2.16).

+

Исследование

асимптотических свойств

реакций потока газа

ченных по

модулю функций из R сходимость реакций

потока,

равномерная

по t и F,

имеет место лишь по каналам г); -*■ т] {х)

и т]г -» I (х);

при этом реакции сходятся к реакциям по тем же ка­

налам системы (П.2.16),

соответствующей

М= 0. Для

каналов

же ij -> у (х) — у (0)

и

ле -> у (х) = у (0)

сходимость

имеет

го сечения до

выходного. Ту

же постоянную времени имеют звенья,

соответствующие

пределам

при М -> 0

реакций

у (х)

(х ^ [0,

/])

на воздействие т]*

(из

класса

Ft); разность же

у (х) — у (0) схо­

дится

к реакции

той

же

разности

на то же воздействие в систе­

ме (П.2.16).

особенность

асимптотики

исследуемого по­

Отметим еще одну

тока газа: для выходного

сечения (х ~= I)

реакции т| (х)

и і (х)

на

ij, яе и Iі ^= ле сходятся при М ->- 0 на

более широком классе воз­

действий, чем для промежуточных сечений [х(Д0, /)].

Замечание. Классы входных воздействий, для которых уста­

навливается сходимость (при М ->

0)

реакций

газового потока,

можно расширить, если ввести

в рассмотрение подкласс V класса

F всех

функций,

имеющих

ограниченную

(общей для

класса

V

константой) вариацию на [0,

оо ), и

подкласс V;

класса F (і >

1)

всех функций,

имеющих

ограниченную

[общей

для

класса

Ѵі

константой] вариацию (на [0,

оо )] і-й производной.

Действительно, переходные функции системы (П.2.6) и их

предельные (при М -»

0) функции относятся к классу N функций

разную и абсолютно

непрерывную составляющие. Реакция звена

с переходной функцией Л из этого класса на воздействие

F может

быть представлена в

виде

t

z(t)=^\f ( t - u )d h (u )

(П.2.29)

I г (<) I <

sup

\h(u)\U™f.

(П.2.30)

о < и < /

t

t

z (0 = —

(u)df{t- « ) = { g (t —u ) d f (и),

(П.2.31)

о

о