Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 200
Скачиваний: 0
П о э т о м у за д а ч а К ош и д л я си ст ем ы ( П .2 .6 ) и м е е т р е ш е н и е
у(х, |
р) |
ехр |
ѵ0Чах |
{даЕ - А ) сту(0, р), |
(П.2.9) |
|
|
П (<7а-?р) |
|
|
|
|
|
Р^а |
|
|
|
где (qaE — А)с = |
[(qaE — Л)с |
], (qaE — А)%, — алгеб- |
|||
раическое |
|
; k= Iн-3 kj >/ = 1 н- 3 |
матрице |
||
дополнение |
элемента |
qa^hj — akj в |
|||
qaE — А, Sfrj— символ Кронекера; т — символ транспонирования.
Так как ранг матрицы qaE — А равен 2, матрица (qaE — Л)с
имеет ненулевые элементы, и поэтому в выражениях (П.2.9) |
присут |
ствуют слагаемые с множителем ехр{(р/с0) [М /(1 — М)] |
х}. Это |
означает, что изучаемая система не может быть представлена как совокупность детектирующих звеньев передачи от (0) к yj (х) с импульсными переходными функциями из класса обобщенных функций с неотрицательным носителем, обозначаемого ниже R. Для получения представления нашей системы в виде совокупности звеньев передачи для (П.2.6) должна ставиться и решаться краевая задача, соответствующая способу связи потока с внешней средой. Ограничимся следующим видом граничных условий для системы (П.2.6), обычным в физических задачах:
|
31(0, t) = m(t); |
з(о, |
о = ч(0; |
|
|
|
|
||
|
|
з |
|
|
f(t), |
|
|
|
|
|
|
y i cj y 1{l,t) = |
|
|
(П.2.10) |
||||
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
где г)г,Lг, / — произвольные функции времени |
(из |
класса |
R); |
||||||
с j — заданные |
константы; |
сечение |
х = I будем |
называть |
вы |
||||
ходом потока. |
Матрица |
(qaE — А)с в нашем |
случае |
имеет вид |
|||||
|
|
|
а2 |
|
1-КЗ), |
|
(П .2.11) |
||
|
|
|
аЗ |
|
|
|
|
|
|
где b-a — (bjg) == ((?„ |
Е — '4)‘5j)T |
— ненулевой |
(при |
малых |
М) |
||||
;/=іч-з |
/Ііч-з |
|
|
|
|
|
|
|
|
собственный вектор А, соответствующий собственному значению qa<
I
Ь.т=
kT г
!—М2
~ d
1Ar ki dk'j, 1-f k’t
\
; b.
|
M |
|
1—M |
1 +M -\-dkTr |
— kTr |
1—M2 |
(1- -M)(l+A,) |
|
k^. |
|
1 -|- |
2 3 6
|
|
M |
|
|
|
1 + |
М |
b.o-- |
-M+ dkTr |
|
I 4~ kj |
1 -M a |
(1 + М ) ( 1 |
+ k i ) » ^i2— kTr |
1 + ky
1 + kT
"feT
. ____ d (14~&t) ^2 2 - l + M + d k tr '
d ( l + k i )
A,3 1—M -\-dkTr '.
л _ |
(1 ~hfeT) (I ~\-dk}Ar) |
2 3 _ _ йМ(1-фМ + d k Tr) ’
Л33 —£M (1—M -\-dkTr)
В силу линейной независимости векторов Ь-а (а = l-f-3)
з |
Р |
ехр ( — qa X |
|
jmdУ |
ѵо |
^ и° — ' |
является ненулевой целой функцией р, ипоэтому третье из условий
(П.2.10) позволяет исключить из (П.2.9) у (0, р) при любом ненуле вом векторе с. Следовательно, при таком выборе с краевая задача (П.2.10) имеет единственное решение
У ( х , р ) ==
1 |
X |
|
|
|
|
|
|
Dip) А |
Д , |
|
|
|
|
||
X { |
/ (р) |
ехр |
{qax—qi I) |
|
2 |
|
Уь (°> Р) |
х |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
*= 2,3 |
|
|||
ехр |
Р |
|
К х + У у 1~ |
Яг /) |
|
|
|
|
|
|||
L |
|
|
|
|
|
(п-212) |
||||||
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ѵ^а |
|
|
«2ѵ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
- |
2 |
(С, Ь-у ) |
|
ехр |
|
|
{Чу — Яг) I |
||||
|
|
|
L |
щ |
||||||||
|
|
ѵ=і б?ѵ (<?ѵ |
_<7б') |
|
|
|
|
|||||
{c ’ b y ) = |
2 |
° i b i r |
У г ( ° ’ |
p ) = |
T)i(p); |
г/з(0, p) = |
ij(p). |
|||||
|
|
г |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из (П.2.12), для того чтобы решение (П.2.12) краевой задачи (П.2.10) при любых функциях /, rjj, 1; (^R и при х^[0, /]
237
принадлежало R, необходимо и достаточно, чтобы вектор с не был ортогонален собственному подпространству матрицы А, соответст вующему собственному значению q2l т. е. вектору Ъ.г.
2. Рассмотрим один из возможных вариантов задания гранич ных условий на выходе потока:
n(l, t) = ne (t), |
(П.2.13) |
где пе — произвольная функции времени (из класса R). (Этот вариант соответствует истечению потока в среду с заданным давле нием.) В этом случае вектор с имеет вид [см. (П.2.5)]
—kT (2 -^dkT г)
__ 1_ |
~ d k T (1 |
ki) |
(П.2.14) |
|||
1 |
—м2| |
|||||
(1 + d k T r) (1 -ф£т) , |
|
|||||
|
|
|
||||
(c, b' ,)-=0; (c, |
|
|
1-ф-М |
1 -f-M + dkT r |
0; |
|
b.2) = kT — 1---- • |
—------------ — < |
|||||
|
|
|
1—M |
(1 —M2)2 ^ |
|
|
|
1—M |
1—M-±dkTr |
|
|||
( c ,b . 3) = - k |
|
|
< 0. |
|
||
|
1+M |
(1—M2)2 |
|
|||
Следовательно, при таком выборе с условие разрешимости краевой задачи (П.2.10) в классе R (при любых г|г, ц, ne (^R) вы полнено. Знаменатель выражения (П.2.12) здесь имеет вид
D(p) = |
kM 1 -ф- М -ф- dkт г |
(1-- а Ь е ~ рх), (П.2.15) |
||
~ 2 |
1—М |
|||
где |
|
|||
|
|
|
||
1 — М |
|
1 — М + dkT 1 |
» т = т+ 4^т_; |
|
' 1 + М |
|
1 -ф-М -ф-dkT г |
||
т± - - |
1 |
М |
/ |
|
ао ± Ѵ0 ~ Т° 1 ± м ’ |
То |
|||
|
Со ’ |
|||
Из (П.2.12) и(П.2.15) следует устойчивость реакции у (х) (при любом х ( [ 0, I]) на любое из входных воздействий г)г, іг, яe £R.
3. Будем считать теперь М малым параметром для системы (П.2.6), а d, k, г, ѵ0 — фиксированными. При М = 0 система (П.2.6) принимает вид
dy_= _Р dx ѵ0
dT)ldx =
dildx — 0,
а вектор с — вид
dr\— — |
( d r -f - M i; |
|
v0 |
\ |
k l |
(П.2.16)
- (p/vo) T) + (p/v0)r\;
(П.2.17)
238
Таким образом, краевая задача [(П.2.10), (П.2.13)] для системы (П.2.16) разрешима лишь при ij = n e и при выполнении этого усло вия разрешима неоднозначно:
Y (•*> |
Р) = |
Т (0, p)4-d |
, |
, |
— |
Рх |
ф — |
|
|
||
1 —ехр |
|
---- |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵо / J |
|
|
|
Ч (X, |
р) = ехр |
— |
) т|г + г |
|
1 — ехр |
— рх |
(П.2.18) |
||||
|
Ч< |
|
|||||||||
|
|
|
I |
рх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ0 |
|
|
I (X, |
р)= |
lj, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где у (0, |
р) |
произвольно. (П.2.18) |
— решение задачи Коши |
для |
|||||||
системы |
(П.2.16), |
поэтому при М = |
0 |
величины у (0) = у*, |
J)i, i{ |
||||||
можно |
считать взаимно независимыми |
внешними |
воздействиями |
||||||||
(из класса |
R). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравним реакции координат у (х), г| (х), і (х) системы (П.2.6)
при малых |
М > 0 |
и системы |
(П.2.16) |
на воздействия щ, и, |
ne CR, а также на воздействие і; |
= ле (т. е. |
поведение этих коорди |
||
нат при г\і = |
0, Iг = |
ле). Сравнение будет |
проводиться для каж |
|
дого из звеньев передачи системы (П.2.6) путем выяснения наличия и характера сходимости при М -> 0* его переходной функции h, ее
одноили |
двукратной |
первообразной — соответственно |
g |
или k |
||||||||||
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(g (0 |
= |
lh |
(и) du, k (t) = |
j g (u) du). |
Сходимость |
будет |
рассмат- |
|||||||
|
|
o |
|
|
о |
оо ) функций ограниченной вариа |
||||||||
риваться в пространстве |
V [0, |
|||||||||||||
ции |
на |
[0, |
оо ) или |
в пространстве |
L\ [0, |
оо ) |
функций |
г |
вида |
|||||
z(t) = |
cs (t) + ф (t) [где s (0 = 0 при t<0 и 1 |
|
|
ОО |
|
|
||||||||
при / > |
0, j |
| ф (t)| Л < |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< оо |
] |
с |
нормой |
II г К с = |
max |
( |
|с |, j |
| ф (t) |
\ |
dt0). |
Это |
даст |
||
возможность судить о наличии и |
|
о |
|
|
|
|
реакций |
|||||||
характере сходимости |
||||||||||||||
системы по соответствующему |
каналу на произвольные воздействия |
|||||||||||||
из некоторого фиксированного |
класса функций от t. Действитель |
|||||||||||||
но, обозначим F класс всех ограниченных по модулю (общей для F константой) функций из R и через Ф, (г ^ 1 ) — класс всех функций
из R, |
каждая |
из |
которых является і-кратной первообразной от |
|||||||
некоторой |
функции |
из R |
и |
имеет |
і-ю |
и (г — 1)-ю |
производные |
|||
ограниченными |
по модулю |
(общими |
для |
класса Ф; |
константами). |
|||||
Тогда [2] сходимость переходных функций в пространстве V [0, оо ), |
||||||||||
( Щ о , |
оо )) |
эквивалентна |
сходимости |
реакций звена |
на любое |
|||||
воздействие из класса F (Фі), равномерной по / и по классу F(Фх)**. |
||||||||||
Сходимость же |
функций g (k) |
в L[ [0, оо ) эквивалентна сходимости |
||||||||
* |
При |
фиксированных |
k, |
г, ѵ0 это |
соответствует |
R0T0-> со и |
||||
оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** |
Для переходных функций из класса N (см. замечание). |
|||||||||
239
