Файл: Газиев Э.Г. Механика скальных пород в строительстве.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.06.2024

Просмотров: 85

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в теле материала. В 1962 г. Мак

Клинтон и Уэлш [59],

а в 1964 г. Хоек

и Бенявский [47]

предложили допол­

нить

эту теорию

рассмотрением

сомкнутых

трещин с

возможностью

передачи

 

 

 

 

 

сжимающих

напряжений

 

 

 

 

 

с одного

борта

трещины

 

 

Il ІИІ III

 

на

другой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В связи с большим ин­

 

 

 

 

 

тересом,

который

пред­

 

 

 

 

 

ставляет

для

скальных

 

 

 

 

 

материалов

эта

теория

 

 

 

 

 

прочности, она излагает­

 

 

 

 

 

ся

здесь

несколько

под­

 

 

 

 

 

робнее, чем остальные те­

 

 

 

 

 

ории.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

напряжен­

 

 

 

 

 

ное

 

состояние

в

некото­

 

 

 

 

 

рой

 

области

материала,

 

 

I t l i l l l t l

 

где

 

имеется

 

эллиптичес­

 

 

 

 

 

кая

микротрещина,

обра­

 

 

 

 

 

зующая угол Ѳ с направ­

Рис.

21.

Расчетная

схема об­

лением

максимального

ласти,

включающей

эллипти­

главного

напряжения Оз

 

ческую микротрещину

(рис.

21).

Примем, что

 

 

 

 

 

о і > о 2 > а 3

,

причем

сжатие отрицательно, а растяжение

положительно. Координатную ось х

расположим

вдоль

трещины

(по направлению большей оси эллипса).

 

Уравнение

эллиптической

трещины запишется

в та­

ком

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

ûcosa;

г/= ftsin а,

 

(33)

г д е а и b—большая

и малая

оси эллипса;

 

 

 

 

а— угол, отсчитываемый от оси х.

 

 

Отношение

осей эллипса

обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т = Ьа.

 

 

 

(34)

Теперь можно записать выражение для величины нап­ ряжения, возникающего на контуре трещины при дей­ ствии на нее усилий ах, ои и хху-

Оь=\Оу \т(т -|- 2) cos2 a — sin2 а] + + ах[(1 -Ь 2/n)sin2 a — m2 cos2 a| —

— хху |2 (1 + m2) sin a cos a] }(m2 cos2 а + sin2 а ) - 1 . (35^

39

Поскольку трещина очень тонкая и вытянутая, т. е. ве­ личина m весьма мала, максимальные растягивающие напряжения возникнут очевидно где-то на ее конце, т.е. там, где весьма мал угол а. Учитывая, что при а-ѵО имеем sin а-мх и cos а-vl, можем записать выражение (35) в следующем виде:

о„ = 2 (ау m - хху а)(т а + а»)-1 .

(36)

Для определения максимальной величины напряжения продифференцируем это выражение по углу а. В ито­ ге получим

- 2хху (m» + а2 ) = 2 (ау m - хху

а) 2а,

(37)

или, принимая во внимание выражение

(36),

найдем

т я у /а .

 

(38)

Подставляя значение (38) в выражение (36) и решая

квадратное

уравнение

относительно

1/а,

получим

 

 

i^=-[<yy±y(ol

+ xly)]lmrxy.

(39)

После небольшой перестановки и учета

равенства (38)

можем записать

 

 

 

 

 

 

obm =

a y

± V [ a l + xly).

(40)

При

хХу=0

условием

возникновения

новой трещины,

или,

иными

словами,

условием прочности будет равен­

ство Oy=Rp,

что в итоге дает

 

 

 

 

 

abm

= 2Rp,

 

(41)

где Rp— прочность материала на растяжение. Подставляя этот результат в выражение (40), получим

2 * Р = °у ± Ѵ{°] +

•

(42)

Это и есть окончательное уравнение

теории

прочности

Гриффитса, представляющее кривую

в координатах ау

и Тху, аналогичную огибающей кругов Мора.

 

Обычно это уравнение записывается в следующем,

более удобном виде:

 

 

• й = 4 * р ( * р - ° , Ь

 

<4 3 )

Предположим, что угол 0, образуемый трещиной с на­ правлением главного напряжения аз, таков, что напря­ жение оь является наибольшим при любой комбинации главных напряжений о\ и сг3. Тогда радиус круга Мора,

40

построенного на этих величинах главных напряжений, проведенный в точку касания с огибающей, образует с осью а угол 2Ѳ (рис. 22). Отсюда можно записать:

 

tg2Q=-doy'dxxy

= xxyi2Rp.

(44

Комбинируя

зависимости (41)

и (38), запишем

 

 

оьт = 2Rp = — тхху/а,

(45)

откуда получим

т

 

а = — mxxy2Rp

=— m tg 2Ѳ.

 

 

 

(46)

Учитывая, что новая трещи­ на возникнет, когда напря­ жение Об, являющееся ок­ ружным на контуре эллип­ тической трещины, превысит предел прочности на растя­ жение Rp, логично ожидать, что она будет нормальной к контуру эллиптической трещины. Уравнение этой нормали запишется так:

<

J

6, 6у

Рис. 22. Кривая связи каса­ тельных и нормальных на­ пряжений при возникнове­ нии разрыва на контуре эллиптической микротре­

щины

tg ß = — dxldy,

(47)

где

 

 

dx =—a sin a da;

dy = та cos a da.

(48)

Отсюда

 

 

tgß =

tga/m.

(49;

Когда a->0, то tga-*a, а следовательно,

 

tgß = a ' m = - t g 2 8 ,

(50)

или, иными словами,

 

 

ß = — 2 Ѳ .

(51)

Отсюда следует вывод, что если направление первона­ чальной микротрещины не совпадает с направлением одного из главных напряжений и, следовательно, хху¥=0, то согласно зависимости (44), ѲфО и, следовательно, ß=£0. Таким образом, в этом случае новые трещины воз­ никнут на концах первоначальной микротрещины под углом ß = —2Ѳ к ее направлению и по мере своего раз-

41

вития будут стремиться принять направление, совпадаю­ щее с направлением приложения нагрузки (рис. Если оба главных напряжения являются сжимающими, то процесс развития трещин по достижении ею опреде-

'2 а

Г ö 3

, , , , , , , , ,,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

11111

и t Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

0

0,05

0,1

0,15

6f/63

Рис.

23.

Характер

развития

Рис. 24.

Зависимость

длины

раз­

трещины

под

нагрузкой

вития

трещины

 

от

соотношения

 

 

(по Гриффитсу)

 

 

главных

напряжений

 

/ — ось

первоначальной

трещи­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ны;

г —траектория

 

развития

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трещины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ленной длины прекращается, причем длина

 

развития

трещины зависит от соотношения

 

главных напряжений

0 і и оз

(рис.24).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

совпадении

направления

первоначальной

тре­

щины

с

направлением главного напряжения,

т. е. когда

т ж у = 0

и

Оу=о\,

получим

6 =

ß =

 

0.

Это

означает,

что

новые трещины будут служить как бы продолжением

первоначальной трещины, и в этом случае, согласно

за­

висимости (36),

 

 

 

 

 

 

аь = 2оу m -

2 ^

'т.

 

(52)

Анализируя

это выражение,

 

можно

заметить,

что

если величина

напряжения 01

в

какой-то

момент

дос-

42

Смотрите также файлы