Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 190
Скачиваний: 3
§ 20] МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 75
применять одну и ту же форму записи операций для ди скретных и непрерывных случайных величин.
З а д а ч а 42. Определить плотность вероятности для случайной величины — количества очков при бросании игральной кости.
Р е ш е н и е . Случайная величина принимает значе ния 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое с вероятностью 1/6. Поэтому
в
/(*) = 4 -2 8{x — i). i=l
З а д а ч а 43. Определить плотность распределения скоростей частиц относительно центра инерции системы, состоящей из двух движущихся навстречу друг другу со скоростью а потоков частиц. Частицы, принадлежащие одному потоку, имеют равные скорости, и число частиц
впотоках одинаково.
Ре ш е н и е , п частиц имеют скорость а и столько же частиц имеют скорость —а, поэтому
/ (у) = 4 ~ [б {v — а) + б (v + а)}.
§ 20. Математическое ожидание функции от случайной величины
Если / (х) есть плотность вероятности случайной вели чины X, а т] (X) — некоторая функция от этой случайной величины, то величина Mr\ (X), определяемая равенством
о о
Мг](Х)~ § r\(x)f(x)dx, |
(2.41) |
—ОО |
|
называется математическим ожиданием ц (X). Пропис ная буква М, ставящаяся перед обозначением функции, используется как знак математического ожидания. Мате матическое ожидание случайной величины не есть слу чайная величина. Это постоянная величина, определяе мая согласно (2.41) функцией ц (х) и законом распределе ния случайной величины. Она имеет смысл среднего ожидаемого значения ц (X) при выполнении испытаний.
76 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
[ГЛ. 2 |
Для дискретной случайной величины X математиче ское ожидание т) (X) может быть записано в виде
о о о с
Mr\ (X) = ^ Г](x)f (x)dx= ^ |
Т] (X)2 Pi& {х — #г) dx = |
||
— оо |
|
— о о |
г |
|
оо |
|
|
= S |
Pi 5 |
!1 {х) 5(х — X i) dx = 2 ’l (хг) Рь (2.42) |
|
г |
— оо |
|
г |
если т) (ж) непрерывна в точках *) xlt х2, . . .
При бросании игральной кости математическим ожи данием куба появляющегося количества очков является
M X 3 = I 3- ~ + 23- 4* + • • • + 63- 4 " = 73>5-
Поэтому игра, состоящая в том, что бросающий кость игрок делает ставку и получает выигрыш в копейках, равный кубу появляющегося количества очков, будет справедливой, если уплачиваемая им ставка равна 73,5 ко пейки. В этом случае возможный проигрыш будет только результатом «невезения», а возможный выигрыш только результатом «везения», но не следствием несправедливо сти условий для одной из играющих сторон.
Если бы игральная кость имела не вполне правильную форму, такую, например, что вероятности появлений чи-
сел 1,2,3 были бы равны а -g-, а вероятности появления
чисел 4, 5, 6 были бы равны b > -^-(при этом должно вы
полняться равенство За + ЗЬ = 1), то математическое ожидание Xs было бы больше, чем 73,5, так как стано вятся более вероятными большие значения случайной величины X3.
Если
Л (X) = % (X) + ть (X),
*) Чтобы применение к ц (х) операции б было законно, мы, не ограничивая общности, можем считать, что функция ц (х) не
прерывная всюду (иначе ее можно заменить непрерывной, совпа дающей с ней в точках эц функцией).
Si 201 |
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ |
77 |
ТО
ос
Мц ( Х ) = J [% И + vh(x)]f{x)dx = Мщ{Х) + Мг\2(Х).
(2.43)
Следовательно, математическое ожидание суммы функций равно сумме математических ожиданий этих функций. Точно так же доказывается, что если с — постоянная ве личина, то
Мер (X ) = сМр (X). |
(2.44) |
Очевидно, что размерность математического ожидания функции случайной величины такая же, как у функции случайной величины.
В частном случае, если ц (X) = X , равенство (2.41) дает математическое ожидание самой случайной величины
с с |
|
М Х = ^ xf(x)dx. |
(2.45) |
—оо |
|
Математическое ожидание случайной величины является ее важнейшей характеристикой. Как отмечалось выше, она имеет смысл среднего значения случайной величины.
Из (2.42) следует, что для дискретной случайной вели чины ее математическое ожидание равно
М Х ^ р ^ . |
(2.46) |
i |
|
Часто вместо Мр (X) для обозначения математического ожидания употребляют горизонтальную черту, которую
ставят над функцией, например, X, Xs, sin2X- Равенства (2.43) и (2.44) можно записать так:
% (^0 + % {X) — fli (^0 + Лг (X),
(2.47)
CTl(X) = сц (X).
В последнее время входит в употребление также сле дующее обозначение математического ожидания:
Мр (X) = <Т1(Х)>.
78 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
[ГЛ. 2 |
§ 21. Моменты функций распределения
Математическое ожидание функции
(X - а)к
называется моментом к-то порядка относительно начала а случайной величины X. Говорят также, что это момент к-го порядка функции распределения / (х). Обозначим его
^к,а'
со |
|
Ък,а= $ (* — af]{x)dt . |
(2.48) |
Момент к-то порядка имеет размерность к-й степени раз мерности случайной величины.
Очевидно, что для любой функции распределения мо
мент нулевого порядка равен 1. |
величины момент |
'khya, |
|||
Для |
дискретной |
случайной |
|||
записанный непосредственно через вероятности р г, |
имеет |
||||
согласно |
(2.42) |
вид |
|
|
|
|
кк,а = |
М (X — а)к = 2 |
— а)к |
(2.49) |
|
|
|
|
г |
|
|
Если а — 0, |
то момент называется начальным. |
Будем |
|||
обозначать начальные моменты к-то порядка vft: |
|
||||
|
|
|
оо |
|
|
vk = M X k = |
^ xkf(x)dx = Y k = <Xk>. |
(2.50) |
|||
Для дискретной случайной величины выражение началь ного момента запишется в виде
vk = MX* = 2 XiPi = .X* = <Х*>. |
(2.51) |
г |
|
Очевидно, что математическое ожидание случайной вели чины есть начальный момент первого порядка,
Vl = м х |
= |
X . |
(2.52) |
§ 21j МОМЕНТЫ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕН ИЯ 79
Если в (2.48) за величину а принять X, то моменты на зываются центральными. Будем обозначать их ph:
о о |
|
I** = М { Х - Х ) * = ^ { x - X f f { x ) d x . |
(2.53) |
— оо |
|
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю.
В самом деле,
00
Рх = ^ (ж — X) / (х) dx =
— ОО
ООоо
= ^ xf(x)dx — X § f(x)dx = X — X = 0. (2.54)
— ОО |
— оо |
Центральный момент второго порядка называется дис персией случайной величины и обозначается обычно DX:
оо
DX = р2= М (X - Х)г = ^ (* ~ *)2/ (*)dx• (2-55)
— оо
Дисперсия — также важнейшая характеристика случай ной величины, определяющая математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Если дисперсия мала, то это означает, что слу чайная величина имеет тенденцию принимать значения, близкие к ее среднему значению (математическому ожи данию). Если дисперсия равна нулю, то это означает, что случайная величина с вероятностью 1 принимает некото рое значение (оно равно, конечно, X). Плотность вероят ности ее согласно (2.39) есть дельта-функция,
/(*) = «(* — X).
Большая же дисперсия указывает на большое рассеяние случайной величины, т. е. на то, что вероятности прини мать значения, существенно отличающиеся от среднего значения, не малы.
Из (2.42) следует, что для дискретной случайной вели чины
DX = р2= 2 & — X )2р^ |
(2.56) |
i
80 |
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА |
{ГЛ. 2 |
Выведем важную для практики формулу:
оо
DX = ^ (х — X)2j(x)dx =
—оо
оо оо оо
= ^ x2f (ж) dx — 2Х |
^ xf (х) dx + |
X 2 § / (ж) dx, |
— ОО |
— 00 |
— оо |
откуда следует:
DX = {X - X f = Т 2 — Х 2 = M X 2 - (MX)2, (2.57)
т. е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата и квадратом матема тического ожидания случайной величины.
Корень квадратный из дисперсии
а = Y D X = Vl h |
(2.58) |
называется стандартом случайной величины. Стандарт есть среднее квадратичное отклонение случайной вели чины от ее среднего значения. Он имеет размерность слу чайной величины.
Отношение стандарта к абсолютному значению средне го арифметического
1*1 |
(2.59) |
|
называется относительным среднеквадратичным откло нением случайной величины от среднего значения или вариацией случайной величины. Эта характеристика имеет важное значение в том случае, когда случайная величина
может принимать значения только |
одного знака. |
Если |
||
случайная величина может менять |
знак, |
б |
|
пред |
тот-=-г-не |
||||
|
|
а л |
I |
|
ставляет интереса, а в том случае, когда X = |
0, не су |
|||
ществует. Очевидно, т-^-г- — безразмерная |
величина. |
|||
■л |
|
|
|
|
Все моменты функции распределения можно рассмат ривать как некоторые характеристики случайной вели чины. Если случайная величина может принимать значе ния из ограниченного промежутка, то все ее моменты существуют. Если же промежуток значений случайной величины не ограничен, то могут существовать не все моменты.
§ 211 |
МОМЕНТЫ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ |
81 |
|||||
Например, если |
|
|
|
|
|
||
|
/(*) = |
? |
|
при |
х :> ъ |
о, |
(2.60) |
|
/ (ж) = |
0 |
|
при |
х<^Ь, |
|
|
то |
|
|
|
||||
|
OQ |
|
оо |
|
|
||
|
v0= |
|
|
|
|||
|
^ |
f{x)dx = ^ ^ - d x = i, |
|
||||
|
|
— оо |
|
|
b |
|
|
|
|
о о |
|
|
оо |
|
|
|
vi = |
§ |
ж/ (ж) dx = ^ |
dx = 2&. |
|
||
|
|
—ОО |
|
b |
|
|
|
Все же моменты второго и более высокого порядков не существуют, так как соответствующие интегралы расхо дятся. Дисперсия случайной величины с плотностью веро ятности (2.60) бесконечна.
Математические ожидания абсолютных значений (X — а)1сназываются абсолютными моментами к-то поряд ка. Нанример,
с©
§|х — X | / (х) dx,
—оо
00
^ |х — X |3 / (х) dx
есть соответственно абсолютные центральные моменты пер вого и третьего порядка.
З а д а ч а 44. Все направления отрезка прямой а рав новероятны. Найти среднее значение, а также дисперсию длины проекции X этого отрезка на: 1) заданную прямую, 2) заданную плоскость.
Р е ш е н и е . Согласно решениям задачи 33 и 34 функ ция распределения угла а между данным отрезком пря мой и фиксированной прямой есть
/ (а) = sin а,
а функция распределения угла между отрезком и пло скостью
/ (Р) = cos р.