Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Скачать файл (8,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 188

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

[ГЛ. 2

Проекция отрезка на прямую равна a cos ct, а на пло скость — a cos р. Поэтому средняя длина проекции от

резка на прямую

M X = ^ а \| cos а \|■~			sin а da =
о						я /2
					2	я /2			1 а,
				=	2	1	Г	cos а sin а da	1 а,
							о
а средняя длина проекции на плоскость
				я/2
	M X — &\ cos2р dp =							а.
				о
Дисперсия длины проекций на прямую
	П
D X — a2= a * ^ \| c o sa \|---- sin a da =
				«/2
			=	а2 §	fc o sa ----sin a da = -i-a 2,
а на плоскость
	я/2
DX — а\ =	a2 §	^cos р ---- j*cos р dP =						---- - ~ j a2.
Стандарт длины проекции отрезка на прямую
	Oi		=	— =. а	0,2888 а,
			У 12
а стандарт длины проекций отрезка на плоскость
	<з2=			-д---- -jg- о,		0,2361 а.
З а д а ч а	45.	Вероятность того,					что частица на уча
стке пути U,	I +	dl] столкнется с другой частицей, равна
к dl. Найти	функцию			распределения				длины свободного
(без столкновений) пробега I, а также ее среднюю вели
чину, дисперсию и стандарт.							что частица испыты
Р е ш е н и е .		Вероятность того,					что частица испыты
вает на участке [Z, I +				dll первое столкновение, равна про

§ 21]

МОМЕНТЫ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

изведению вероятности того, что частица не испытает столкновения на участке пути [О, Л, на вероятность того, что она испытает столкновение на участке пути [Z, Z+ + dl]. Первая величина, по аналогии с (1.79) в задаче 21, равна е~м. Второй множитель равен Xdl. Поэтому

/ (1) dl = е~пЫ1.

Средняя длина свободного пробега частицы

оо

Ml = Г =		5 le-^Ul =		.
		О
Дисперсия длины	свободного		пробега
	оо
Р2 = (1 -	tj* = S	(1 — Т~Г е^ ' Ы1 = т г ’
	О'		'

п стандарт

Таким образом, фигурирующий в условии задачи пара метр %имеет тот смысл, что его обратной величине равны средняя величина свободного пробега и стандарт свобод ного пробега.

З а д а ч а 46. В условиях задачи 38 найти математи ческое ожидание, дисперсию и стандарт расстояния г до молекулы—ближайшего соседа.

Р е ш е н и е . Используя найденную в решении за дачи плотность вероятности расстояния для ближайшего соседа, находим математическое ожидание

О о

Здесь

Г (а) = ^

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

[ГЛ. 2

есть известная гамма-функция или эйлеров интеграл второго рода. (Существуют таблицы этой функции, напри мер, Б. И. С е г а л, К. А. С е м е н д я е в, Пятизначные математические таблицы, Физматгиз, М., 1962.)

Дисперсия расстояния до ближайшего соседа

б2 = ^ (г — t)2/ (г) dr =

3__\’h

4яо	[ г ( т ) - га ( т ) ] ^ 0.0405 .л- .,

а стандарт

a0,201 •а-1'».

§22. Связь между моментами относительно

различных начал

Рассмотрим моменты относительно начала Ъи выразим их через моменты относительно начала а:

ОО ОО

^к,ь= 5 (х — b)kf (х) dx — § [(х — а)-\-(а — b)]kf (х) dx =

—ОО	—ОО
	к	оо

=	2	— Ь)1 ^	(х — а)к~'1/ (х) dx.
Таким образом,	i —0	— оо
Таким образом,
к
А.*.ь = 2	С1к( а - Ь у Х к^		а.	(2.61)

г=о

Если плотность вероятности f (х) задана в табличной форме, то моменты вычисляются при помощи приближен ных формул для определенного интеграла. Центральный и начальные моменты обычно вычислять менее удобно, чем моменты относительно начала а, когда а выбрано удач но. Если а принять целым и близким к X (это нетрудно сделать на глаз), то в выражении (2.48) множитель, стоя щий перед / (х), вычисляется проще, чем аналогичный множитель в (2.53); в то же время этот множитель в среднем меньше, чем аналогичный множитель в (2.50). Поэтому сна чала вычисляют моменты относительно начала а, удобно выбранного, целого и близкого на глаз к X, а затем перехо

§ 23] МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА 85

дят к начальным и центральным моментам. Нужные фор

мулы содержатся в (2.61).		vk. Поэтому
Если положить b =	0, то khj0 =	vk. Поэтому
	к
V, =	2 С£вЯ_i,a.	(2.62)
В частности,	i=0
В частности,	va = Kha + a.	(2.63)
X =	va = Kha + a.	(2.63)

Если же принять Ъ = X , то в левой части (2.61) мо менты центральные, поэтому

Щ = 2 Ckifl — x y ^k-i,aj

i=o

и, учитывая (2.63), находим

life = 2 ( - D* ClX ,M - i,c

(2.64)

i—0

В частности,

Щ =	^2,а — ^>i,a>		(2.65)
И-3=	^З.а —	2klta,	(2.66)
Щ =	^4,а —	+ 6Я>х,о^2,а — ЗЯ,х>а.	(2.67)

Если в (2.65) принять а — 0, то получим уже ранее выве денную формулу (2.57):

р,2 = v2— Vx2.

(2.68)

§ 23. Моменты распределения Пуассона

Пусть случайная величина ш имеет распределение Пуассона (2.17). Определим математическое ожидание функции

г\|5-= ха(ш — 1) . . . (ш — s), s < m;	t]s =	0, s > га.
Согласно (2.42)
oo	77i	-a
Мц8= 2 т (m — 1). .. (т — s)a		.
771=0

s<jn

86	СЛУЧАЙНАЯ	ВЕЛИЧИНА		[ГЛ.	2
Первые s +	1 слагаемых в сумме обращаются в нуль,
поэтому
Мц3 = 2 m ( m - l ) . . . ( m		171 _а
Мц3 = 2 m ( m - l ) . . . ( m		— s)?-jL- =
m=s-H		оо		пг-8+l^-a
		оо	а
		= as+1 2	а
		= as+1 2	(т	- s + l)!	•
		m=s+l	(т	- s + l)!	•

Введем новый индекс слагаемых в сумме к, связанный со старым индексом равенством

Тогда получаем	к = т — s + 1.
Тогда получаем
		оо
М% =		as+1 2	— — ®8+1-	(2.69)
		к=о
В частности,	при	s = О	Г]0= т , и согласно	(2.69)
		Мха = а .		(2.70)
Таким образом,	параметр а,		фигурирующий в распреде

лении Пуассона, есть математическое ожидание случайной величины.

При s = l г)! =	m (т — 1) и согласно (2.69)
М [ш (го — 1)1 =	М (ш2 -	т )	= Мха2 - Мха =	а 2.
Из (2.71) и (2.70) находим				(2.71)
Из (2.71) и (2.70) находим
	Д /т2 =	a 2+	a	(2.72)

и, используя выражение (2.57) для дисперсии, получаем

Dxa = a 2 + a — a 2 = a .

(2.73)

Таким образом, дисперсия распределения Пуассона равна математическому ожиданию этого распределения.

3а д а ч а 47. С катода вылетает в среднем g электронов

вединицу времени. Какова вероятность того, что за про межуток времени At с катода вылетит ровно т элек

тронов?

Р е ш е н и е . Среднее число электронов, вылетающих за время At, равно gAt. Следовательно, вероятность того,

§ 23]	МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА			87
что за время At вылетит ровно т электронов,				равна
	Р И	=	(еМ)п е~‘ы
	Р И	=	т\
Задача 48. Как известно, среднее число звезд до т-й
видимой	величины, т.	е.	ярче тп-й видимой	величины

(меньшим звездным величинам соответствует больший блеск), приходящихся на квадратный градус неба, зави сит от галактической широты. Считая, что для некоторого значения галактической широты среднее число звезд до данной величины N (т) известно, найти вероятность того, что в некоторой площадке размером в 1 кв. градус, распо ложенной на этой широте: 1) не будет звезд с видимыми

величинами, заключенными	между	тх и т2		{тх <С т2);
2) ярчайшая звезда будет	иметь видимую		величину tn,
заключенную в промежутке \т, т		dm];	3)	найти мате

матическое ожидание и дисперсию видимой величины яр чайшей звезды.

Р е ш е н и е . Среднее число звезд с видимой величичиной, меньшей т, равно N (т). Поэтому среднее число звезд с видимыми величинами, заключенными в проме жутке [тх, т 2], равно N (т2) — N (тj). Вероятность встре тить ровно к звезд с видимыми величинами, заключенными в промежутке [тх, т2], согласно распределению Пуас сона равна

р (к) =* -L [/У(те2) - N (mi)]* е-ГУ(^)-У(т,)].

Вероятность не иметь ни одной звезды в этом промежутке (к = 0), следовательно, равна

e-tiv^HVOn,)],

(2.74)

Вероятность того, что не встретится звезда в промежутке lm, т + dm], равна

g-[N (m + d m )-N (m )] __ ^-N'(m )dm

а вероятность встретить звезду с видимой величиной в этом промежутке есть